(完整版)大學(xué)高數(shù)公式大全

1、高等數(shù)學(xué)公式2du1u21 / 12高等數(shù)學(xué)公式導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分:cscx ctgxdx cscx Cxxa a dxCIn ashxdx chx C chxdx shx C2Marcs” C2tgxdxIn cosxctgxdxIn sin xsecxdxIn secxtgxcscxdxIn cscxctgx Cdx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx2 .2csc xdxctgx Csin xsecx tgxdx secxCdx1Inxa222axaxadx1ax22II1ax2aax1CCdx22a xarctgaCa_ dxa2.x arcsina

2、dxx2In( xx2a2) C22nsinnxdxcosnxdx00.x2a2dxx2 :xa22-2 2 x adxx2 x2a22x2x2dxIn22x2a22(tgx) sec x(arcsin x)(ctgx)2csc x(secx)secx tgx(arccos x)(cscx)cscx ctgx(ax)axI na(arctgx)(IogaX)1(arcctgx)r21 X* 2.1 X21 X211a高等數(shù)學(xué)公式2du2u21 / 12sinx2u1 u21 u2cosx1 u2tg2，dx高等數(shù)學(xué)公式13/ 12一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:xe ex2xxe e2shxxex

3、echxxexex21)雙曲正弦：shx雙曲余弦：chx雙曲正切:thxarshx In (xsinxlim1x 0 x1xlim(1 -)x xxe 2.718281828459045archxIn (xx21)arthx丄In1x2 1三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：函數(shù)角Asincostgctg-a-sinacosa-tga-ctga90 acosasinactgatga90 acosa-sina-ctga-tga180asina-cosa-tga-ctga180a-sina-cosatgactga270 a-cosa-sinactgatga270 a-cosasina-ctga-tga360

4、a-sinacosa-tga-ctga360 asinacosatgactga-和差化積公式:sin()sincoscos sincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctg-和差角公式:sinsincoscossinsincoscos2sincos-2 22 cos sin22 cos cos 2 22 sinsin2高等數(shù)學(xué)公式4/ 12sin 22si ncos22cos2ctg2ctg22ctgtg22tg2倍角公式:cos1-半角公式:1 1 2si n22cos2sinsin33si ncos34cos3tg33tg4si

5、n33cos-3tg2sin 21 cos21 coscos21 cos21 cossinsin1 cosctg-1 cossin1 cossin1 cos-正弦定理：，一sin Asin B亠2Rsin C-余弦定理:b22abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì):arcs in xarccosxarctgxarcctgx高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲(Leibniz公式:(uv)(n)nCnU(nk 0k)v(k)u(n)vnu(n 1)vn(n 1)u2!(n 2)vn(n1) (n kk!1)(n k)v(k)uv(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:拉格朗日中值定理:柯西中值定理:f(b)f(b)f (a)f (

6、a)F ()f ( )(b a)當(dāng)F(x) x時(shí),曲率：F(b) F(a)柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理?；∥⒎止?1 2 .ds 1 y dx,其中y tg平均曲率：K:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量;s：MM弧長(zhǎng)。M點(diǎn)的曲率:y|(1 y2)3直線：K 0;半徑為a的圓:高等數(shù)學(xué)公式15/ 12定積分的近似計(jì)算:定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：F kmimP2,k為引力系數(shù)r函數(shù)的平均值：y均方根：.1f2(t)dtb a空間解析幾何和向量代數(shù):.(X2xj2(y2如)2(Z2乙)2AB cos ,是AB與u軸的夾角。Pr ju(a1a?) Pr ja1

7、Pr ja2代表平行六面體的體積 。b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)aba,(yoyinb a 1z、(y。yn) n 2yn 1)yiyn ib拋物線法：f (x)a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yiy3yn i)f(x)dx空間2點(diǎn)的距離：d M1M2向量在軸上的投影：PrjuABa b cosaxbxaybyazbz，是一個(gè)數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbx2 2axayaybyazbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybyazbza b sin.例: 線速度:向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,為銳角

8、時(shí),高等數(shù)學(xué)公式x6/ 12平面的方程：1、點(diǎn)法式：A(x xo) B( y yo) C(z般方程：Ax Byzo)0,其中n A, B,C, Mo(Xo,yo,Zo)2、Cz D 03、截距世方程：-ya b平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:AxoBy。CzoD A2B2C2Xo空間直線的方程:x XomZopt,其中s m, n, p;參數(shù)方程:y。ZmtntPt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz:2 22abc222:xyz:2.22abc橢球面:1拋物面:雙曲面:11(馬鞍面)單葉雙曲面雙葉雙曲面多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分：dz dxx

