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1、一道聯(lián)賽題的多種證法2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第13題是關(guān)于不等式的證明,原題為:設(shè)3/2x5,證明不等式:2 對于熟悉柯西不等式的學(xué)生,若對不等式左端稍加變形,這似乎是一道很簡單的題目,本文將從考綱要求掌握的方法中歸納出它的一般證法。一、 基本不等式法證法1:由基本不等式知: 2= = =2+=2證法2:由基本不等式,及x5知 2+=(+)+(+) 2+2 =(+)2=22=2證法3:本證法也是聯(lián)賽提供的標(biāo)準(zhǔn)答案,由基本不等式a2+b22ab及(a+b+c+d)2= a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d2(當(dāng)且僅當(dāng)a=
2、b=c=d時取等號)取a=b=,c=,d=,則2+2=22因為,不能同時相等,所以2+2二、分析法證:欲證原不等式+2(-)12-x+24(20+x-2)又由基本不等式ab,有22x-3+15-x=12-x故只需證明12-x40+2x-4,而12-x40+2x-4428+3x9x2-136x+4800于是只要證=9x2-136x+480恒大于0(x5) 因為的對軸x=,而區(qū)間在x=的左側(cè),在上單調(diào)遞減,則 (x),但0,故恒大于0(x5),進(jìn)而原不等式成立。三、 換元法證:x5,令x=+則有2+=+(對后兩項使用基本不等式)(再用基本不等式)=2(而上式等號不能同時成立) 故原不等式成立四、
3、構(gòu)造函數(shù)法證:構(gòu)造如下二次函數(shù):=4t2-2(2+)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2 、在內(nèi)不能相等,=0即2+22五、 導(dǎo)數(shù)法新課程中引入了微積分,既顯示了對簡單性的追求,又拓寬了數(shù)學(xué)思維的途徑。這道題,我們可以利用導(dǎo)數(shù)所確定函數(shù)的凸性來證明。首先給出凸函數(shù)的有關(guān)定義與定理凸函數(shù):如果定義在區(qū)間上上,且對任意的x1,,x2,以及恒有+(1-)稱為上的凸函數(shù)。定理:若在(a, b)內(nèi)0,則在(a, b)為凸的;若在(a, b)內(nèi),0,則在(a, b)為凹的。一般地,設(shè)在上,0,則對任意x1,i(0,1)i滿足=1有證:設(shè)=,=-0在(0,+)上是凸函數(shù)。即=又2+而+2故原不等式成立以上各種證法依次使用了基本不等式法,配方法,換元法及二次函數(shù)的性質(zhì),簡單,巧妙。證明過程看上去并不難,但必須具備堅實的“雙基”,尤
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