高中數(shù)學第三章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運算3.1.2空間向量的數(shù)乘運算學案新人教A版選修2-1

1、3.1.1空間向量及其加減運算3.1。2空間向量的數(shù)乘運算1。理解空間向量的概念。(難點)2。掌握空間向量的線性運算。（重點）3.掌握共線向量定理、共面向量定理及推論的應用.（重點、難點)基礎初探教材整理1空間向量的概念閱讀教材p84p85第二自然段內容，完成下列問題。名稱定義空間向量在空間中，具有_和_的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_單位向量長度或模為_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量【答案】大小方向長度或模1長度為0相同相等方向模在平行六面體abcd.a1b1c1d1中，頂點連接的向量中，與向量相等的向量共有()a。1個 b.2個c.3個d

2、。4個【解析】與向量相等的向量有，,共3個.【答案】c教材整理2空間向量的線性運算閱讀教材p85第三自然段p863。1.2第二自然段，完成下列問題.1。（1）空間向量的加、減法運算（如圖3.1。1）圖3。1。1_；_.(2)運算律：ab_；(ab)c_.【答案】ababbaa（bc)2.空間向量的數(shù)乘運算（1)定義：實數(shù)與空間向量a的乘積_仍然是一個_,稱為向量的數(shù)乘運算。當0時，a與向量a方向_；當0時，a與向量a方向_;當0時，a_;a的長度是a的長度的_倍.（2）運算律:（ab)_；（a)_.【答案】（1）a向量相同相反0|(2)ab(）a1.已知空間四邊形abcd中，a，b，c，則等于

3、（）a。abc b.abcc.abcd.abc【解析】abc.【答案】c2.在三棱錐a。bcd中,若bcd是正三角形，e為其中心，則化簡的結果為_.【解析】延長de交邊bc于點f，則有,，故0?！敬鸢浮?教材整理3共線向量和共面向量閱讀教材p86第三自然段p88“思考以上內容,完成下列問題.1。共線向量(1)定義：表示空間向量的有向線段所在的直線_，則這些向量叫做_或平行向量.（2)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a,b（b0），ab的充要條件是存在實數(shù)使_.【答案】（1)互相平行或重合共線向量（2）ab2。共面向量(1）定義：平行于_的向量叫做共面向量。(2）共面向量定理:若兩個向量a，b

4、不共線,則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對（x，y)，使_.推論：空間一點p位于平面abc內的充要條件是存在有序實數(shù)對(x，y），使_;或對空間任一定點o，有xy?！敬鸢浮?1)同一個平面(2)px ay bxy判斷（正確的打“”，錯誤的打“”）（1）共線向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共線向量.(）（2)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線,則這兩個向量不是共面向量。（)（3)如果t，則p,a，b共線。（）(4)空間中任意三個向量一定是共面向量。（）【答案】（1)(2）(3)(4)小組合作型空間向量的有關概念(1)給出下列命題：零向量沒有確定的方向;在正方體

5、abcd。a1b1c1d1中，；若向量a與向量b的模相等,則a，b的方向相同或相反；在四邊形abcd中,必有.其中正確命題的序號是_。(2）如圖3。1.2所示，在平行六面體abcd。abcd中，頂點連接的向量中，與向量相等的向量有_；與向量相反的向量有_.（要求寫出所有適合條件的向量）圖31.2【自主解答】（1)正確；正確,因為與的大小和方向均相同；|a|b|，不能確定其方向,所以a與b的方向不能確定；中只有當四邊形abcd是平行四邊形時，才有.綜上可知,正確命題為.(2)根據(jù)相等向量的定義知，與向量相等的向量有,，。與向量相反的向量有，.【答案】（1）(2），1。在空間中，零向量、單位向量、

6、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相對應的概念完全相同。2.由于向量是由其模和方向確定的，因此解答空間向量有關概念問題時，通常抓住這兩點來解決.3。零向量是一個特殊向量，其方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點說明了共線向量不具備傳遞性.再練一題1。下列說法：若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點相同,終點也相同;若向量,滿足|，且與同向，則;若兩個非零向量與滿足0，則，為相反向量；的充要條件是a與c重合，b與d重合.其中錯誤的個數(shù)為(） 【導學號：37792102】a。1 b.2c。3d。4【解析】錯誤。兩個空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點和終點的位置無關。錯誤

7、.向量的?？梢员容^大小,但向量不能比較大小.正確.0，得，且，為非零向量，所以,為相反向量.錯誤。由,知|，且與同向，但a與c，b與d不一定重合?！敬鸢浮縞空間向量的線性運算如圖3。1。3，已知正方體abcdabcd，點e是上底面abcd的中心，求下列各式中x，y，z的值.圖3。1。3（1)xyz；（2)xyz。【精彩點撥】利用三角形法則或平行四邊形法則表示出指定向量,再根據(jù)向量對應系數(shù)相等，求出x，y,z的值。【自主解答】(1）因為，又xyz，所以x1，y1，z1。(2）因為（），又xyz，所以x，y,z1。用已知向量表示未知向量，是向量線性運算的基礎類型，解決這類問題，要注意兩個方面：(1

