數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和

1、第 1 講 數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和考點(diǎn)整合：1、數(shù)列通項(xiàng)公式的求解（1）觀察法（2）利用 an 與 Sn 的關(guān)系求 an（3）利用遞推公式求通項(xiàng)公式2、數(shù)列的求和（1）等差、等比數(shù)列的求和 公式法 關(guān)于奇偶項(xiàng)求和問題 關(guān)于含絕對值的數(shù)列求和（2）通項(xiàng)分析法（3）錯位相減法（4）分組求和法（5）裂項(xiàng)相消法（6）倒數(shù)相加法（7）并項(xiàng)求和法考點(diǎn) 1：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解（高頻考點(diǎn)）常見的求解數(shù)列通項(xiàng)公式的方法有觀察法、利用an與 Sn 關(guān)系求 an、利用遞推公式求通項(xiàng)公式 。角度一 觀察法1 1 11. 數(shù)列 1，2， 3，4，Aan1n Can（1）n11 n2. 下列圖形的點(diǎn)數(shù)構(gòu)成數(shù)列11，的一個通

2、項(xiàng)公式為 （51Ban(1)nn1Dannan ，則 a8 等于 ()A 17B22C25D 283. 寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：1）2）3）3, 22, 222,.222n個, 2 3 4 5 6,已知數(shù)列 an 中各項(xiàng)為： 12,1122,111222 ， ，11.122.2,., 7 8 9 10, 將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣，如圖所示，則第 n 行 n 3 從左向右的第 3 個 數(shù)為 1 ,.;7,5, 13,8, 19, 11,.;5. 觀察下列等式：i 1n21n,i 1 22ni213 n12 n1n,i1326ni314 n13 n12n,i1424n4i15 n14 n

3、13 n1n,i152330ni516 n15 n54 n1n2i1621212ni617 n16 n15 n13n+1i1722642nk k 1 k k1 k 2i ak1naknak1nak2n.a1na0i111可以推測，當(dāng) k 2 k N 時， ak 1 1 ， ak， ak 1角度二 已知通項(xiàng)公式 （1）Sn 的形式獨(dú)立：轉(zhuǎn)化 （2）Sn 的形式不獨(dú)立：將 Sn 的形式獨(dú)立：k 1 2an與前 n 項(xiàng)和 Sn關(guān)系求通項(xiàng)Sn 為 an的形式，作差法，使 Sn Sn 1 an n 2，n N* an 轉(zhuǎn)化為 Sn Sn 1 n 2 ，轉(zhuǎn)化法 .211若數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 3

4、an 3，則 an的通項(xiàng)公式 an2. 已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為Sn，a11， Sn 2an1，則 Sn （A2n1D12n13）設(shè) dn求 d2010 .Sn 的形式不獨(dú)立：1 （2015 高考全國卷 ）設(shè) Sn是數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，且 a1 1，an1SnSn1，則 Sn2. 已知數(shù)列 an 中，an 0 ，且對于任意正整數(shù)n 有 Sn 1(an2an） ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足2Sn2 n 2,n N2Sn 113. 已知數(shù)列 an中， an 0 n 1 ， a1 2， （ 1）求證：數(shù)列 1 是等差數(shù)列；Sn（2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .

5、已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn n 5an 85 n N* .（ 1）證明：數(shù)列 an 1 是等比數(shù)列； （ 2）求數(shù)列 Sn 的通項(xiàng)公式，請指出 n 為何值時， Sn取得最小值，并說明理由5. 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 a1 1， 2Sn an 1 1n2 n 2 n N* . （1）求 a2 的值；（2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 . （3）證明：對一切正整數(shù) n，有 1 1 . 1 7 .a1 a2an 4角度三 利用遞推公式求通項(xiàng)公式1. 累加法：形如 an 1 an f n（1）已知 a1 0，an1an（2n1）（nN*），求出滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公

6、式2）在數(shù)列 an中，a12，1 an1 an n（ n 1），求 an.（ 3）對于數(shù)列 an，定義數(shù)列 an 1 an為數(shù)列 an的“差數(shù)列”， 若 a1 2， an的“差 數(shù)列”的通項(xiàng)公式為 2n，則數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sna 2.累乘法：形如 an f nan 1n*（1）已知 a1 1，anan1（n2，nN*），求出滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.n 1（ 2）在數(shù)列 an中， a11，an1 2nan，求 an.（ 3）已知數(shù)列 an 中， a1 1， 2nan 1 n 1 an ，則數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 3.構(gòu)造輔助函數(shù)列（ 1）待定系數(shù)法：形如 an 1 pan q p,q

