2010-2011-2線性代數(shù)試卷及答案

1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正?？偡忠欢奈辶芊饩€學(xué)院班級(jí)學(xué)號(hào)姓名東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷（A卷） 2010 2011學(xué)年 第二學(xué)期 課程名稱：線性代數(shù) （共2頁(yè)） 7 / 7一、 (15分) 設(shè)三階矩陣， ，且的行列式，求矩陣的行列式. 解 因?yàn)椋?所以，二、 (20分) 設(shè)向量組，線性相關(guān)，向量可由向量組線性表示，求的值。解 由于所以，三 (15分) 證明所有二階實(shí)對(duì)稱矩陣組成的集合V是R22的子空間，試在V上定義內(nèi)積運(yùn)算，使V成為歐幾里得空間，并給出V的一組正交基.解 由于任意兩個(gè)二階實(shí)對(duì)稱矩陣的和還是二階實(shí)對(duì)稱矩陣，數(shù)乘二階實(shí)對(duì)稱矩陣還是 二階實(shí)對(duì)稱矩陣，即V

2、對(duì)線性運(yùn)算封閉，所以V是R22的子空間。對(duì)任意,定義內(nèi)積：A,B=，顯然滿足：A,B=B,A, kA,B=kA,B, A,A0且A,A=0當(dāng)且僅當(dāng)A=0.,就是V的一組正交基.注：內(nèi)積和正交基都是不唯一的.21四、 (20分) 已知三階矩陣的伴隨矩陣,求齊次線性方程組的通解.解 由于,且得R(A)=2,所以，的解空間是1維的。又由于,所以，的列向量是的解。于是，（1,2,3）T是的基礎(chǔ)解系，所以，通解為： 五、 (15分) 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣滿足，且向量是齊次方程的一個(gè)基礎(chǔ)解系，求矩陣。解 由的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解知A的秩為2。由知A的特征值只能為2或0，所以，A的三個(gè)特征值為：2，2，0。由知是屬于特征值0的特征向量。所以，A的屬于特征值2的特征向量必與正交，所以，特征值2的特征向量可取為：和,于是，可構(gòu)造正交矩陣：滿足：所以，六、 （15分） 某倉(cāng)庫(kù)有A,B,C三種物品若干件，現(xiàn)按下述方案進(jìn)行采購(gòu)：購(gòu)進(jìn)原B物品件數(shù)30%和原C物品件數(shù)50%的A物品；購(gòu)進(jìn)原A物品件數(shù)30%的B物品；購(gòu)進(jìn)原B物品件數(shù)60%的C物品。試建立采購(gòu)前后倉(cāng)庫(kù)A,B,C三種物品件數(shù)間的關(guān)系式。若采購(gòu)后倉(cāng)庫(kù)A,B,C三種物品件數(shù)分別為290，330，380，求采購(gòu)前倉(cāng)庫(kù)A,B,C三種物品的件數(shù)。解 記采購(gòu)前倉(cāng)庫(kù)A,B,C三種物品件數(shù)分別為：，采購(gòu)后倉(cāng)庫(kù)A,B,C三種物品件數(shù)分別為：，則由已知有：