數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文關(guān)于斜冪等矩陣性質(zhì)的探討

1、莆 田 學 院畢 業(yè) 論 文題 目關(guān)于斜冪等矩陣性質(zhì)的探討 學生姓名 學 號 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 班 級 數(shù)本054 指導教師 二00九年五月十日14傅小燕 關(guān)于斜冪等矩陣性質(zhì)的探討目 錄摘要（1）0 引言（1）1 一些引理（2）2 單個斜冪等矩陣的性質(zhì)（4）3 多個斜冪等矩陣的運算性質(zhì)（6）4 斜冪等矩陣的等價條件（10）結(jié)束語（14）致謝（14）參考文獻（14） 關(guān)于斜冪等矩陣性質(zhì)的探討關(guān)于斜冪等矩陣性質(zhì)的探討（數(shù)學與應用數(shù)學系 指導老師：晏瑜敏）摘要：本文主要是對斜冪等矩陣的某些性質(zhì)進行探討、研究.在與冪等矩陣性質(zhì)的對照下，本文得出主要的相關(guān)結(jié)論有：單個斜冪等矩陣的性質(zhì)，多個斜冪等矩

2、陣的運算性質(zhì)以及矩陣為斜冪等矩陣的等價條件.通過這些斜冪等矩陣性質(zhì)的研究，揭示了斜冪等矩陣與冪等矩陣在一般性質(zhì)上的異同點，以及為進一步認識斜冪等矩陣奠定基礎(chǔ).關(guān)鍵詞：斜冪等矩陣 冪等矩陣 秩 矩陣.abstract: some properties of the srew-idempotent matrix are discussed and studied in this paper.in comparison with the properties of idempotent matrix,the primary conclusions in this paper are the prop

3、erties of single srew-idempotent matrix, multiple srew-idempotent matrix and operation properties the equivalent condition of is srew-idempotent matrix. according to the study of these properties, the same and different points between the idempotent matrix and srew-idempotent matrix are revealed , a

4、s well as a better understanding of idempotent matrix inclined to lay the foundation.keywords: srew-idempotent matrix idempotent matrix rank equivalent condition0 引言 表示數(shù)域上的階矩陣構(gòu)成的集合；符號分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置，逆，伴隨矩陣，秩，跡；表示階單位矩陣；表示階單位矩陣；表示的列空間，即；表示的行空間，即；表示的維數(shù)；表示線性變換的值域,即；的維數(shù)稱為的秩；表示的核，即；的維數(shù)稱為的零度.設，若滿足，則稱矩陣是冪等矩陣；若滿足，

5、則在參考文獻1-2中稱矩陣是斜冪等矩陣；若滿足，則稱矩陣是對合矩陣.冪等矩陣是一類很重要的矩陣，在矩陣理論中有著較廣泛的應用，它的相關(guān)結(jié)論也已經(jīng)被許多學者研究，見文獻3-8.而關(guān)于斜冪等矩陣的文章卻不多，在國內(nèi)的相關(guān)文章只有參考文獻1-2.在參考文獻1中研究的是關(guān)于斜冪等矩陣的一些秩的等式，它是利用冪等矩陣秩的有關(guān)等式來刻畫斜冪等矩陣的一些與秩有關(guān)的等式，從而給出了兩個斜冪等矩陣的和、差以及乘積仍為斜冪等矩陣的等價條件.在文獻2中研究的是用廣義逆刻畫斜冪等矩陣的性質(zhì)，它是利用廣義schur補的最小秩給出斜冪等矩陣的一些與廣義逆有關(guān)的性質(zhì).文獻3-8中研究的都是關(guān)于冪等矩陣的一般性質(zhì)，這就啟發(fā)我