7、為常數(shù)， pq 0且 p 1 的遞推式 .法 1：構(gòu)造 an 1 + =p an法2：遞推一步，anpan-1q ，兩式作差，an 1anp anan-1，構(gòu)造an 1an為等比數(shù)列求解 .例：已知是數(shù)列 an滿足 a11，an 1 1 1 an ，求其通項(xiàng)公式 .形如 an 1 pan qn r p,q,r為常數(shù)， p 0,p 1 的遞推式 . 方法：可構(gòu)造 an 1 a n 1 b p an an b 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 . 例：在數(shù)列 an中， a12， an 1 4an 3n 1 n N* , 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式2）同除以指數(shù)：形如 an 1 pan dn p 0且p 1， d 1

8、的遞推式 .法 1：兩邊同除以 pn 1 ，轉(zhuǎn)化為疊加法求解 .法 2：兩邊同除以 dn 1 ，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法求解 .例 1：已知數(shù)列 an滿足， an 3an 1 2n1 n 2,n N* ,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式例 2：在數(shù)列 an中， a11， an1 2an 2n.（1）設(shè) bn ann1 ，試證明：數(shù)列 bn 是等差數(shù)列； 2（2）求數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和 Sn.3）取倒數(shù)法：形如 an 1 aan ac 0 的遞推式 .b can方法：取倒數(shù) 1 b can b. 1 c ，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法求解 .an 1aana an a例1：在數(shù)列 an中， a11， an 1 2an ，

9、求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式2 an例 2：已知數(shù)列 an的首項(xiàng)為 a1 3，an1 3an n 1,2,. ，求數(shù)列 an的通項(xiàng) 公式 .例3：已知數(shù)列 an中，a11，SnSn1 ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式2Sn 1 14）取對數(shù)法：形如 an 1 cank c 0,an 0 的遞推式 . 方法：兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解 . 例 1：已知數(shù)列 an 中，a13，且 an 1 an2 n N * ，則數(shù)列的通項(xiàng) an 例2：已知數(shù)列 an中，a110，an1 10an2 ，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式5）遞推式法：形如 an 1 an f n 的遞推式 .方法：將原遞推式改寫成 an 2 an 1 f

10、 n 1 ，兩式相減： an 2 an f n 1 f n ， 然后 n 分奇偶數(shù)討論即可 .形如 an 1.an f n 的遞推式 .方法：同上 .例 1：已知數(shù)列 an 中， a11， an 1 an 2n ，求 an.例 2：已知數(shù)列 an 中， a13， an 1 an n2 ，求 an.考點(diǎn) 2：數(shù)列的求和（高頻考點(diǎn)）（1）等差、等比數(shù)列的求和 公式法 關(guān)于奇偶項(xiàng)求和問題 關(guān)于含絕對值的數(shù)列求和（2）通項(xiàng)分析法（3）錯位相減法（4）分組求和法（5）裂項(xiàng)相消法（6）倒數(shù)相加法（7）并項(xiàng)求和法即：角度一 等差、等比數(shù)列的求和 （1）公式法（見單獨(dú)的講解） （2）關(guān)于奇偶項(xiàng)求和問題先求偶數(shù)

11、項(xiàng)的和， 再求奇數(shù)項(xiàng)的和。 求奇數(shù)項(xiàng)時， 將奇數(shù)情形轉(zhuǎn)化為偶數(shù)情形，Sn Sn 1 偶 +an Sn 1 偶 an 1 例1：已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an1 n 1n2 ，求其前 n項(xiàng)和Sn.例 2：已知數(shù)列 an 中，通項(xiàng)an2n 1（n為正奇數(shù) ）3n （n為正偶數(shù) ）求其前n 項(xiàng)和 Sn .3）關(guān)于含絕對值的數(shù)列求和（有技巧）例 1：在公差為 d的等差數(shù)列 an 中，已知 a1 10，且 a1，2a2 2 ， 5a3成等比數(shù)列1）求 d， an；2）若 d 0，求 |a1| |a2 | |a3| . |an|.例 2 ：在等差數(shù)列 an 中， a10 23 ， a25 22 ， S