8、)熟練掌握空間向量線性運算法則和運算律；(2)要注意數(shù)形結合思想的運用.再練一題2.如圖3.1。4,已知空間四邊形oabc，m，n分別是邊oa，bc的中點,點g在mn上,且mg2gn，設a,b，c,試用a,b，c表示向量。圖3。1。4【解】(）abc.向量的共線及判定如圖3。15，已知四邊形abcd是空間四邊形，e，h分別是邊ab，ad的中點，f，g分別是邊cb,cd上的點,且，.求證：四邊形efgh是梯形。圖3.1。5【精彩點撥】（1)與共線嗎?怎樣證明?（2)|與|相等嗎？【自主解答】e，h分別是ab,ad的中點，則（)()，且|。又f不在直線eh上，四邊形efgh是梯形.1.本題利用向量

9、的共線證明了線線平行，解題時應注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別.2.判斷或證明兩向量a,b(b0）共線,就是尋找實數(shù)，使ab成立,為此常結合題目圖形,運用空間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達.再練一題3.如圖3。1。6,在正方體abcd。a1b1c1d1中，e在a1d1上，且2,f在對角線a1c上，且.圖3。16求證:e,f,b三點共線. 【導學號:37792103】【證明】設a,b,c，因為2，所以,所以b,（）（）abc,所以abc.又bcaabc，所以，所以e，f,b三點共線.探究共研型向量共面探究1p，a，b，c四點共面的四種充要條件.【提示】(1)存在有序實數(shù)對（x,

10、y)，使得xy.(2）對于空間任意一定點o,有xy。(3）空間一點p在平面abc內的充要條件是存在有序實數(shù)組(x,y,z）使得xyz（其中xyz1).（4).探究2如圖31。7所示，已知矩形abcd和矩形adef所在的平面互相垂直,點m，n分別在對角線bd,ae上，且bmbd，anae。圖3.1。7求證:向量，共面。【提示】因為m在bd上，且bmbd,所以.同理.所以.又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，共面.已知a，b，c三點不共線,對平面abc外的任一點o，若點m滿足。(1)判斷，三個向量是否共面；(2）判斷點m是否在平面abc內.【精彩點撥】(1）是否存在實數(shù)x,y，使xy?(2)如

11、何證明四點共面?【自主解答】如圖：(1)由已知，得3，（）（)，.向量,共面.(2)由（1）知，向量，共面，表明三個向量的有向線段又過同一點m，m，a，b，c四點共面,點m在平面abc內.1.證明空間三個向量共面，常用如下方法：（1)設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若axbyc，則向量a，b，c共面；（2）尋找平面，證明這些向量與平面平行.2.對空間四點p，m,a，b可通過證明下列結論成立來證明四點共面:（1）xy;（2)對空間任一點o，xy;(3)對空間任一點o，xyz（xyz1）；（4）（或，或)。再練一題4.如圖3。1。8，已知四邊形abcd是平行四邊形，點p是ab

12、cd所在平面外的一點，連接pa,pb，pc，pd。設點e，f，g，h分別為pab，pbc，pcd，pda的重心.試用向量方法證明e，f，g，h四點共面.圖3。1.8【證明】分別連接pe，pf,pg，ph并延長，交對邊于點m，n，q，r,連接mn，nq,qr，rm,因為點e，f，g,h分別是所在三角形的重心，所以m，n,q,r是所在邊的中點,且，.由題意知四邊形mnqr是平行四邊形,所以（)()(）（）()。又。所以，由共面向量定理知，e，f,g,h四點共面。1.空間四邊形abcd中，m，g分別是bc,cd的中點，則（)a。2b。3c.3d。2【解析】23.【答案】b2.在正方體abcd。a1b

13、1c1d1中，下列各式的運算結果為向量的共有（）（）;（)；（）；（).a。1個 b.2個c。3個d。4個【解析】根據(jù)空間向量的加法法則及正方體的性質，逐一判斷可知都是符合題意的?！敬鸢浮縟3。有下列命題：若，則a，b，c,d四點共線；若，則a，b，c三點共線；若e1，e2為不共線的非零向量，a4e1e2，be1e2，則ab；若向量e1，e2，e3是三個不共面的向量，且滿足等式k1e1k2e2k3e30，則k1k2k30.其中是真命題的序號是_?！窘馕觥扛鶕?jù)共線向量的定義，若，則abcd或a，b，c，d四點共線，故錯；且，有公共點a,所以正確;由于a4e1e244b,所以ab。故正確;易知也正

14、確?！敬鸢浮?。在空間四邊形abcd中，g為bcd的重心,e，f分別為邊cd和ad的中點，試化簡，并在圖中標出化簡結果的向量.圖3.1。9【解】g是bcd的重心，be是cd邊上的中線，。又(），（如圖所示）.尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來，本文稿在發(fā)布之前我們對內容進行仔細校對，但是難免會有不盡如人意之處，如有疏漏之處請指正，希望本文能為您解開疑惑,引發(fā)思考。文中部分文字受到網友的關懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進步，成長。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if t