電磁場典型例題

1、求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。求無限長線電荷在真空中產(chǎn)生的電場。 e解：取如圖所示高斯面。解：取如圖所示高斯面。由高斯定律，有由高斯定律，有0( )sqe r ds0( ) (2)lrle rrl e02lreer分析：電場方向垂直圓柱面。分析：電場方向垂直圓柱面。 電場大小只與電場大小只與r r有關(guān)。有關(guān)。r例例典型例題典型例題 a解：解：1) 1) 取如圖所示高斯面。取如圖所示高斯面。在球外區(qū)域：在球外區(qū)域：r r a a0( )sqe r ds20( ) (4)rqe rre204rqeer分析：電場方向垂直于球面。分析：電場方向垂直于球面。 電場大小只與電場大小只與r r有關(guān)。有關(guān)

2、。半徑為半徑為a a的球形帶電體，電荷總量的球形帶電體，電荷總量q q均勻分布在球體內(nèi)。均勻分布在球體內(nèi)。求求：（：（1 1） （2 2） （3 3）( )e r( )e r( )e r在球內(nèi)區(qū)域：在球內(nèi)區(qū)域：r r a arr0( )sqe r ds32043( ) (4)rre rre304rqreea334qqva例例2 2）解為球坐標(biāo)系下的表達(dá)形式。）解為球坐標(biāo)系下的表達(dá)形式。2030()()4()()4rrqerareqreraa22300()1()()4raqrrrarra300034eqa3 3）0301( )404qreqra求電偶極子求電偶極子 在空間中產(chǎn)生的電位和電場。在空

3、間中產(chǎn)生的電位和電場。pql o qqrr( , ,)p r l分析：電偶極子定義分析：電偶極子定義 解：取無限遠(yuǎn)處為電位參考點。解：取無限遠(yuǎn)處為電位參考點。011()4pqrrrrl222cosrrrlrl221112cosrllrrr21cos()lrlrr電偶極子：由兩個相距很近的帶等量電偶極子：由兩個相距很近的帶等量異號電量的點電荷所組成的電荷系統(tǒng)異號電量的點電荷所組成的電荷系統(tǒng)電偶極矩電偶極矩 ：ppql20cos4pqlr例例e ()sinreeerrr 2300cos1()(cos )44rqleqler rr 30(2cossin)4rqleer 求半徑為求半徑為a a的均勻圓

4、面電荷在其軸線上產(chǎn)生的電位和電場強(qiáng)度的均勻圓面電荷在其軸線上產(chǎn)生的電位和電場強(qiáng)度 xyzdrrra(0,0, )pz解：在面電荷上取一面元解：在面電荷上取一面元 ，如，如圖所示。圖所示。ds04dqdr200ad 220()2szaz04sr dr dre 220()2szezazz 例例 半徑為半徑為a a的球形電介質(zhì)體，其相對介電常數(shù)的球形電介質(zhì)體，其相對介電常數(shù) , ,若在球心處存在一點電荷若在球心處存在一點電荷q q，求極化電荷分布。，求極化電荷分布。4r解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得sd dsq24rqedr0pde在媒質(zhì)內(nèi)：在媒質(zhì)內(nèi)：023316rqeer24rq

5、eer體極化電荷分布體極化電荷分布: :pp 221()0rr prr面極化電荷分布面極化電荷分布: :sprp e2316qa在球心點電荷處：在球心點電荷處：2344pspspqqqa 例例 在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量 的的z z分量為分量為 ，極化強(qiáng)度，極化強(qiáng)度 求：介質(zhì)中的電場強(qiáng)度求：介質(zhì)中的電場強(qiáng)度 和電位移矢量和電位移矢量 。220/zdnc m292115/xyzpeeenc mded解：由定義，知：解：由定義，知：00depdp1(1)rpd4zrzzdpd1rrdp43p014ed例例半徑為半徑為a a的帶電導(dǎo)體球，已知球體電位為的帶電導(dǎo)體

6、球，已知球體電位為u u，求空間電位分布及電場強(qiáng)度分布。求空間電位分布及電場強(qiáng)度分布。解法一：導(dǎo)體球是等勢體。解法一：導(dǎo)體球是等勢體。ra時：時：0ue 例例ra時：時：200r aru221()00r arddrr drdru120r arccru aure ()()sinreeauerrrr 2rauer解法二：電荷均勻分布在導(dǎo)體球上，呈點對稱。解法二：電荷均勻分布在導(dǎo)體球上，呈點對稱。 設(shè)導(dǎo)體球帶電總量為設(shè)導(dǎo)體球帶電總量為q q，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場，則可由高斯定理求得，在球外空間，電場強(qiáng)度為：強(qiáng)度為：204rqeer001()44aaqque drra04qau2rau

7、eer2rraue drdrraur 同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a a，外導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為b b。內(nèi)外導(dǎo)體間。內(nèi)外導(dǎo)體間充滿介電常數(shù)分別為充滿介電常數(shù)分別為 和和 的兩種理想介質(zhì)，分界面半徑為的兩種理想介質(zhì)，分界面半徑為c c。已知外導(dǎo)體接地，內(nèi)導(dǎo)體電壓為。已知外導(dǎo)體接地，內(nèi)導(dǎo)體電壓為u u。求求:(1):(1)導(dǎo)體間的導(dǎo)體間的 和和 分布；分布； (2)(2)同軸線單位長度的電容同軸線單位長度的電容12ed abc12分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可分析：電場方向垂直于邊界，由邊界條件可知，在媒質(zhì)兩邊知，在媒質(zhì)兩邊 連續(xù)連續(xù)d解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單