12、n 為其前 n 項(xiàng)和 Sn .（ 1 ）求使 Sn 0 的最小正整數(shù) n ；2）求 Tn | a1|+ | a2|+| a3|+.+| an| .例 3：已知等差數(shù)列 an 前三項(xiàng)的和為 -3 ，前三項(xiàng)的積為 8. （1 ）求等差數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）若 a2， a3 ， a1成等差數(shù)列，求數(shù)列 |an| 的前 n項(xiàng)和.角度二 通項(xiàng)分析法 方法：先分析數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，再選擇合適的方法求和 .例 1：求數(shù)列 1,1+2,1+2+22，1+2+22+2n-1，的前 n 項(xiàng)的和 .例 2 ：求數(shù)列 9,99,999,.,99.9的前 n 項(xiàng)的和 . n個9角度三 錯位相減法a求數(shù)列 an.b

13、n 和 an 的前 n 項(xiàng)的和，數(shù)列 an 與bn 分別為等差與等比數(shù)列 bn例 1：已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn 且 ann2n，則 Sn .例2：已知數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和Sn1n2 kn 其中k N* ,且Sn的最大值為 8.（ 1）確定常數(shù) k，并求 an.（2）求數(shù)列 9 2nan 的前 n 項(xiàng)和 Tn.2n例 3：已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn3n28n，bn 是等差數(shù)列，且 anbnbn1. （1）求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式；（an1）n1（2）令 cn （bn 2）n .求數(shù)列 cn的前 n 項(xiàng)和 Tn.例 4：已知數(shù)列 an是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列a1a 的前

14、n項(xiàng)和為 2nn1（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) bn（an1）2an ，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Tn.例 5：已知 an是等差數(shù)列，其前 n 項(xiàng)和為 Sn， bn是等比數(shù)列，且 a1 b1 2,a4 b4 27, S4 b4 10.（1）求數(shù)列 an和 bn的通項(xiàng)公式；（2）記 Tnanb1an 1b2.a1bnn N* , 證明：Tn122an10bnn N * .角度四 分組求和法 通常出現(xiàn)的情況：等差 +等比，等差 + 常數(shù)列，等比 +常數(shù)列 例 1：若數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an2n2n1，則數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 例 2：在等差數(shù)列 an中，a10，a10a111，

15、且 3(an2 an)10an10(nN*)(1) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn 13an 是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列，求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和 Sn.角度五 裂項(xiàng)相消法111 分式裂項(xiàng) 1 n常用的裂項(xiàng)相消變換有：n p p n n p n n 1 n 2 2 nn 1 n 1 n 22. 根式裂項(xiàng) n 1n p 1p n p n3. 對數(shù)式裂項(xiàng) lg n p lg n p lg n4. 指數(shù)式裂項(xiàng) aq例 1：數(shù)列 an 中，nan n1n1aqqnqn1q 1;1，ann(n1)，qn1qn 1 q n 1 1 q 1 q2 017若 an的前 n項(xiàng)和為

16、22 001178，則項(xiàng)數(shù) n為( )11n n 11 q 1q1A2 016C2 018 例 2 ： 21 1 12 1n1AA2(n2)C3 1C4 2 n 1 n232142111例 3：已知函數(shù) f(x)xa 的圖象過點(diǎn)BD2 0172 0191n1)21的值為 ()B 3n 1B42( n2)3 1 1 D 2 n 1 n21(4，2) ，令 anf(n1)f(n) nN .記數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 S2 017( A 2 0161 C 2 018 1 例 4 ：已知數(shù)列 1, 1 1B 2 017 1D 2 019 11,., 求它的前 n 項(xiàng)和 Sn.1 2 1 2

17、 3 1 2 3 . n例 5：Sn為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和已知 an0，an22an4Sn3.(1) 求an 的通項(xiàng)公式；1(2) 設(shè) bn，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和anan1例 6：等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且滿足 a1a7 9， S9 929.(1) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；13(2)設(shè) bn2S，數(shù)列 bn的前 n項(xiàng)和為 Tn，求證： Tn4.例 7：數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn2n12，數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為 a1，公差為 d(d0)的等 差數(shù)列，且 b1，b3，b9 成等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an與bn的通項(xiàng)公式； 2*(2) 若 cn(n1)b (nN*)，求數(shù)列