6、們在冪等矩陣這些性質(zhì)的對照下研究斜冪等矩陣的一般性質(zhì).下面先給出幾個引理：1 一些引理引理1.1（見文獻9，第285題） 設是階方陣，則.引理1.2（見文獻10，第304頁） 設是維線性空間的線性變換，則的一組基的原像及的一組基合起來是的一組基.由此還有的秩+的零度=.引理1.3 設矩陣是斜冪等矩陣，則存在可逆矩陣，使得，其中.證明 設維線性空間的一組基，定義線性變換如下：由知，任意，則存在一個，使得，那么取任意,則，即.因此.又由引理2可得.在中取基，在中取基，則是的一組基，且有即在基下的矩陣為.故存在一個可逆矩陣，使得，即.則結(jié)論得證.引理1.4（見文獻6，性質(zhì)7） 設是秩為的冪等矩陣，則

7、，其中，是秩為的階矩陣，是秩為的階矩陣.引理1.5（見文獻6，性質(zhì)5） 設是冪等矩陣，則的秩等于的跡，即.引理1.6（見文獻3，推論3.2） 設為階矩陣，且，則可寫成兩個對稱矩陣之積.引理1.7（見文獻6，性質(zhì)1） 設是階冪等矩陣，對任意實數(shù)，則是可逆矩陣.引理1.8（見文獻5，性質(zhì)7 3，定理5 4，定理2 4，定理8） 設均為冪等矩陣，則有以下結(jié)果：1） 為冪等矩陣的充分必要條件是；2） 如果，那么；3） 若，則存在階可逆矩陣，使得與都為對角矩陣，且主對角上的元素為0或1；4） 若，則可逆，且.引理1.9（見文獻8，性質(zhì)9 3，定理1 7 8，性質(zhì)7） 設是數(shù)域上的的秩為矩陣，則下列命題彼

8、此等價：1）是冪等矩陣；2） 設，其中為階單位矩陣，為維非零列向量，為的轉(zhuǎn)置，則；3） 方陣為對合矩陣；4） ，其中是的值空間中任一向量；5） 存在可逆矩陣，使得；6）；7）；8）；引理1.10 設是數(shù)域上階矩陣，則有1）；2）.證明 1）設且是的一組基，則將其擴充為一組基；擴充為的一組基.則有于是 （1.10.1）往證 線性無關(guān).設 （1.10.2）再令 （1.10.3）由（1.10.2）式有 （1.10.4）則由（1.10.3）（1.10.4）兩式知：，從而，而是的一組基，故 （1.10.5）將（1.10.5）式代人（1.10.4）式，可得 （1.10.6）但線性無關(guān)，由（1.10.6）式

9、可得 （1.10.7）將（1.10.7）式代入（1.10.4）式，得.再由（1.10.3）式，有由線性無關(guān)可得 （1.10.8）由（1.10.7）（1.10.8）知，線性無關(guān)再由（1.10.1）式知故結(jié)論得證同理可證2）成立.2 單個斜冪等矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.1 設是斜冪等矩陣，則也是斜冪等矩陣.證明 由于，則又由引理1知，則故結(jié)論得證.性質(zhì)2.2 設是斜冪等矩陣，則的特征值為.證明 設是矩陣的特征值，為特征值所對應的特征向量，則有.又因為，所以，從而有.故，則.性質(zhì)2.3 設是斜冪等矩陣，則與相似的矩陣也是斜冪等矩陣.證明 設矩陣與相似，則存在可逆矩陣，使得,于是所以是斜冪等矩陣.根據(jù)引理4，

10、我們可以證得斜冪等矩陣也有類似的性質(zhì)，即性質(zhì)2.4 設是秩為的斜冪等矩陣，則存在秩為的階矩陣和秩為的階矩陣，使得，且.證明 由引理3知，存在可逆矩陣，使得,即令，,則，且即結(jié)論得證.由引理5我們知道冪等矩陣的秩等于它的跡，那么斜冪等矩陣的秩和它的跡有什么關(guān)系呢？性質(zhì)2.5 設是斜冪等矩陣，則的秩等于的跡的相反數(shù)，即.證明 設的秩為，則由引理3知與相似，而相似矩陣具有相同的特征值.設是的全部特征值，為的全部特征值，則所以，即.故結(jié)論得證.引理6給出的是，冪等矩陣可以寫成兩個對稱矩陣的乘積，對照此性質(zhì)可以得出斜冪等矩陣也有類似的性質(zhì)：性質(zhì)2.6 設是斜冪等矩陣，且的秩為，則存在對稱矩陣，使得，即任

