圓錐曲線方程知識點總結1

1、2011 年圓錐曲線方程知識點總結1. 圓錐曲線的兩個定義：（ 1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1，F(xiàn)2 的距離的和等于常數(shù) 2a，且此常數(shù) 2a一定要大于 F1F2 ，當常數(shù)等于 F1F2 時，軌跡是線段 F1F2 ，當常數(shù)小于 F1F2 時，無軌跡；雙曲線 中，與兩定點 F1，F(xiàn) 2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a ，且此常數(shù) 2a一定要小于 |F 1 F 2 |，定義中的“絕對值” 與 2a 0,b0 ）中，離心率 e 2 ,2,則兩條漸近線夾角 的取值范圍a2 b2答： 3,2）；3）拋物線（以 y2 2px（p 0） 為例）：范圍： x 0,y R ；焦

2、點：一個焦點 （2p,0） ，其中 p 的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸y 0 ，沒有對稱中心，只有一個頂點（ 0,0 ）；準線：一條準線px ；離心率：2（答： （0, 1 ） ）；16ae c ，拋物線 e 1 。如設 a 0,a R，則拋物線 a2y 4ax2 的焦點坐標為2x5、點 P(x0, y0 )和橢圓 2 a2y2 1（ a b 0 ）的關系：1）點 P（x0,y0） 在橢圓外2 x0 y02 a202 1；( 2)點 P(x0,y0) 在橢圓上2ba2x02y02 1；b23）點 P（x0,y0） 在橢圓內(nèi)2ax02 by022 16直線與圓錐曲線的位置關系

3、：（ 1）相交：0 直線與橢圓相交； 0 直線與雙曲線相交， 但直線與雙曲線相交不一定有0 ，當直線與雙曲線的漸近線平行時， 直線與雙曲線相交且只有一個交點， 故 0 是直線與雙曲線相交的充分條件， 但不是必要條件； 0 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0 ，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線 y=kx+2 與雙曲線 x2-y2=6 的右支有兩個不同的交點， 則 k 的取值范圍是答：(- 315 ,-1)；322（2）直線 ykx1=0 與橢圓 x y 1恒有公共點， 則 m 的取值范圍

4、是 （答：1，5）（5，+）；5m22（3）過雙曲線 x y1的右焦點直線交雙曲線于 A、B 兩點，若 AB 4，則這樣的直線有 _條（答：123）（ 2）相切：0 直線與橢圓相切； 0 直線與雙曲線相切； 0 直線與拋物線相切；（ 3 ）相離：0 直線與橢圓相離； 0 直線與雙曲線相離； 0 直線與拋物線相離。特別提醒：（ 1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的 漸近線平行時 ,直線與雙曲線相交 ,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時, 直線與拋物線相交 ,也只有一個交點；22 xy（ 2）過雙曲線 2 2 1外一點 P（x0, y

5、0 ）的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下： ab P 點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時， 有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相 切的兩條切線，共四條； P 點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時， 有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切 的兩條切線，共四條； P 在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； P 為原點時不存在這樣的直線；（ 3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（ 1）過點 （2,4） 作直線與拋物線 y2 8x只有一個公共點，這樣的直線有 （答： 2）；（2）

6、過點（0,2） 與雙曲線 x y 1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_（答：4, 4 5 ）；9 16 3 32（3）過雙曲線 x2 y 1的右焦點作直線 l交雙曲線于 A、B 兩點，若 AB 4，則滿足條件的直線 l有條（答： 3）；22（4）對于拋物線 C：y2 4x ，我們稱滿足 y02 4x0的點 M （ x0 , y0 ）在拋物線的內(nèi)部， 若點 M （x0, y0 ）在拋物線 的內(nèi)部，則直線 l：y0y 2（x x0 ）與拋物線 C的位置關系是 （答：相離）；2（5）過拋物線 y2 4x的焦點 F 作一直線交拋物線于 P、Q 兩點，若線段 PF 與 FQ 的長分別是 p、