9、全微分的近似計(jì)算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x,y) yxfx(x, y) x多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)x當(dāng) u u(x,y), v v(x, y)時(shí)，du dx dyx y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：dvdxxdyy隱函數(shù) F(x,y) 0,dydxd2y隱函數(shù) F(x,y,z) 0,Fy，F(xiàn)Fz，dx2(音)+(x FyyFxydydxFz高等數(shù)學(xué)公式7/ 12FF隱函數(shù)方程組：F(x,y,u,v)0J(F,G)u飛FuFvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)XJ(x,v)

10、XJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yJ(y,v)yJ(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:曲面F (x, y,z) 0上一點(diǎn)M(Xo,y,Zo),則:1、 過(guò)此點(diǎn)的法向量:n Fx(x, yo,z), Fy(x,yo, zo), Fz(x,y,z。)2、 過(guò)此點(diǎn)的切平面方程 :Fx(Xo,yo,z)(x Xo) Fy(Xo,y,Zo)(y y) Fz(x, y,z)(zx Xoy yoz ZoFx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo, yo,Zo)Fz(x,yo,Zo)方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù) z f (x, y)在一點(diǎn) p(x,y)沿任一方向 I 的方向?qū)?shù)為：fcos sinl xy其中為 x 軸

11、到方向 I 的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x, y)在一點(diǎn) p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f grad f (x,y) e,其中 e cos i sinj，為 I 方向上的單位向量f 是 gradf (x, y)在 l 上的投影多兀函數(shù)的極值及其求法：設(shè)fx(xo,yo)fy(Xo, yo)0,令:fxx(Xo, yo) A,fxy(Xo, yo) B,fyy(x,yo)CAC2B0時(shí)，Ao,(Xo,yo)為極大值A(chǔ)o,(Xo,yo)為極小值則：ACB20時(shí)，無(wú)極值A(chǔ)CB20時(shí)，不確定x空間曲線yz(t)(t)在點(diǎn)M (x0, y0, z )處的切線方

12、程:(t)X Xo(to)y y。(to)z Zolt0)在點(diǎn)M處的法平面方程:(to)(x Xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)o若空間曲線方程為:F(X，y，Z),則切向量 TG(x,y,z) oFyFyGyGZGzGxGxGyZo) o3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程:高等數(shù)學(xué)公式8/ 12重積分及其應(yīng)用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x業(yè)Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 對(duì)于X軸IX平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2(x, y)d ,D對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)M (

13、0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD對(duì)于y軸Iyo)的引力:3?D/222X2(x y a )柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2(x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐標(biāo)：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐標(biāo)：y r sin sin，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin

14、 drd重心：xx dv,y dv2d0丄M轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2曲線積分:第一類(lèi)曲線積分(對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分)設(shè)f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),則:特殊情況:y (t)高等數(shù)學(xué)公式9/ 12高等數(shù)學(xué)公式10/ 122、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(t) Q(t),(t)(t) dt(P cosLQ cos)ds，其中和分別為格林公式：Q(P)dxdy:PdxQdyDxyLD的面積Adxdyxdy

15、ydxD2L且QP。注意奇點(diǎn),如(0,0)，應(yīng)xy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反!二元函數(shù)的全微分求積：時(shí)，Pdx Qdy才是二元函數(shù)u (x , y )的全微分，其中:y(x,y)P ( x, y) dx Q ( x, y )dy，通常設(shè)xy00。(xo,yo)曲面積分:對(duì)面積的曲面積分：f (x, y, z)dsfx, y,z(x,y)1 z；(x,y) zj(x, y)dxdyDxy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy，其中：高斯公式:咼斯公式的物理意義通量與散度：散度：divQR,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若 d

16、iv0,則為消失xyzP( x,y )dx Q(x,y )dyLP (t),(t)兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系：PdxQdyL上積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。格林公式：(Q_P)dxdy- Pdx QdyDxyL當(dāng)Py,Q x，即：QP2時(shí)，得到xy平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：設(shè)L的參數(shù)方程為y1、G是一個(gè)單連通區(qū)域;標(biāo)的曲線積分)，則：(t)第二類(lèi)曲線積分(對(duì)坐在-A=xu(x,y)R( x, y, z) dxdyP(x, y, z)dydzQ(x, y, z)dzdxRx, y,z(x, y)dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正DxyPx(y,z), y,zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正yzQx, y(