18、 cn的前 n 項(xiàng)和 Tn.角度六 倒序相加法將一個數(shù)列倒過來排列，當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)可循，并且容易求和，通常涉及到 f x f a x 常數(shù) ，可簡便運(yùn)算 . 11例 1：函數(shù) f x4x 1 m m 0,x1,x2R ，當(dāng) x1x21 時， fx1fx221 .（1 ）求 m 的值；（2 ）已知數(shù)列 an滿足 an f 0 f 1n f 2n . f nn1 f 1 ，求 an.3）若 Sn= a1+ a2+ an，求 Sn.例 2 ：設(shè) f x1，2x2 ，求 f 7 f 6 f 5 . f 0 . f 8 的值 .例 3：設(shè)函數(shù) f(x)12log21x x，定義 Snf 1n

19、 f n2 f nn 1 ，其中 nN*， 且 n 2，則 Sn 例 4 ：已知數(shù)列 an是首項(xiàng)為 1 ，公差為 2 的等差數(shù)列，求1.Sn Cn a1 Cna2 Cn a3 . Cn an角度七 并項(xiàng)相加法一個數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解， 則稱之為并項(xiàng)求和 形如 an( 1)nf(n)類型， 可采用兩項(xiàng)合并求解例 1：數(shù)列an的前 n項(xiàng)和為 Sn，已知 Sn1234 (1)n 1n，則 S17()A 9B8C17D 16n例 2：數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 anncos 2，其前 n 項(xiàng)和為 Sn，則 S2 017等于()A1 002B1 004C1 006D1 008例 3：在數(shù)列 a

20、n 中， a12，a22，an2an1(1)n，nN*，則 S60 的值為 ( ) A990B1 000C1 100D 99例 4：已知數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn， a1 1，當(dāng) n 2時， an 2Sn1 n，則 S2 017的值 為()B2 013A2 015C1 008D1 009例 5：已知數(shù)列 an滿足an 1 21 an an2，且 a1 12 ，則該數(shù)列的前 2018 項(xiàng)的和等于例 6：已知數(shù)列 an 滿足 a11，anan211(n1)，則 a2 017 ， |an an1|( n1) 第 2 講 等差數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和1等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個數(shù)列從第 2

21、項(xiàng)起， 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為 an1 an d( n N * ， d為常數(shù) )(2) 等差中項(xiàng)a bb 的等差中項(xiàng)數(shù)列 a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是 Aa2 b，其中 A叫做 a，2等差數(shù)列的有關(guān)公式(a1an)n2(1)通項(xiàng)公式： ana1(n 1)dn(n1)(2) 前 n 項(xiàng)和公式： Sn na12d3等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列 an是等差數(shù)列， Sn是其前 n 項(xiàng)和(1)通項(xiàng)公式的推廣： anam (nm)d(n，mN*)(2)等差中項(xiàng)的推廣：若 kl m n(k，l，m，nN*)，則 akal am an特別地，當(dāng) m n=2p

22、 時，則有 am an 2ap.(3) 等差數(shù)列線性組合：設(shè) an是等差數(shù)列，則 nab( ， b R)也是等差數(shù)列 .設(shè) an ， bn是等差數(shù)列，則 panqbn(p，qR)也是等差數(shù)列(4) 有限項(xiàng)等差數(shù)列對于項(xiàng)數(shù)為 2n 的等差數(shù)列，有：S偶an 1S奇anS2n n an an 1 ， S奇 nan ， S偶 nan 1 ， S偶 S奇 nd ， 若an的公差為 d，則 a2n也是等差數(shù)列，公差為 2d 對于項(xiàng)數(shù)為 2n 1的等差數(shù)列，有：S2n 12n 1 an ， S奇 nan ， S偶n 1 an ，S奇S偶an ，S奇S偶nn1(5) 等差數(shù)列的單調(diào)性及前 n 項(xiàng)和 Sn的最

23、值公差 d 0an 為遞增等差數(shù)列， Sn 有最小值；公差 d 0an 為遞減等差數(shù)列， Sn 有最大值；若 a1 0 ，則 Sn 有最大值；d0若 a1 0 ，則 Sn 有最小值 .d0(6) 其他衍生等差數(shù)列若已知等差數(shù)列 an ，公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 Sn，則： 數(shù)列 ap,apt,ap 2t ,.a p nt ,.為等差數(shù)列，公差為 td. 數(shù)列 Sm， S2m Sm，S3mS2m，構(gòu)成等差數(shù)列，公差為 m2d . 數(shù)列 S1 ，S2 ，S3 ，.為等差數(shù)列，公差為 d .1 2 3 2考點(diǎn)整合：1、等差數(shù)列的基本運(yùn)算 ( 高頻考點(diǎn) )(1)求公差 d、公差 d 的取值范圍、項(xiàng)數(shù)