7、q，則11 （答： 1）；pq226）設雙曲線 x y1的右焦點為 F ，右準線為 l ，設某直線 m 交其左支、右支和右準線分別于 P,Q,R，16 9則 PFR 和 QFR 的大小關系為（ 填大于、小于或等于 ） （答：等于）2 2 8 137）求橢圓 7x2 4y2 28上的點到直線 3x 2y 16 0的最短距離（答： 81313 ）A、B 分別在雙曲線的兩支上？228）直線 y ax 1與雙曲線 3x2 y2 1交于 A、 B兩點。當 a為何值時， 當 a 為何值時，以 AB 為直徑的圓過坐標原點？（答： 3, 3 ； a 1 ）； 7 、焦半徑（圓錐曲線上的點 P 到焦點 F 的距

8、離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應準線的距 離，即焦半徑 r ed ，其中 d 表示 P 到與 F 所對應的準線的距離。答： 35 ）；322如（ 1）已知橢圓 x y 1上一點 P到橢圓左焦點的距離為 3，則點 P 到右準線的距離為25 162 ）已知拋物線方程為 y2 8x，若拋物線上一點到 y 軸的距離等于 5，則它到拋物線的焦點的距離等于3）若該拋物線上的點 M 到焦點的距離是 4，則點 M 的坐標為 （答： 7,（2, 4） ）；12224 ）點 P 在橢圓 x y 1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點 P 的橫坐標為25 95）拋物線 y2 2x上的兩

9、點 A、B 到焦點的距離和是 5，則線段 AB 的中點到 y軸的距離為 （答： 2）；226）橢圓 xy 1內(nèi)有一點 P（1, 1） ，F(xiàn) 為右焦點，在橢圓上有一點 M，使 MP 2 MF 之值最小，則點M 的坐標為 （答： （ 2 6 , 1） ）；38、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求 解。設橢圓或雙曲線上的一點 P（x0, y0） 到兩焦點 F1 , F2的距離分別為 r1, r2 ，焦點 F1PF2的面積為 S ，則在橢圓2x2a2 y2 b21中，2b2b 2 c2 arccos(2b 1)，且當 r1 r2即 P 為短軸

10、端點時， 最大為 max arccos b c r1r2a22 S b2tanc| y0|，當 |y0 | b即 P 為短軸端點時， Smax的最大值為 bc；max22對于雙曲線 ax2 by2 1的焦點三角形有： arccos 1 2b12； Sr1r2 sinb 2 cot 。22如（1）短軸長為 5，離心率 e 2 的橢圓的兩焦點為 F1、F2 ，過 F1作直線交橢圓于3A、B 兩點，則 ABF2的周長為答： 6 ）；2）設 P 是等軸雙曲線 x 2a2（a 0）右支上一點， F 1、F2是左右焦點，若 PF2 F1F2 0 ，|PF 1|=6 ，則該雙曲線的方程為答： x 2 y2

11、4 )3）橢圓22x y 194的焦點為 F1、 F2，點P 為橢圓上的動點，當 PF2 PF1 0 時，點 P 的橫坐標的取值范圍是答：3535( 355 ,355)；4）雙曲線的虛軸長為4 ，離心率 e 62，F(xiàn)1、F2 是它的左右焦點，若過 F1 的直線與雙曲線的左支答： 8 2 ）；交于 A、B 兩點，且 AB是 AF2 與 BF2 等差中項，則 AB 5）已知雙曲線的離心率為2， F1、 F2 是左右焦點， P 為雙曲線上一點，且F1PF2 60 ，S PF1F212 3 求該雙曲線的標準方程（答：22x42 1y22 1）；圓錐曲線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質(zhì)：（ 1）拋物線

12、以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；橢圓以過焦點的弦為直徑的圓和相應準線相離，雙曲線 以過焦點的弦為直徑的圓和相應準線相交設 AB 為焦點弦， M 為與相應準線與 x 軸的交點，則 AMF BMF ；9、2）3）拋物線設 AB 為焦點弦， A、B在準線上的射影分別為 A1，B1，若 P為 A 1 B 1的中點，則 PAPB；拋物線（橢圓，雙曲線）設 AB 為焦點弦若 AO 的延長線交準線于 C，則 BC 過 B 點平行于 x軸的直線交準線于 C 點，則 A，O，C 三點共線。4）平行于 x 軸，反之，若10 、弦長公式：若直線 y kx b 與圓錐曲線相交于兩點 A、B，且 x1 , x2 分別

