2021屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考第二輪專題復(fù)習(xí)第16講圓錐曲線中的變量問(wèn)題學(xué)案理含解析

1、第16講圓錐曲線中的變量問(wèn)題1.2020浙江卷如圖m5-16-1,已知橢圓c1:x22+y2=1,拋物線c2:y2=2px(p0),點(diǎn)a是橢圓c1與拋物線c2的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)a的直線l交橢圓c1于點(diǎn)b,交拋物線c2于m(b,m不同于a).(1)若p=116,求拋物線c2的焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l使m為線段ab的中點(diǎn),求p的最大值.圖m5-16-12.2019全國(guó)卷已知點(diǎn)a(-2,0),b(2,0),動(dòng)點(diǎn)m(x,y)滿足直線am與bm的斜率之積為-12.記m的軌跡為曲線c.(1)求c的方程,并說(shuō)明c是什么曲線.(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交c于p,q兩點(diǎn),點(diǎn)p在第一象限,pex軸,垂足為e,

2、連接qe并延長(zhǎng)交c于點(diǎn)g.(i)證明:pqg是直角三角形;(ii)求pqg面積的最大值.最值問(wèn)題1已知橢圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)過(guò)點(diǎn)32,32,且右焦點(diǎn)為f(2,0).(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)m(0,2)的直線l(與y軸不重合)與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)a,b,且b點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為n,ab=am12b0)的左、右頂點(diǎn),直線bp交e于另一點(diǎn)q,abp為等腰直角三角形,且|pq|qb|=32.(1)求橢圓e的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)p的直線l與橢圓e交于m,n兩點(diǎn),mon為銳角,求直線l斜率的取值范圍.【規(guī)律提煉】求解圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題常用以下方法:(1)不等式(組)

3、求解法;(2)數(shù)形結(jié)合法;(3)函數(shù)值域求解法,即把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù);(4)利用基本不等式;(5)利用三角函數(shù)有界性;(6)導(dǎo)數(shù)法.測(cè)題拋物線x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為f,過(guò)焦點(diǎn)f的直線l與拋物線交于a,b兩點(diǎn),點(diǎn)a到x軸的距離等于|af|-1.(1)求拋物線的方程;(2)過(guò)f與ab垂直的直線和過(guò)b與x軸垂直的直線相交于點(diǎn)m,am與y軸交于點(diǎn)n,求點(diǎn)n的縱坐標(biāo)的取值范圍.第16講圓錐曲線中的變量問(wèn)題真知真題掃描1.解:(1)由p=116得c2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是132,0.(2)由題意可設(shè)直線l:x=my+t(m0,t0),點(diǎn)a(x0,y0).將直線l的方程代入橢圓c1:x22+y2=1得(

4、m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以點(diǎn)m的縱坐標(biāo)ym=-mtm2+2.將直線l的方程代入拋物線c2:y2=2px得y2-2pmy-2pt=0,所以y0ym=-2pt,解得y0=2p(m2+2)m,因此x0=2p(m2+2)2m2.由x022+y02=1得1p2=4m+2m2+2m+2m4160,所以當(dāng)m=2,t=105時(shí),p取到最大值1040.2.解:(1)由題設(shè)得yx+2yx-2=-12,化簡(jiǎn)得x24+y22=1(|x|2),所以c為中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,不含左右頂點(diǎn).(2)(i)證明:設(shè)直線pq的斜率為k,則其方程為y=kx(k0).由y=kx,x24+y22=1得x

5、=21+2k2.記u=21+2k2,則p(u,uk),q(-u,-uk),e(u,0),于是直線qg的斜率為k2,方程為y=k2(x-u).由y=k2(x-u),x24+y22=1得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.設(shè)g(xg,yg),則-u和xg是方程的解,故xg=u(3k2+2)2+k2,由此得yg=uk32+k2,從而直線pg的斜率為uk32+k2-uku(3k2+2)2+k2-u=-1k,所以pqpg,即pqg是直角三角形.(ii)由(i)得|pq|=2u1+k2,|pg|=2ukk2+12+k2,所以pqg的面積s=12|pq|pg|=8k(1+k2)(1+2k2)(2

6、+k2)=81k+k1+21k+k2.設(shè)t=k+1k,則由k0得t2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).因?yàn)閟=8t1+2t2在2,+)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=2,即k=1時(shí),s取得最大值,最大值為169.因此,pqg面積的最大值為169.考點(diǎn)考法探究解答1例1解:(1)因?yàn)闄E圓c:x2a2+y2b2=1(ab0)過(guò)點(diǎn)32,32,且右焦點(diǎn)為f(2,0),所以34a2+34b2=1,c2=a2-b2=2,解得a2=3,b2=1,所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+2,a(x1,y1),b(x2,y2),則n(-x2,-y2).由x23+y2=1,y=kx+2,得(1+3k2

7、)x2+12kx+9=0,由=144k2-36(1+3k2)=36(k2-1)0,得k21,則x1+x2=-12k1+3k2,x1x2=91+3k2.因?yàn)閍b=am,所以x2-x1=-x1,y2-y1=(2-y1),所以1-=x2x1,得13x2x112.因?yàn)?x1+x2)2x1x2=(-12k1+3k2)291+3k2,所以16k21+3k2=x2x1+1x2x1+2,令x2x1=t13t12,則16k21+3k2=t+1t+2.由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)y=t+1t+2在區(qū)間13,12上單調(diào)遞減.當(dāng)13t12時(shí),16k21+3k2=t+1t+292,163,即9216k21+3k2163,解得k295.又|an|=(x2+x1)2+(y2+y1)2=(x2+x1)2+k(x2+x1)+42=49k2+13k2+1.令1+3k2=,則325,00,得k234,則x1+x2=16k1+4k2,x1x2=121+4k2.mon為銳角,cosmon0,omon0,x1x2+y1y20,x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-2)(kx2-2