11、一斜冪等矩陣必可分解為兩個對稱矩陣的乘積.證明 由引理3知，存在可逆矩陣，使得，即令.則，即它們是對稱矩陣，且.在引理7中我們知道冪等矩陣與數(shù)量矩陣的和是可逆矩陣，但斜冪等矩陣卻與數(shù)量矩陣的差是可逆矩陣.如下：性質(zhì)2.7 設是斜冪等矩陣，對，則是可逆矩陣，且.證明 由題設知，則有從而有是可逆矩陣，且.由此可以得出以下結(jié)論：推論2.1 設是斜冪等矩陣，則可逆，且.3 多個斜冪等矩陣的運算性質(zhì)性質(zhì)3.1 設是斜冪等矩陣，且兩兩可交換.則當為奇數(shù)時，也是斜冪等矩陣；當為偶數(shù)時，是冪等矩陣.證明 由于是斜冪等矩陣，且兩兩可交換，則所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.即結(jié)論成立.推論3.1 設是斜冪等矩陣，

12、.則當為奇數(shù)時，是斜冪等矩陣；當為偶數(shù)時，是冪等矩陣.引理8中研究的是當兩個矩陣都為冪等矩陣時，它們所具有的性質(zhì).而當兩個矩陣都為斜冪等矩陣時，它們也具有類似的性質(zhì).即性質(zhì)3.2 設均為斜冪等矩陣，則有以下結(jié)果：1）為斜冪等矩陣的充分必要條件是；2）若為斜冪等矩陣，則；3）若，則；4）若，則存在階可逆矩陣，使得與都為對角矩陣，且主對角上的元素為0或；5）若，對任意實數(shù)且，則或；6）若，則可逆，且.證明 1）“必要性”由于，且，則故，即.又所以，且，即.“充分性” 由于，且，則即結(jié)論得證.2）由于，且，則 則有 （3.2.1）對（3.2.1）式左乘，有，即.對（3.2.1）式右乘，有，即.從而有

13、.3)由于，且，則即結(jié)論得證.4）設的秩為，則由引理3知，存在可逆矩陣，使得 （3.2.2）令，則由得由此得，其中為階子塊. （3.2.3）但，故因此.于是由引理3知，存在可逆矩陣與，使得 （3.2.4） （3.2.5）令,則由及（3.2.2）（3.2.3）（3.2.4）（3.2.5）式可得即結(jié)論得證.5）由題設知,且,則有兩邊同乘以得從而有或，即或.6）由題設知道，,則有從而由可逆，且.除了以上的一些關(guān)于斜冪等矩陣的性質(zhì)外，我們在對照引理9的基礎(chǔ)上研究斜冪等矩陣的等價條件，即4 斜冪等矩陣的等價條件定理 設的秩為，則下列命題彼此等價：1）是斜冪等矩陣；2）設，其中為維非零列向量，則；3）方陣

14、為對合矩陣；4），其中是的值空間中任一向量；5）存在可逆矩陣，使得；6）存在可逆矩陣，使得；7）；8）；9）；10）；11）.證明 具體證明思路；.現(xiàn)證明如下設，為一常數(shù).又矩陣為斜冪等矩陣，即，則所以，即由于為n維非零向量，所以，所以，即.故.由于,則,又因為，所以,故是對合矩陣.由于，則,從而有故是斜冪等矩陣.因為，所以可以令，又由于,故有，即.由于的秩為，則令中列線性無關(guān)，且令為齊次線性方程的一個基礎(chǔ)解系.則是n個線性無關(guān)的列向量.若不然，則它們線性相關(guān)，從而必有其中與是兩個不全為零的數(shù)組.由可得所以矛盾，由此，可作得可逆矩陣再由，可得故.由于，則故結(jié)論得證. 因為的秩為，且由6）知，所