13、為 A、B 的橫坐標，則 ABx1 x2 ，若 y1, y2分別為 A、B 的縱坐標，則 AB 1 2x ky b ，則 AB 1 ky1 y2 。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：長公式計算，而是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（ 1）過拋物線 y2=4x 的焦點作直線交拋物線于等于 （答： 8）；A（x1，y1），By1 y2，若弦AB所在直線方程設為焦點弦的弦長的計算，x2，y2）兩點，若般不用弦x1+x 2=6，那么 |AB|2）過拋物線 y2 2x 焦點的直線交拋物線于A、 B 兩點，已知|AB|=10， O 為坐標原點，則 ABC 重心的橫坐標為答： 3）；11 、

14、圓錐曲線的中點弦問題： 遇到中點弦問題常用韋達定理”或“點差法”2x求解。在橢圓 2a22by2 1中，b2 x0 以P（x0,y0）為中點的弦所在直線的斜率k= 2 0 ；a y022在雙曲線 x2 y2 1 中，a2 b 2以 P （x0, y0） 為中點的弦所在直b2x線的斜率 k= 2 0a2y0；在拋物線 y2 2px（p 0）中，以 P（x0, y0） 為中點的弦所在直線的斜率k= p 。y0如（ 1）如果橢圓2x236 9y 1 弦被點 A（4， 2）平分，那么這條弦所在的直線方程是答：x 2 y 8 0 ）；2）已知直線22 xy y= x+1 與橢圓 2 a2 b2 1（a

15、b 0）相交于 A、B兩點，且線段 AB 的中點在直線 L：x 2y=0 上，則此橢圓的離心率為答： 2 ）；2y 4x m 對稱（答：3 ）試確定 m 的取值范圍，使得橢圓22x y 1 上有不同的兩點關于直線432 13 2 13 ,)13 13特別提醒：因為0 是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗 0 ！12 你了解下列結論嗎？2222（ 1）雙曲線xy1的漸近線方程為xy0；2222abab2 2 2 2（2）以 ybx為漸近線 （即與雙曲線xy1共漸近線）的雙曲線方程為 xy （ 為參數(shù)， aa2b 2a 2b2x2 y 24x2 y20

16、 ）。如與雙曲線 x y 1有共同的漸近線，且過點 （ 3,2 3） 的雙曲線方程為 （答： 4x y 1 ）9 16943）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為mx2 ny2 1 ；4）橢圓、 雙曲線的通徑 （過焦點且垂直于對稱軸的弦）為2ab2，a焦準距 （焦點到相應準線的距離）為 bc2 ，c拋物線的通徑為 2p ，焦準距為 p；（ 5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；6)若拋物線 y2 2px(p 0)的焦點弦為 AB， A(x1, y1), B(x2, y2) ，則 |AB| x1 x2 p；2 x1x2 p4 ,y1y2p27）若 OA、OB 是過拋物線 y

17、2 2px（p 0）頂點 O的兩條互相垂直的弦， 則直線 AB 恒經(jīng)過定點 （2 p,0）13 動點軌跡方程：（ 1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；（ 2）求軌跡方程的常用方法： 直接法： 直接利用條件建立 x, y之間的關系 F（x,y） 0 ；如已知動點 P 到定點 F（1,0）和直線 x 3的距離之和等于 4，求 P的軌跡方程（答： y212（x 4）（3 x 4）或 y2 4x（0 x 3）； 待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如拋物線頂點在原點，坐標軸為對稱軸，過 1,4 點，拋物線方程為 （答：

18、2 2 1 y2 16x, x2y ）；4 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；如（1）由動點 P 向圓 x2 y2 1作兩條切線 PA 、 PB ，切點分別為 A 、 B， APB=60 0，則動點 P 的軌跡方程為22（答： x2 y2 4 ）；（2）點M與點 F（4,0）的距離比它到直線 l：x 5 0的距離小于 1，則點 M的軌跡方程是 （答：y2 16x）；2 2 2 2（3） 一動圓與兩圓 M： x2 y2 1和 N： x2 y2 8x 12 0 都外切，則動圓圓心的軌跡為 （答： 雙曲線的一支）；22（4）（08 東城一模 ） 已