24、 n 或首項(xiàng) a1；(2)求通項(xiàng)或特定項(xiàng)；(3) 求前 n 項(xiàng)和2、等差數(shù)列的判定與證明3、等差數(shù)列的性質(zhì)及最值考點(diǎn) 1：等差數(shù)列的基本運(yùn)算 (高頻考點(diǎn) ) 等差數(shù)列基本量的計(jì)算是高考的?？純?nèi)容，多出現(xiàn)在選擇題、填空題或解答題的第 (1) 問中，屬容易題高考對等差數(shù)列基本量計(jì)算的考查主要有以下三個命題角度：(1) 求公差 d、公差 d 的取值范圍、項(xiàng)數(shù) n 或首項(xiàng) a1； (2)求通項(xiàng)或特定項(xiàng)；(3) 求前 n 項(xiàng)和角度一 求公差 d、項(xiàng)數(shù) n 或首項(xiàng) a11(2017 豫東、豫北十所名校聯(lián)考 )已知等差數(shù)列 an中， a5 13，S535，則公差 d ()A2B 1C1D32.設(shè) Sn 為等

25、差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和，若 a11，公差 d 2，Sn2 Sn 36，則 n ()A5B 6C7D83(2017 金麗衢十二校聯(lián)考 )已知等差數(shù)列 an滿足： a313，a1333，則數(shù)列 an 的 公差為 角度二 求通項(xiàng)或特定項(xiàng)1. 教材習(xí)題改編 等差數(shù)列 11，8，5，中 49 是它的第幾項(xiàng) ( ) A第 19 項(xiàng)B第 20項(xiàng)C第 21 項(xiàng)D第 22 項(xiàng)2 (2016 高考全國卷乙 )已知等差數(shù)列 an前 9 項(xiàng)的和為 27，a108，則a100 ( )A 100B99C98D 97角度三 求前 n 項(xiàng)和11已知數(shù)列 an 中，a1 1，anan1 2(n2)，則數(shù)列 an 的前 9

26、項(xiàng)和等于 2. 教材習(xí)題改編 等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)之和為 Sn，若 a56，則 S9 為 ()A 45B54C63D 273設(shè) Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， a12 8， S9 9，則 S16 考點(diǎn) 2：等差數(shù)列的判定與證明等差數(shù)列的四種判斷方法(1) 定義法： an1 and(d是常數(shù) )? an是等差數(shù)列(2)等差中項(xiàng)法： 2an1anan2(nN*)? an是等差數(shù)列(3) 通項(xiàng)公式法： anpnq(p，q 為常數(shù) )? an 是等差數(shù)列(4) 前 n項(xiàng)和公式法： SnAn2Bn(A、B 為常數(shù) )? an是等差數(shù)列 通常采用定義法、等差中項(xiàng)法， 其中涉及變形、遞推等

27、方法使用， 遞推式的使用有一邊 通常為常數(shù)。1. 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a11，an0，anan1Sn 1，其中 為常數(shù)(1) 證明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an 為等差數(shù)列？并說明理由1 * 1 *2. 已知數(shù)列 an 中， a12，an2(n2，nN*)設(shè) bn(n N * )，求證：an1an 1數(shù)列 bn是等差數(shù)列3設(shè)數(shù)列 a1,a2,.,an,.中的每一項(xiàng)都不為 0. 證明：數(shù)列an 為等差數(shù)列的充分必要111n條件是對任何nN* ,都有 11.1na1a2a2a3anan 1a1an 14已知數(shù)列 an 滿足 a1 1，a2 3，an 2 3an

28、 1 2an（n N*）.（ 1）證明：數(shù)列 an 1 an 是等比數(shù)列 .（2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 .（3）若數(shù)列bn滿足 4b11 4b2 1. 4bn1an1 bnn N* ，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列 .考點(diǎn) 3：等差數(shù)列的性質(zhì)及最值角度一 通項(xiàng)公式的推廣： anam （nm）d（n，mN*）1已知 an ，bn 都是等差數(shù)列，若 a1b109， a3b8 15，則 a5b6角度二 等差中項(xiàng)的推廣：若 k lmn（k，l，m， nN*），則 akalaman 1在等差數(shù)列 an中， a3 a9 27 a6， Sn表示數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，則 S11（）A 18B99C198D

