【教案】函數(shù)的應(yīng)用（一） 教學(xué)設(shè)計（2）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一） （人教A版）客觀世界中的各種各樣的運動變化現(xiàn)象均可表現(xiàn)為變量間的對應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系常?？捎煤瘮?shù)模型來描述，并且通過研究函數(shù)模型就可以把我相應(yīng)的運動變化規(guī)律.課程目標(biāo)1、能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型解決實際問題； 2、感受運用函數(shù)概念建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的重要性 數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：總結(jié)函數(shù)模型； 2.邏輯推理：找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題干信息寫出分段函數(shù)； 3.數(shù)學(xué)運算：結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值. ； 4.數(shù)據(jù)分析：二次函

2、數(shù)通過對稱軸和定義域區(qū)間求最優(yōu)問題； 5.數(shù)學(xué)建模：在具體問題情境中，運用數(shù)形結(jié)合思想，將自然語言用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來。 重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的處理實際問題；難點：運用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實生活和社會中的簡單問題教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。一、 情景導(dǎo)入我們學(xué)習(xí)過了一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)等都與現(xiàn)實世界有緊密聯(lián)系，請學(xué)生們舉例說明與此有關(guān)的生活實例.要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、 預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本93-94頁，思考并完成以下問題1.一、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的表

3、達(dá)形式分別是什么？ 2.冪函數(shù)、分段函數(shù)模型的表達(dá)形式是什么？ 3.解決實際問題的基本過程是？ 要求：學(xué)生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。三、 新知探究1常見的數(shù)學(xué)模型有哪些? (1)一次函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k0); (2 )反比例函數(shù)模型:f(x)=kx+b(k,b為常數(shù),k0); (3)二次函數(shù)模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a0); (4)冪函數(shù)模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數(shù),a0,n1); (5)分段函數(shù)模型:這個模型實則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應(yīng)用也十分廣泛. 2.解答函數(shù)實際應(yīng)用問題時,一般

4、要分哪四步進(jìn)行? 提示:第一步:分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象; 第二步:建立函數(shù)模型,把實際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題; 第三步:解答數(shù)學(xué)問題,求得結(jié)果; 第四步:把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成具體問題的結(jié)論,做出解答. 而這四步中,最為關(guān)鍵的是把第二步處理好.只要把函數(shù)模型建立妥當(dāng),所有的問題即可在此基礎(chǔ)上迎刃而解. 四、典例分析、舉一反三題型一 一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用例1 (1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元)與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y=6x+30 000,而出廠價格為每套12元,要使該廠不虧本,至少日生產(chǎn)文具盒() A.2 000套B.3 000套 C.4 000套D.5 000套 (2)某水果批發(fā)商

5、銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果,假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱.價格每提高1元,平均每天少銷售3箱. 求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式; 求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式; 當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少? 【答案】（1）D （2）見解析【解析】(1)因利潤z=12x-(6x+30 000), 所以z=6x-30 000,由z0解得x5 000,故至少日生產(chǎn)文具盒5 000套. (2)根據(jù)題意,得y=90-3(x-50),

6、化簡,得y=-3x+240(50x55,xN). 因為該批發(fā)商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量每箱銷售利潤. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50x55,xN). 因為w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以當(dāng)x60時,w隨x的增大而增大. 又50x55,xN,所以當(dāng)x=55時,w有最大值,最大值為1 125. 所以當(dāng)每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元. 解題技巧：（一、二次函數(shù)模型應(yīng)用）1.一次函數(shù)模型的應(yīng)用 利用一次函數(shù)求最值,常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax+b0(或0).解答時,注意系數(shù)

7、a的正負(fù),也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值. 2.二次函數(shù)模型的應(yīng)用 構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時,可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值,也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的對應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解,但一定要注意自變量的取值范圍. 跟蹤訓(xùn)練一1、商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法: 買一個茶壺贈一個茶杯; 按總價的92%付款. 某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優(yōu)惠?

8、2、某自來水廠的蓄水池存有400噸水,水廠每小時可向蓄水池中注水60噸,同時蓄水池又向居民小區(qū)不間斷供水,t小時內(nèi)供水總量為1206t 噸(0t24). 從供水開始到第幾小時時,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少噸? 若蓄水池中水量少于80噸時,就會出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象,請問:在一天的24小時內(nèi),有幾小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象. 【答案】見解析【解析】1. 解:由優(yōu)惠辦法可得函數(shù)解析式為y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xN). 由優(yōu)惠辦法可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xN). y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN), 令y1-y2=0,得x=3

9、4. 所以,當(dāng)購買34個茶杯時,兩種優(yōu)惠辦法付款相同; 當(dāng)4x34時,y134時,y1y2,優(yōu)惠辦法更省錢. 2. 解:設(shè)t小時后蓄水池中的存水量為y噸, 則y=400+60t-1206t ,令6t=x,則x2=6t,即t=x26,所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40, 當(dāng)x=6,即t=6時,ymin=40, 即從供水開始到第6小時時,蓄水池存水量最少,只有40噸. 令400+10x2-120x80, 即x2-12x+320, 解得4x8,即46t8,83t323.因為323-83=8，所以每天約有8小時出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象.題型二 分段函數(shù)模型的應(yīng)用例2一輛汽車在某段路程中

10、的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示 (1)求圖中陰影部分的面積，關(guān)說明所求面積的實際含義； (2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)s與時間t的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象 【答案】見解析【解析】解：（1）陰影部分的面積為501+801+901+751+651=360陰影部分的面積表示汽車在這5 h內(nèi)行駛的路程為360 km.（2）獲得路程關(guān)于時間變化的函數(shù)解析式： 圖像如圖解題技巧：(分段函數(shù)注意事項）)1.分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏. 2.分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集. 3.分段函數(shù)的值域求法:

11、逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結(jié)論. 跟蹤訓(xùn)練二1.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元,經(jīng)預(yù)測可知,市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件,當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時,銷售所得的收入約為5t- 12t2(萬元). (1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位:百件),試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù); (2)當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時,當(dāng)年所得利潤最大? 【答案】 見解析【解析】解:(1)當(dāng)05時,產(chǎn)品只能售出500件. 所以, 所以當(dāng)x=4.75(百件)時,f(x)有最大值, f(x)max=10.781 25(萬元). 當(dāng)x5時,f(x)12-0.255=10.75(萬元). 故當(dāng)年產(chǎn)量為