19、知定圓 A：（x 1）2 y2 16，圓心為 A，動圓 M過點 B（1,0）且和圓 A相切，動圓的圓 心 M 的軌跡記為 C. 求曲線 C 的方程；代入轉(zhuǎn)移法：動點 P（x,y）依賴于另一動點 Q（x0, y0）的變化而變化，并且 Q （ x0 , y0 ）又在某已知曲線上，則可先用 x, y的代數(shù)式表示 x0, y0，再將 x0,y0代入已知曲線得要求的軌跡方程。如 ABC周長 16, A（ 3,0） , B（3,0） 動點P是其重心 ,當C運動時,則P的軌跡方程為 （答：229x2 9y225 16 參數(shù)法：當動點 P（x,y） 坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x

20、, y均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程,引入 n 個參量 需要 n+ 1 個等式 ,等式由幾何條件坐標化得來 注意參量得范圍 , 如（1）AB是圓 O的直徑，且|AB|=2 a，M為圓上一動點，作MN AB ，垂足為 N，在OM 上取點 P ，使|OP | MN | ，求點 P 的軌跡。（答： x2 y2 a| y| ）；（2）若點 P（x1,y1）在圓 x2 y2 1 上運動，則點Q（ x1 y1 ,x1 y1）的軌跡方程是 （答： y2 2x 1（|x| 21） ）；（3）過拋物線 x2 4y的焦點 F 作直線 l 交拋物線于 A、B 兩點，則弦 AB 的中點

21、M 的軌跡方程是 （答：x2 2y 2 ）；（4） （08 海淀一模 ）已知點 A,B 分別是射線 l1 :y x x 0 ， l2 :y x x 0 上的動點， O 為坐標原點，且OAB 的面積為定值 2求線段 AB中點 M的軌跡 C的方程；注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行轉(zhuǎn)化。22如已知橢圓 x2 y2 1（a b 0）的左、 右焦點分別是 F1（c，0）、F2 a2 b20），Q 是橢圓外的動點，滿足 |F1Q| 2a.點 P 是線段 F1Q與該橢圓的交點，點 T 在線段 F2Q上，并且滿足 cPT

22、 TF2 0,|TF2 | 0.（1）設x為點 P的橫坐標，證明 |F1P| a x ；（2）求點 T的軌跡 C的方程； （3）a試問：在點 T 的軌跡 C 上，是否存在點 M，使 F1MF 2的面積 S=b2.若存在，求 F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由 . （答：（ 1）略；（ 2）x2 y2 a2；（3）當 b a時不存在；當 b a時存在，此時 F1MF2 cc2）曲線與曲線方程、 軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念， 尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡 的“完備性與純粹性”的影響 . 在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”坐標化（三點共線轉(zhuǎn)化為斜率相等

23、）、化解析幾何問題為代數(shù)問題（方程與函數(shù)）、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不 等關系”等等 . 如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉(zhuǎn)化 . 14、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：1） 給出直線的方向向量 u 1,k 或 u m,n ；（2）給出 OA OB與 AB相交,等于已知 OA OB過 AB的中點 ;（3）給出 PM PN 0,等于已知 P是MN的中點 ;（4）給出 AP AQ BP BQ ,等于已知 P,Q與 AB的中點三點共線 ;（ 5） 給出以下情形之一： AB/ AC ；存在實數(shù) , 使ABAC

24、 ；若存在實數(shù), ,且1,使OCOA OB ,等于已知 A,B,C 三點共線 .OA OB（6） 給出 OP，等于已知 P是 AB的定比分點， 為定比，即 AP PB17） 給出 MA MB 0 ,等于已知 MA MB ,即 AMB 是直角 ,給出 MA MB m 0 ,等于已知 AMB是鈍角 , 給出 MA MB m 0 ,等于已知 AMB 是銳角 ,8）給出MA MBMA MBMP ,等于已知 MP 是 AMB 的平分線 /9）在平行四邊形 ABCD中，給出 （AB AD） （AB AD） 0，等于已知 ABCD是菱形 ;10)在平行四邊形 ABCD 中，給出 |AB AD| |AB AD