29、2972（2017 陜西省五校模擬 ）等差數(shù)列 an 中，如果 a1 a4a7 39，a3 a6 a927，則 數(shù)列an前 9 項(xiàng)的和為 （）A 297B144C99D 66角度三 用有限項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)求解1已知等差數(shù)列 an的公差為 2，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為15，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為 25，則這個數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 （ ）A 10B20C30D 402. 已知兩個等差數(shù)列 an和bn的前n項(xiàng)和分別為 An和Bn，且An 7n 45 ，則使得 an n n n n Bn n 3bn為整數(shù)的正整數(shù) n 個數(shù)是 角度四 等差數(shù)列的單調(diào)性1. 在等差數(shù)列 an中， a1 7，公差為 d，前 n項(xiàng)和為

30、 Sn，當(dāng)且僅當(dāng) n8時 Sn取得最大 值，則 d 的取值范圍為 2. 在等差數(shù)列 an 中， a1 29， S10 S20，則數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和 Sn的最大值為 ( ) A S15B S16CS15 或 S16D S173. 數(shù)列 an為等差數(shù)列， 若 a111，且其前 n項(xiàng)和 Sn有最小值，那么當(dāng) Sn取得最小正值時， n=A. 114已知A. a1, a50B.17 C.19 D.20C.19D.20a ,x 7 數(shù)列，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(B.C. 2,3D. 1,33 a x 3,x 75已知函數(shù) f x x 6，若數(shù)列 an滿足 an f n n N* , 且 an是遞增角

31、度五 其他衍生等差數(shù)列1. 等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S2=2，S4=10，則 S6=2. (2015 高考全國卷 )已知an是公差為 1 的等差數(shù)列， Sn為an的前 n 項(xiàng)和，若 S8 4S4，則 a10 ()B192C10D12在等差數(shù)列 an中， S10 100， S10010，則 S110已知 an 為等差數(shù)列，若 a1 a2 a3 5， a7 a8a910，則 a19 a20a21 1.教材習(xí)題改編 已知 p：數(shù)列 an 是等差數(shù)列， q：數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 ank1nk2(k1， k2 均為常數(shù) )，則 p 是 q 的()A 充分不必要條件B必要不充分條件C充

32、要條件D既不充分也不必要條件2若等差數(shù)列 an的前 5 項(xiàng)之和 S5 25 ，且 a23，則 a7()A 12B13C14D 1533在單調(diào)遞增的等差數(shù)列 an 中，若 a3 1， a2a4 4，則 a1()AC114B0D4在等差數(shù)列an中，a3a5 a11 a17 4，且其前n 項(xiàng)和為 Sn，則 S17 為 (B17A20C42D 845(2017 東北三校聯(lián)考 (一)已知數(shù)列 an的首項(xiàng)為 3，bn 為等差數(shù)列，且 bn an 1 an(nN*)，若 b3 2，b2 12，則 a8()A0B 109C 181D 1216(2017 黃岡質(zhì)檢 )在等差數(shù)列 an 中，如果 a1a240，a

33、3a460，那么 a7 a8 ()A 95B100C135D 807(2017 杭州重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考 )設(shè) Sn為等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，若 a4|a4|，則 使 Sn0 成立的最小正整數(shù) n為()A 6B7C8D 98在等差數(shù)列 an中，a10，公差 d0，若 ama1a2 a9，則m的值為9設(shè) Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， S2 S6， a4 1，則 a5 10若兩個等差數(shù)列 an和bn的前 n項(xiàng)和分別為 Sn和 Tn，已知TSn 7n ，則ba5等于 Tn n 3b511記等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，當(dāng) k2時，若 Sk18，Sk0，Sk110，則 Sn 的最大值

34、為 an 1112已知數(shù)列 an滿足 a11，an 1(n N * ， n 2)，數(shù)列 bn滿足關(guān)系式 bn 12an 1 1an(nN*)(1) 求證：數(shù)列 bn 為等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式13. 在等差數(shù)列 an 中，已知 a1 20，前 n 項(xiàng)和 Sn，且 S10=S15，求當(dāng) n 取何值時， Sn有最大值，并求此最大值14已知等差數(shù)列 an中， Sn是前 n項(xiàng)的和， a1 2 017，2S 20 01177 2S 20 01155 2，則 S2 019 的值為 2*15各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an 滿足 an24Sn2an1(nN*)，其中 Sn 為an的前 n 項(xiàng)和 (1

