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文檔簡介
1、0Q第一講將軍飲馬問題學(xué)習(xí)要點與方法點撥一、主要內(nèi)容(1)將軍飲馬問題得概念、(2)將軍飲馬問題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中得應(yīng)用。3)將軍飲馬問題與勾股左理。二、本章重點掌握將軍飲馬問題得概念與解題思路,能解決將軍飲馬問題與一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形與勾股左理等得綜合習(xí)題。課前預(yù)習(xí)軸對稱得性質(zhì)與作法;一次函數(shù)得性質(zhì);勾股左理得性質(zhì);三角形、矩形、正方形得性質(zhì);三角形得三邊關(guān)系、平移得性質(zhì)。模塊精講一、將軍飲馬問題得概念與基本思路起源:古希臘亞里山大里亞城有一位久負盛名得學(xué)者,名叫海倫。有一天,有位將軍不遠千里 專程前來向海倫求教一個百思不得其解得問題:如圖,有一位將軍從位于A點得軍營
2、,返回位于B點得家中,途中需要到達一條小河MN邊,讓 馬去河里喝水。那么,該如何選擇路徑,才能使將軍回家得過程中,走過得路程最短?精通數(shù)理得海倫稍加思索,便作了完善得回答。這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬問在河MN得同一側(cè),那么,如果A點與B點在河MN得不同側(cè)呢?這時我們好像有一點眉目了,我們要利用得左理就就是:兩點之間直線最短,先找線路再找點。 那我們再回到最開始時得問題,就是不就是有了啟發(fā)呢?思路:為了找線路,可以利用軸對稱得原理,先做對稱,再轉(zhuǎn)化成三角形得三邊關(guān)系、例1,如圖,一匹馬從S點出發(fā),先去河0P邊喝水,再去草地00吃草,然后再回到S點、該如何選擇線路,使得經(jīng)過得總路程最短?草地
3、例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標(biāo)系例2,已知A(2, 3)、B(3, 2),M就是x軸上得一個動點,N就是y軸上得一個動點,求AN + NM + BM得最小值,并求出此吋M、N得坐標(biāo)。思路:作對稱 兩段折線一作一次對稱一轉(zhuǎn)化折線 三段折線一作兩次對稱一轉(zhuǎn)化折線 連線段一最小值例 3,已知 A(3,4)、B(2, 5). M(O,m)、N (0, m+1),求 BM+MN+A N 得最小值,并求此時 對應(yīng)得Hl得值、運用平移得性質(zhì)例4,已知A(4, 1)、B(-3, 2),試在x軸上找一點C,就是|ACBC I最大,求出點C得坐標(biāo)與 這個最大值。構(gòu)造三角形,運用三角形得邊長關(guān)系三、將軍飲馬問題解題
4、思路得歸納學(xué)習(xí)了幾個常見得例子,我們再來整理一下思路、首先明白幾個概念,動點、定點、對稱點、動點一般就就是題目中得所求點,即那個不泄得點。左 點即為題目中固左得點。對稱得點,作圖所得得點,需要連線得點。1、怎么對稱,作誰得對稱?簡單說所有題目需要作對稱得點,都就是題目得定點?;蛘哒f只有定點才可以去作對稱得、(不確 宦得點作對稱式?jīng)]有意義得)那么作誰得對稱點?首先要明確關(guān)于對稱得對象肯定就是一條線,而不就 是一個點。那么就是哪一條線?一般而言都就是動點所在直線。2、對稱完以后與誰連接?一句話:與另外一個頂點相連,絕對不能與一個動點相連、明確一個槪念:定點得對稱點也就是一 個定點。3o所求點怎么確
5、定?首先一定要明白,所求點最后反應(yīng)在圖上一定就是個交點。實際就就是我化所畫直線與已知直線得交點、4o將軍飲馬一定就是求最短距離不?肯定不就是?;蛘哒f求最短距離就是將軍飲馬中得最簡單一類題目。根據(jù)將軍飲馬得基本模型可 以拓展出很多題型、根本原因就是因為在作軸對稱過程中不但就是作了點得對稱,還作了邊長與角度得 對稱!或者說邊長與角度得對稱才就是最關(guān)鍵、四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖,將軍得軍營在A處,與河岸得距離0 A二4km,將軍得家在B處。且QA=7km, QB = 8 km,她下班回家得路上先把馬牽到小河邊去飲水,然后再回到家中,求她下班回家要走得最短路程。0小河AAi2Q例6,如圖,ZP
6、OQ二20 , A%0Q上得點,B為OP上得點,且0 A=1,0B=2,在OB上取點A- 在OQ上取點A2,求AAt + AiA2 + A?B得最小值。例7, Z AOB = 45 ,P就是ZAOB內(nèi)一點,PO =1 0,Q、R分別就是OA、OB上得動點,求APQR周長得最小值。五、三角形、正方形中得將軍飲馬例&如圖,在等邊ZABC中,AB=6, AD丄BC, E就是AC上得一點,M就是AD上得一點,且AE=2,求EM+EC得最小值。例8圖例9,如圖,在銳角ZkABC中,AB=42, ZBAC二45 , ZBAC得平分線交BC于點D, M、N分別 就是AD與AB上得動點,則BM+MN得最小值就
