第一章 矢量分析重點內(nèi)容總結(jié)

1、第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波1（1 1） 矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）zzyyxxBABABAABBAcos1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/ A BAB1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波2（2）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAsinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式

2、為寫成行列式形式為ABBABAABBA若若 ，則，則BA/0BA若若 ，則，則方向：右手螺旋法則方向：右手螺旋法則數(shù)值大?。簲?shù)值大小：第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波3（5 5）矢量的混合運算）矢量的混合運算)()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 標量三重積標量三重積 矢量三重積矢量三重積第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波41、圓柱面坐標系、圓柱面坐標系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐標變量坐標變量zeee,坐標單位矢量坐標單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVddd

3、d體積元體積元面元矢量面元矢量1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波5ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSrdddddrrelleSr2、球面坐標系、球面坐標系球面坐標系球面坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元, r坐標變量坐標變量eeer,坐標單位矢量坐標單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波63、坐標單位矢量之間的關(guān)系、坐標單位矢量之間的關(guān)系

4、xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系zereeecossincossinsincos0直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系xeyesinsinsincoscossinoz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系 oxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系 xeyeeezeeree第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波7sincosx

5、yeeee cossinxyeeee sinreeree 柱坐標與直角坐標微分關(guān)系柱坐標與直角坐標微分關(guān)系球坐標與直角坐標微分關(guān)系球坐標與直角坐標微分關(guān)系reecosee0esincosreee 4、柱坐標和球坐標系與直角坐標系的關(guān)系、柱坐標和球坐標系與直角坐標系的關(guān)系 第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波8 81）不同的位置上，圓柱和圓球坐標軸單位矢量方向不同。2）當矢量場的方向為圓柱面的法向或切向時，用圓柱 坐標表示不但形式簡單，而且形象，更易理解。 3）當矢量場的方向為圓球面的法向或切向時，用圓球坐標表示不但形式簡單，而且形象，更易理解。小結(jié)第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與

6、電磁波9梯度的表達式梯度的表達式：zueueueuz1圓柱面坐標系圓柱面坐標系 ureurerueursin11球面坐標系球面坐標系zueyuexueuzyx直角面坐標系直角面坐標系 1、標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）graduu意義意義：描述標量描述標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel1.3 標量場的梯度標量場的梯度第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波10標量場的梯度是矢量場，它在空間某標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大（增大）點

7、的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式梯度運算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波11例題： 證明RR)()()(zzeyyexxeRzyxRRzzyyxxezzzzyyxxeyyzzyy

8、xxexxzReyRexReRzyxzyx222222222)()()(2)(2)()()(2)(2)()()(2)(2222zzyyxxRR)()()(3RRR12)(RRR) 1 (33222)()()()()()()1()1()1(1RRzzyyxxezzeyyexxRzeRyeRxeRzyxzyx證明：證明：第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波122、矢量場的通量、矢量場的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSddnF e S穿過面積元穿過面積元 的通量；的通量；

9、 如果曲面如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：外，矢量場對閉合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波130通過閉合曲面有通過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從閉合曲面的通量從宏觀上宏觀上建立了

10、矢量場通過閉合曲面的通建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波143、矢量場的散度、矢量場的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的稱為矢量場的散度散度。 散

11、度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。體積之比的極限。F第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波15柱面坐標系柱面坐標系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐標系球面坐標系zFyFxFFzyx直角坐標系直角坐標系散度的表達式散度的表達式：散度的有關(guān)公式散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波164、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）VSVFSFdd體積的剖分

12、體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應用。泛的應用。證明證明第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波171.5 矢量場的環(huán)流和旋度矢量場的環(huán)流和旋度 矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通

13、量不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。零。第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波18q 如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無無旋場旋場，又稱為，又稱為保守場保守場。q 如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場有

14、旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源旋渦源。電流是。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波19 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的邊界曲線記為，它的邊界曲線記為C，曲面的法線，曲面的法線方向方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當與曲線的繞向成右手螺旋法則。當 S0時，極限時，極限01rotlimdCnSFFlS稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方

15、向處沿方向n的的環(huán)流面密度環(huán)流面密度。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。量場的旋度。 SCMFn特點特點：其值與點：其值與點M 處的方向處的方向n有關(guān)。有關(guān)。2、矢量場的旋度、矢量場的旋度（ ） F （1）環(huán)流面密度）環(huán)流面密度第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波20概念概念：矢量場在矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面點的環(huán)流面 密度最大值，其方向為

16、取得環(huán)量密度最大值時面積元的法密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法 線方向，即線方向，即nMaxrotnFeF物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。（2）矢量場的旋度）矢量場的旋度第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波21zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的計算公式旋度的計算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐標系直角坐標系圓柱面坐標系圓柱面坐標系球面坐標系球面坐標系第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波22旋度的有關(guān)公式旋度的有關(guān)公式：0()()()(

17、)()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波23SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是閉合曲線積定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。泛的應用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的

18、旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即證明證明第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波244、散度和旋度的區(qū)別、散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波251、矢量場的源、矢量場的源散度源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度；場在該點的散度； 旋度源旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場第1章 矢量分析電磁場與電磁波電磁場與電磁波262、矢量場按源的分類、矢量場按源的分類（1）無旋場）無旋場0dClF性質(zhì)性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。線積