35、)求 a1，a2 的值；(2) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式*16已知數(shù)列 an滿足 2an1anan2(nN*)，它的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a310，S672， 1若 bn2an30，設(shè)數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，求 Tn的最小值第 3 講 等比數(shù)列及其前 n 項(xiàng)和1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義如果一個數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零 )，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列 這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比， 通常用字母 q 表示，定義的表達(dá)式為 an1q(q0，nN*)an(2) 等比中項(xiàng)如果 a、G、b成等比數(shù)列，那么 G叫做 a與b的等比中項(xiàng)即： G是 a與b的等比

36、中 項(xiàng)? G2 ab2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式： an a1qn 1 anamqn-mna1，q1，(2)前 n 項(xiàng)和公式：nSn a1（1 qn） a1anq n 1 1 n ， q1.1q1 q3等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列 an是等比數(shù)列， Sn是其前 n項(xiàng)和 (m，n，p，q，r，kN*)2 (1)等比中項(xiàng)的推廣：若 mnpq 2r，則 amanapaqar2； (2)設(shè) an是等比數(shù)列，則 an (非零常數(shù))，|an| ， anm 仍為等比數(shù)列設(shè) an和 bn為等比數(shù)列，則 anbn 也為等比數(shù)列(3) 等比數(shù)列的單調(diào)性an 為遞增數(shù)列an 為遞減數(shù)列當(dāng) a1 0 或 a1 0 時

37、， q 1 0 q 1當(dāng) a1 0 或 a1 0 時，0 q 1 q 1qt；qm(此時 an 的公比 q1）(4) 其他衍生數(shù)列數(shù)列 am， amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列，公比為數(shù)列 Sm，S2m Sm，S3mS2m，仍是等比數(shù)列， 公比為易誤點(diǎn)(1)由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此 q 也不能為 0，但 q可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù)(2)由 an1qan，q0，并不能立即斷言 an 為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證 a10.(3) 在運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時，必須注意對 q 1 與 q 1 分類討論，防止因忽 略 q1 這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤考點(diǎn)整合：1、等比

38、數(shù)列的基本運(yùn)算 (高頻考點(diǎn) )(1)求首項(xiàng) a1、公比 q、 公比 q 的取值范圍或項(xiàng)數(shù) n；(2)求通項(xiàng)或特定項(xiàng)；(3) 求前 n 項(xiàng)和2、等比數(shù)列的判定與證明3、等比數(shù)列的性質(zhì)考點(diǎn) 1：等比數(shù)列的基本運(yùn)算 (高頻考點(diǎn) )等比數(shù)列的基本運(yùn)算是高考的常考內(nèi)容， 題型既有選擇題、 填空題，也有解答題， 屬中、 低檔題高考對等比數(shù)列基本運(yùn)算的考查主要有以下三個命題角度：(1)求首項(xiàng) a1、公比 q、 公比 q 的取值范圍或項(xiàng)數(shù) n；(2)求通項(xiàng)或特定項(xiàng)；(3) 求前 n 項(xiàng)和角度一 求首項(xiàng) a1、公比 q、公比 q 的取值范圍或項(xiàng)數(shù) n1 (2015 高考全國卷 )在數(shù)列 an中，a12，an12

39、an，Sn為an的前 n 項(xiàng)和若 Sn 126，則 n 2. 設(shè)公比為 q（q0，a5a115，a4a26，則 a3 4. 已知等比數(shù)列 an為遞增數(shù)列，且 a52 a10，2an an 2 5an 1，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an 角度三 求前 n 項(xiàng)和41已知數(shù)列 an滿足 3an1an0，a23，則an的前 10 項(xiàng)和等于 （）10 1 10A 6（1310）B9（13 ）10 10C3（1 3 ）D 3（1 3 ）2. 設(shè) f n 2 24 27 210 . 23n 10 n N* . 則 f n 13（2017 沈陽質(zhì)量監(jiān)測 ）數(shù)列 an 是等比數(shù)列， 若 a2 2，a5 4，則 a1

40、a2 a2a3 anan 1 考點(diǎn) 2：等比數(shù)列的判定與證明等比數(shù)列的三種判定方法an 1*（1）定義法： an 1 q（q是不為零的常數(shù)， nN*）? an是等比數(shù)列 an n 1*（2）通項(xiàng)公式法： ancqn 1（c、q 均是不為零的常數(shù)， nN*）? an是等比數(shù)列 2*（3）等比中項(xiàng)法： an1anan2（anan1an20，nN ）? an 是等比數(shù)列 1 （2016 高考全國卷丙 ）已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn1 an，其中 0.（1）證明 an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；31（2）若 S5 32，求 .2已知數(shù)列 an是等差數(shù)列， a310，a622，數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)