17、z,x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正號(hào);號(hào);號(hào)。zx兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系：Pdydz Qdzdx Rdxdy(P cos Q cosRcos )dsP Qx yR)dv z、Pdydz Qdzdx RdxdyQcosRcos )ds高等數(shù)學(xué)公式11/ 12通量： A ndsAnds(Pcos QcosRcos)ds，因此，高斯公式又可寫(xiě) 成：div AdvAnds高等數(shù)學(xué)公式12/ 12斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:y zzxdydz dzdx上式左端又可寫(xiě)成：xyPQ空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：i jk旋度：rotAx yzP QRQP()dxdyo Pdx QdyRd

18、zxydxdycoscoscoszxyzRPQRRQPRQ Pyzzxx y的環(huán)流量： Pdx QdyRdz A tds常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：1q2qnn 11 qq1 q等差數(shù)列：123(n 1)n n2調(diào)和級(jí)數(shù)：1111是發(fā)散的級(jí)數(shù)審斂法：23n1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法- 根植審斂法（柯西判1 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：limn:un，則1 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散別法）：1 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂設(shè)：lim ，則1 時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散nUn1 時(shí)，不確定3、定義法：snUiu2un；lim sn存在，則收斂；否則發(fā)n交錯(cuò)級(jí)數(shù) u1u2u3u4（或 u1u2u3散。,un0）的審斂法 萊布尼茲定理:如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿(mǎn)足unun 1li

19、m un0n那么級(jí)數(shù)收斂且其和 su1,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rnun 1。絕對(duì)收斂與條件收斂:()dydz ( )dzdx向量場(chǎng)A沿有向閉曲線1 時(shí)，不確定2、比值審斂法：高等數(shù)學(xué)公式x)213/ 12(1)UiU2Un，其中 Un為任意實(shí)數(shù);UiU2|U3I|Un如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱(chēng)為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù);如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(chēng) 為條件收斂級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)：1發(fā)散，而(1)收斂;nn級(jí)數(shù)：12收斂；nP 級(jí)數(shù)：1.pl時(shí)發(fā)散nPp 1 時(shí)收斂1 x x2對(duì)于級(jí)數(shù)(3)a0a1xa2xanxn，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù):函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù):余項(xiàng)：R

20、nf(n1)()(n 1)!(x0 時(shí)，R 丄0 時(shí)，R時(shí)，R 0f(x)f(xo)(x xo)七嚴(yán)(xxo)2x0)n 1, f (x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的X。 0 時(shí)即為麥克勞林公式：f (x) f (0) f (0)xf；0)x2一些函數(shù)展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)：m(1 x)1 mx x22!m(m 1) (m n 1)nxn!sin x x3x3!5x5!1)n2n 11(2n1)!歐拉公式:cos xixe cos x i sin xsin xixixe e2ixixe ef(n)(x0)(x xo)nn!充要條件是：lim Rn0nf(n)(0)n!(1x1)高等數(shù)學(xué)公式x)214/ 12三角

21、級(jí)數(shù):高等數(shù)學(xué)公式15/ 12f (t)a0A0Ansin( ntn)n 12(ancos nxn 1bnsin nx)其中，a。aA,anAnsinn，SAncosn，t x。正交性:1 ,sin x, cos x, sin 2x,cos 2xsin nx, cos nx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在,上的積分=0。傅立葉級(jí)數(shù)：周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù):f(x)西/n(ancos(x . bnn sinX),周期2l2n 1llan1(x) cosx . dx1(n0,1,2 )其中l(wèi)ld1lbn1f./ 、.n(x) sinx . dx(n 1,2,3)i微分方程的相關(guān)概念:g(y)dyf

22、 (x)dx得：G(y)F(x)C稱(chēng)為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫(xiě)成dyf(x,y)(x, y)，即寫(xiě)成y的函數(shù)，解法：dxx設(shè)uy，則業(yè)udu xdu u(u)，dx-du分離變量,積分后將代替u，xdxdxdxx(u) ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程：業(yè)dxP(x)yQ(x)/當(dāng)Q (x)0時(shí)，為齊次方程，y CeP (x) dx當(dāng)Q ( x) 0時(shí)，為非齊次方程，yP ( x ) dx(Q ( x)eP(x)dxdx C )e2、貝努力方程：虬dxP(x)yQ (x) yn,(n0,1)可分離變量的微分方程:一階微分方程可以化f(X)a02(ancos nx bsin nx)，周期(n0,1,2(n1,2,31尹1尹2-(相加)62-(相減)12