[論文精品] 構(gòu)造向量解數(shù)學(xué)問題的一些應(yīng)用

1、構(gòu)造向量解數(shù)學(xué)問題的一些應(yīng)用 摘要 本文對中學(xué)的距離、面積、體積和不等式求解證明等問題利用向量來求解證明，并對向量的應(yīng)用作簡單歸納總結(jié).能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.關(guān)鍵詞 向量；距離；面積；體積；柯西不等式向量作為數(shù)學(xué)的重要工具，有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合的一個重要工具，是一種很好的數(shù)學(xué)研究方法，并且列入到高中數(shù)學(xué)教材，有利于發(fā)展中學(xué)生的思維能力和激活創(chuàng)新思維.向量是研究代數(shù)和幾何之間的橋梁和紐帶，利用向量解決代數(shù)問題和幾何問題，常常能使一些復(fù)雜的問題簡單化構(gòu)造向量法解題對給定的一個數(shù)學(xué)問題,只有對其結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行了認(rèn)真的觀察、研究、確認(rèn)和向量具有某些聯(lián)系,才能用構(gòu)造法來解，且利用構(gòu)造向量來解答，

2、證明會有意想不到的效果.本文運用向量工具對幾個數(shù)學(xué)問題進(jìn)行一些應(yīng)用. 一.平面上點到直線距離公式向量的數(shù)量積作為向量乘法一種重要運算，在向量理論中占有十分重要的位置，對求平面、空間距離十分有效. 設(shè)平面上一條直線，在平面上，為直線的單位法向量，是直線外平面上一定點，求p到直線的距離.解 從圖1容易可知，有幾何射影的意義，得 因為由此，我們想到中學(xué)的點到直線的距離公式 圖 1現(xiàn)在，我們用向量方法來證明它.證明 如圖2，假設(shè)直線：，取它的方向向量,為直線的法向量.設(shè)，因為 所以，故稱為直線的法向量，與單位向量于是，點即為直線：的距離等于向量在方向上射影的長度： 又因為為上任意一點，所以，故那么，點

3、到面的距離又怎么求呢？下面我們探討一下：二空間中點到平面距離設(shè)同在一個平面上，點,求點p到平面的距離。解 取平面內(nèi)任意點f，有向量，我們知道平面的法向量為，找點p在上的射影m，則有/,且|為所求的距離，于是.利用以上的基本方法，可以通過構(gòu)造向量法，有效地解決平面、空間上的距離問題.三.構(gòu)造向量求方程的解求方程的解，一般是用代數(shù)的方法來求解。換另一種思維思考，觀察方程的特征，通過構(gòu)造向量，有時也能簡化無理方程來求方程的解.例1解方程解：將原方程變形為構(gòu)造向量=（-1,3）及=（-2,-2）,則=（1，5），=，所以 ，即向量與向量平行且方向相反，則，展開得解之得 =.四.構(gòu)造向量證明不等式 不等

4、式的證明往往是比較困難的，但根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)特點，通過構(gòu)造向量使問題可以簡化，問題就容易解決了.例2 若 ,求證：證明 設(shè)， ， ，則 +=（2，2）， ，將代入，即可得.例3 若及均為實數(shù)，求證：證明 構(gòu)造向量及向量，則 ，將代入，即可得.例4 設(shè)x，yr，求證：證明 原不等式配方得.構(gòu)造向量 = (x - 8， y -3) 及 = (x - 2， y + 5)，則 -= (-6，-8)， ，將代入，即可得到.例5 已知：，,求證：證明 構(gòu)造向量=及=，則=,由于，則.例6 證明柯西不等式：證明 在歐式空間中，設(shè)，我們知道 ，而，則從而得.兩邊平方得.在數(shù)學(xué)分析中我們學(xué)過了柯西不等式，用積分證

5、明比較困難，而用向量來證明使問題簡單化.五構(gòu)造向量證明等式例7 設(shè)x，y，z，a，b，cr，且, 求證： .證明 構(gòu)造向量及 =，則=，由及已知條件可知，即、的夾角為0 或p由向量共線的充要條件即可得到結(jié)論六.構(gòu)造向量求面積 利用向量的向量積可以解決有關(guān)面積計算.如解三角形的面，以為鄰邊的三角形的面積為，對于多邊形的面積計算，可以分割成多個三角形，在求它們積之和.如圖所示，邊形，可以分割成個三角形則有：這里合理分割成三角形，靈活應(yīng)用向量的線性運算和向量的內(nèi)外積.七.巧用向量的混合積求體積 利用向量的混合積，解決有關(guān)體積的計算。設(shè)為三個不共面向量，且兩兩不共線，v 以為相鄰三條棱的四面的體積為

6、若棱錐頂點a是空間一定點，并且知道高向量，利用上面的面積求法求出底面面積，則有.八.構(gòu)造向量求解解析幾何問題例8 設(shè)橢圓的焦點為,點是其上的動點，當(dāng)為鈍角時，求點p 的橫坐標(biāo)的取值范圍解 由題設(shè)可知設(shè)動點的坐標(biāo)為，構(gòu)造向量，.因為 為鈍角，所以有即，與橢圓方程聯(lián)立可得 的取值范圍為.例9 一個圓的一條直徑的兩個端點分別是、，證明圓的方程是.證明 設(shè)為圓上的任意一點，則向量由于,因此，即.例10 求連結(jié)兩點和線段的垂直平分面的方程.解 設(shè)為平分面的任意一點，從條件的特征性質(zhì)可知：.而從而得化簡得 即為所求的垂直平分面的方程.九.構(gòu)造向量解立體幾何問題 用向量法解立體幾何題，把復(fù)雜的邏輯推理化為簡

7、單的向量運算.使解題過程簡易明了.例11 在棱長為4 的正方體中,是正方形的中心,點在棱上，邊.試求(1)直線與平面所成的角的大小;(2)設(shè)點在平面上的射影是，求證：.解 （1）因為平面，所以與平面所成的角就是.如右圖建立空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點是.且 即.所以直線與平面所成的角為.（2）連結(jié)由(1)有且 因為平面的斜線在這個平面內(nèi)的射影是. 總述，向量作為重要數(shù)學(xué)工具之一，是代數(shù)和幾何之間的橋梁.運用構(gòu)造向量法解題是一種創(chuàng)造性的思維活動.它需要我們根據(jù)所研究的問題的結(jié)構(gòu)特征，運用類比、聯(lián)想等方法，靈活地將問題遷移到新問題中去，活用內(nèi)積，外積，混合積，向量的線性運算等知識，若我們經(jīng)常有意識的進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，對培養(yǎng)思維能力，提高解題能力有很大的益處.參考文獻(xiàn)1呂林根，許子道等編.解析幾何（第三版）m.北京：高等教育出版社，1987.4.2張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（