41、和是 Tn，且 Tn 3bn 1.(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列考點(diǎn) 3： 等比數(shù)列的性質(zhì)角度一 等比中項(xiàng)的推廣：若 mnpq 2r，則 am an ap aq ar21.教材習(xí)題改編 由正數(shù)組成的等比數(shù)列 an 滿足 a3a8 32，則 log 2a1 log2a2 log 2a10 2. 已知等比數(shù)列 an 滿足 a114，a3a54(a41)，則 a2()A2B1CD3. 等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 an0，q1，a3a520，a2a664，則 S5( A 31B36C42D48角度二 數(shù)列 Sm，S2mSm， S3mS2m，仍是等比數(shù)列

42、，公比為 qm. 1設(shè)等比數(shù)列 an中，前 n 項(xiàng)和為 Sn，已知 S3 8， S6 7，則 a7a8a9等于()ABC578D5582.教材習(xí)題改編 設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.若 S23，S415，則 S6()A 31B323. 已知 Sn是等比數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和，若存在 m N* ，滿足 S2m9，a2m5m1，則Smamm 1數(shù)列 an 的公比為 設(shè)等比數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn， S6 3,則 S9 S3S6等比數(shù)列 an的首項(xiàng) a1 1，前 n項(xiàng)和為 Sn，若SS 3312，則公比 q4.5.分類討論思想在等比數(shù)列中的應(yīng)用在等差數(shù)列 an中，已知公差 d2，a2

43、是 a1與 a4的等比中項(xiàng) （1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) bnan（n1），記 Tn b1b2b3b4 （1）nbn，求 Tn. 21.2. 設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S3，S9，S6成等差數(shù)列，求數(shù)列的公比 q.1.教材習(xí)題改編 在 9 與 243 中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩 個數(shù)為 1（2017 太原一模 ）在單調(diào)遞減的等比數(shù)列5an 中，若 a3 1，a2a42，則 a1（）AC2AC3 AC4AC2B 2D 2 21 已知等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn a2n 1 6，則 a 的值為 （ ）1 3 1 2 等差數(shù)列 an 的

44、公差為 2，若 a2， n（n 1） n（n1）2 等比數(shù)列 an中， a42，a55， 6 4BDa4，BD1312 a8成等比數(shù)列，則 an的前 n項(xiàng)和 Sn（）n（n 1） n（ n1）2則數(shù)列 lg an的前 8 項(xiàng)和等于 （）B5D3n 1 3 513設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn， n N *.已知 a11，a22，a34，且當(dāng) n2 時， 4Sn 2 5Sn 8Sn1 Sn1.(1)求 a4 的值；1(2)證明： an1 21an 為等比數(shù)列25(2017 萊蕪模擬 )已知數(shù)列 an ，bn滿足 a1b13，an1an3，nN*，若bn數(shù)列 cn 滿足 cnban，則 c2

45、 017()2 0162 016A 9B272 0172 017C92 017D272 01755Sn6(2017 唐山一模 )已知等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a1a3 ，a2a4 ，則 n24an()A 4n1B4n1n 1nC2n 1D 2n 17已知數(shù)列 an是遞增的等比數(shù)列， a1a49，a2a38，則數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和等于8(2017 鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)設(shè)等比數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 27a3a60，則S9若 an是正項(xiàng)遞增等比數(shù)列， Tn表示其前 n 項(xiàng)之積，且 T10T20，則當(dāng) Tn取最小值 時， n 的值為 10在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 an

46、 中，已知 a2a416，a632，記 bn an an1，則 數(shù)列 bn的前 5 項(xiàng)和 S5為* 11已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 Sn4an3(nN*)(1)證明：數(shù)列 an 是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列 bn滿足 bn1anbn(nN*)，且 b1 2，求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式12(2017 衡陽模擬 )在等比數(shù)列 an中，a12，前 n 項(xiàng)和為 Sn，若數(shù)列 an 1也是等 比數(shù)列，則 Sn ()A 2n12B3nC2nD 3n 114 (2017 南昌模擬 )已知公比不為 1 的等比數(shù)列 an的首項(xiàng) a1 2，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a4S4，a5S5，a6S6 成等差數(shù)列(1)求等比數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)對