25、|，等于已知 ABCD 是矩形 ;2 2 2（ 11）在 ABC 中，給出 OA OB OC ，等于已知 O是 ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三角 形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在 ABC中，給出 OA OB OC 0 ，等于已知 O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三 條中線的交點）；（13）在 ABC中，給出 OA OB OB OC OC OA ，等于已知 O是 ABC 的垂心（三角形的垂心是 三角形三條高的交點）；（14）在 ABC中，給出 OP OA （ AB AC ） （ R ）等于已知 AP通過 ABC的內(nèi)心； |AB| | AC|15）在 ABC 中，

26、給出 a OA b OB c OC 0, 等于已知 O是 ABC的內(nèi)心 （三角形內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在 ABC中，給出 AD 1 AB AC ,等于已知 AD是 ABC中BC邊的中線 ;15圓錐曲線最值 ,定值 ,定點問題基本方法 :拿到表達式或和問題等價的代數(shù)形式 （西城）已知定點 C（ 1，0）及橢圓 x2 3y2 5，過點 C 的動直線與橢圓相交于1A，B兩點.M 的坐標；若不存在，請說明理由）若線段 AB中點的橫坐標是，求直線 AB 的方程； ）在 x 軸上是否存在點 M ，使 MA MB 為常數(shù)？若存在，求出點（ 海淀文科 ） 已知橢圓的

27、中心是坐標原點FE OF ，過點 F 的直線與橢圓相交于FEO ，它的短軸長為 2 ，右焦點為A,B兩點， 點C和點 D在l上，（I） 求橢圓的方程及離心率；1（II） 當|BC| 3 | AD |時，求直線3（ III ）求證：直線 AC 經(jīng)過線段 EF 的中點 .16. 解析幾何中求變量的范圍問題 :AB 的方程；基本方法 :一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題例（08 海淀一模 ）直線 l過拋物線 y2 x的焦點 F，交拋物線于 A，B 兩點，角 , 則 |FA|的取值范圍是（4F ，右準線 l 與 x 軸相交于點 E ，且 AD/BC/x 軸 .或轉(zhuǎn)化為解不等式且

28、點 A在 x軸上方，若直線 l 的傾斜A)41,23)B)(1,344C)(41, 2342D) (1,1 242例已知橢圓 W的中心在原點，焦點在 x軸上，離心率為 6 ，兩條準線間的距離為 6. 橢圓 W的左焦點為 F， 3過左準線與 x軸的交點 M 任作一條斜率不為零的直線 l與橢圓 W交于不同的兩點 A、B，點 A關于 x軸的對稱 CF FB （R ） ；點為 C .（）求橢圓 W 的方程；（）求證：）求 MBC 面積 S 的最大值 .y2例.橢圓方程為 x2 y9 =1是否存在直線 l ，使l與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段 MN恰被直線1x=- 1 平分。2若存在，求 l的傾斜角

29、的范圍；若不存在，請說明理由。答案 : l 傾斜角3 ,2 2例已知橢圓2x y2 1的左焦點為 F，O 為坐標原點 .（ I）求過點 O、2F，并且與橢圓的左準線Bl 相切的圓的方程；II ）設過點F 且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于 A 、 B 兩點，線段 AB 的垂直平分線與 x 軸交于點 G，求點 G 橫坐標的取值范圍 .G解答過程：( I) 所求圓的方程為 (x 1)2 (y 2)2 9.2420.( II )設直線 AB 的方程為 y k(x 1)(k 0), 代入 x y2 1,整理得 (1 2k2)x2 4k2x 2k2 22直線 AB 過橢圓的左焦點 F， 方程有兩個不等實根 .2記 A( x1, y1), B(x2 , y2), AB中點 N(x0,y0),則x1 x242k ,1 2 2k 2 1AB 的垂直平分線 NG 的方程為 y y0 1(x x0).0 k 0