7、是。例10,如圖,正方形A BCD得邊長為& M在DC上,且DM二2,N就是AC上得一動點,DN + M N得就 小值為O例1 1,在邊長為2 cm得正方形ABCD中,點Q為BC邊得中點,點P為對角線AC上一動點,連接PB、PQ,則APBO周長得最小值為cm例12, 次函數(shù)y = kx + b得圖象與x、y軸分別交于點A(2, 0), B(0,4)(1) 求該函數(shù)得解析式;(2) 0為坐標(biāo)原點,設(shè)OA、AB得中點分別為C、D,P為0B上一動點,求PC + PD得最小值, 并求取得最小值時P點坐標(biāo)、J例13,如圖,在坐標(biāo)系xO y中,有一條河,y河岸分別為x軸與直線MN,直線MN與y軸得 P交點
8、為A (0, 2),P. Q兩地位于河得兩岸,且P(O,5)、0(5,-1).現(xiàn)在需要在河上架一座橋,(橋必須垂直于河岸).來溝通P、Q兩地.求M/BN橋得端點B. C得坐標(biāo),使得從P地到Q地得路程最短。)總結(jié):將軍飲馬問題=軸對稱問題二最短距離問題(軸對稱就是工具,最短距離就是題眼)。所謂軸對稱就是工具,即這類問題最常用得做法就就是作軸對稱。而最短距離就是題眼.也就意 味著歸類這類得題目得理由、比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)“線段a+b得最小值”這樣得條件或者問題。一 旦岀現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題.然后利用軸對稱解題。學(xué)習(xí)效果能將實際問題中得地點、河”、草地”抽象為數(shù)學(xué)中得點”、“線”,把最短路徑問 題
9、抽象為數(shù)學(xué)中得線段與最小問題,能利用軸對稱將處在宜線同側(cè)得兩點,變?yōu)閮牲c處在直線得異 側(cè),能利用平移將兩條線段拼接在一起,從而轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題,能通過邏借推理證 明所求距離最短,在探索問題得過程中,體會軸對稱、平移得作用,體會感悟轉(zhuǎn)化得數(shù)學(xué)思想。課后鞏固習(xí)丿1, 已知A (1, 4), B1),在x軸上找一點C,使AC+ B C置小。則C點得坐標(biāo)就是, AC+B C得最小值就是.2, 已知A( 1,3),B(3,1), M就是x軸上一動點,N就是y軸上一動點,則當(dāng)AN+NM+MB最小時,M得坐標(biāo)就是, N得坐標(biāo)就是o3, 已知 A(4,4), B (-1, -3), M (0,
10、 m), N (0, m+ 1 ),當(dāng) BM+MN+AN 最小時,點 M 得坐標(biāo)就是,最小值就是O4, 已知A (4,5), B(2,-2),在x軸上找一點C,則當(dāng)|AC-BC I最大時,點C得坐標(biāo)就是,最大值就是O5, 如圖,點A,B位于直線1得同側(cè),到直線1得距離AC = 1O,BD =30,且CD二30,在直線1上找到一點M,就是A M+BM最短,則靈短距離就是o直線I題5圖題6圖6, 如圖,ZAOB =45,點P在ZAOB內(nèi),且0P = 3,點M,N分別為射線OA,OB上得動點,則APMN得周長得最小值為O7, 如圖,Z AOB =40,點 P, Q 都在 ZAOB 內(nèi),ZA0P =
11、ZB0Q = 1 0 ,且 0P =00 =6,作 點P關(guān)于0A得對稱點Pi,作點Q關(guān)于0B得對稱點Gh,則PiQi =AP8, 如圖,ZA0B = 60,點 P,Q 都在 Z A0B 內(nèi),ZAOP = ZB0Q =15,且 0P 二 & 0 0 = 6。在射線OA、OB上分別存在點M, N,就是PM+MN+NQ得值最小,則最小值就是.9, 如圖, ABC中,AB = 2, ZBAC = 30,若在AC、AB上各取一點M. N,使BM+MN得值最小,則這個 最小值就是多少?1 0,如圖所示,正方形A BCD得面積為12, AABE就是等邊三角形,點E在正方形ABCD內(nèi),在對角線AC 上有一點P,使PD+PE得與最小,則這個最小值為o11, 如圖,若四邊形ABCD 就是菱形,AB=10cm, Z ABC=45 ,E為邊BC上得一個動點,P為BD 上得一個動點,求PC+PE得最小值。12, 如圖,在銳角ZABC中,AB = 4,
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