15、以.作下列矩陣運算又矩陣與都可逆.故又由7）知，則作下列矩陣運算又矩陣與都可逆.，故又由7）知，則由引理10得1）式知由于，則，從而有又由8）可知 ，則故.要證,我們只需證.即.由于中各列都是的這些列線性表出的，所以中的各列都屬于.又因為,而中的各列都屬于.所以中的各列都屬于.從而中各列都屬于.又由10）可知.所以，即.故是斜冪等矩陣 由引理10中2）式知 由于，則.所以由上式可得又由9）可知則，故.類似上述證法，要證，只需證.由于中各行都是由的這些列線性表出的，所以中各行都屬于.又因為,從而中各行都屬于.所以中各行都屬于.又由11）可知，.所以，即.故是斜冪等矩陣.結(jié)束語： 矩陣在代數(shù)學中占

16、據(jù)非常重要的地位，關(guān)于矩陣的研究國內(nèi)外都已經(jīng)有很大的成果，但關(guān)于斜冪等矩陣的研究成果卻很少. 通過以上對斜冪等矩陣性質(zhì)的研究，可以知道斜冪等矩陣與冪等矩陣所得的性質(zhì)平行，但也有差異.單個斜冪等矩陣的性質(zhì)與冪等矩陣的性質(zhì)大致相同，不同的是：冪等矩陣與數(shù)量矩陣的和是可逆矩陣，而斜冪等矩陣卻與數(shù)量矩陣的差是可逆矩陣；冪等矩陣的秩等于它的跡，但斜冪等矩陣的秩等于它的跡的相反數(shù).同樣的，多個斜冪等矩陣的性質(zhì)與冪等矩陣的性質(zhì)也是平行，有區(qū)別的是可數(shù)個斜冪等的乘積未必就是斜冪等矩陣.斜冪等矩陣的等價條件是在與冪等矩陣等價條件的對照下得出的，所以它們也是相仿的.但它們的主要差異是符號，矩陣滿足的是冪等矩陣，而

17、矩陣滿足的是斜冪等矩陣.也就是若矩陣是斜冪等矩陣，則就是冪等矩陣.所以若在已有的冪等矩陣結(jié)論的基礎(chǔ)上研究斜冪等矩陣就會事半功倍.致謝：首先，感謝我們的指導老師晏瑜敏老師對我們選題、確定方向、內(nèi)容等的指導，并指導我們對參考文獻的閱讀.在這期間，幫我確定論文方向，找到寫這篇論文的思路，并對這篇論文的進展情況進行了耐心的詢問，還與我共同討論，所以，這篇論文的落定必須感謝晏老師。其次，要感謝我們數(shù)學系為我們提供的各種優(yōu)惠條件，比如免費為我們提供數(shù)學實驗室里的電腦等等。再次，感謝對這篇論文給予我?guī)椭乃型瑢W，他們在我對論文寫作過程中，幫我分析思路，提出看法。參考文獻： 1 陳孝娟等. 關(guān)于斜冪等矩陣的一些秩的等式j聊城大學學報，2007，20（4）：21-25.2 陳孝娟等. 用廣義逆刻畫斜冪等陣的性質(zhì)j商丘師范學院報，2008，24（9）：25-27.3 肖潤梅. 冪等矩陣的概念及性質(zhì)j雁北師范學院學報，2003，19（5）：55-57.4 田冬梅. 有關(guān)冪等矩陣性質(zhì)的探討j科技信息（科學教研），2007，29：470-471.5