8、位長度帶電量為l由高斯定律，可以求得兩邊媒質(zhì)中，由高斯定律，可以求得兩邊媒質(zhì)中，2lrder1122/eded例例 12cbacue dre dr12lnln22llcbac12212lnlnlucbac 1221(lnln)udcbrac 221121()(lnln)()(lnln)uarccbraceucrbcbrac 球形電容器內(nèi)導(dǎo)體半徑為球形電容器內(nèi)導(dǎo)體半徑為a a，外球殼半徑為，外球殼半徑為b b。其間充。其間充滿介電常數(shù)為滿介電常數(shù)為 和和 的兩種均勻媒質(zhì)。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為的兩種均勻媒質(zhì)。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體帶電荷為q q，外，外球殼接地，求球殼間的電場和電位分布。球殼接地，求球殼間的電場和電

9、位分布。12 a12b分析：電場平行于介質(zhì)分界面，由邊界條件分析：電場平行于介質(zhì)分界面，由邊界條件可知，介質(zhì)兩邊可知，介質(zhì)兩邊 相等。相等。esd dsq2122()rddq2122()reeq解：令電場強(qiáng)度為解：令電場強(qiáng)度為 ，由高斯定律，由高斯定律e2122 ()rqeer 1211( )()2 ()brqre drrb 例例 同軸線填充兩種介質(zhì)，結(jié)構(gòu)如圖所示。兩同軸線填充兩種介質(zhì)，結(jié)構(gòu)如圖所示。兩種介質(zhì)介電常數(shù)分別為種介質(zhì)介電常數(shù)分別為 和和 ，導(dǎo)電率分別為，導(dǎo)電率分別為 和和 ，設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體電壓為，設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體電壓為u u。求：求：(1)(1)導(dǎo)體間的導(dǎo)體間的 ， ， ； (2

10、)(2)分界面上自由電荷分布。分界面上自由電荷分布。1221ej 2a2b2c11 22 a22 11 ej解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應(yīng)用解：這是一個恒定電場邊值問題。不能直接應(yīng)用高斯定理求解。高斯定理求解。設(shè)單位長度內(nèi)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體電流為設(shè)單位長度內(nèi)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體電流為i i。則：則：rijes()2riearcr由邊界條件，邊界兩邊電流連續(xù)。由邊界條件，邊界兩邊電流連續(xù)。例例 由導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)電場本構(gòu)關(guān)系，可知媒質(zhì)內(nèi)電場為：由導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)電場本構(gòu)關(guān)系，可知媒質(zhì)內(nèi)電場為：111()2rjieearbr222()2rjieebrcr12bcabue dre dr12(lnln )

11、(lnln )22iibacb120212ln( / )ln( / )uib ac b 12021()ln( / )ln( / )ujarcb ac b r 201121()ln( / )ln( / )rujeearbb ac b r102221()ln( / )ln( / )rujeebrcb ac b r22()cre drbrc112()bcrbe dre drarb2 2）由邊界條件：）由邊界條件： 在在 面上：面上：ra11sd n12021ln( / )ln( / )ub ac b a 在在 面上：面上：rc21021ln( / )ln( / )ub ac b c 32srd e

12、在在 面上：面上：rb221()srdde2112021()ln( / )ln( / )ub ac b b 平行雙線，導(dǎo)線半徑為平行雙線，導(dǎo)線半徑為a a，導(dǎo)線軸線距離為，導(dǎo)線軸線距離為d d 求：平行雙線單位長度的電容。（求：平行雙線單位長度的電容。（ad)ad) dxypx解：設(shè)導(dǎo)線單位長度帶電分別為解：設(shè)導(dǎo)線單位長度帶電分別為 和和 ，則易于求得，在，則易于求得，在p p點處，點處，ll102lxeex20()2()lxeedx12eee011()2lxexdx導(dǎo)線間電位差為：導(dǎo)線間電位差為：d aaue dx0lnldaa0ln()lncdaa例例 計算同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度電容。計

13、算同軸線內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度電容。 解：設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為解：設(shè)同軸線內(nèi)外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為 和和 ，則內(nèi)外導(dǎo)體間電場分布為：，則內(nèi)外導(dǎo)體間電場分布為：ll102lreer則內(nèi)外導(dǎo)體間電位差為：則內(nèi)外導(dǎo)體間電位差為：內(nèi)外導(dǎo)體間電容為：內(nèi)外導(dǎo)體間電容為：baue dr0ln2lba02lnlnqcuba例例 由邊界條件知在邊界兩邊由邊界條件知在邊界兩邊 連續(xù)。連續(xù)。e解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體單位長度帶電量為sd dsq110(2)rl erleq110(2)lreer 110ln(2)blabue dra 同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半

14、徑分別為a,ba,b，導(dǎo)體間部分填充介質(zhì)，導(dǎo)體間部分填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)為，介質(zhì)介電常數(shù)為 ，如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為，如圖所示。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為u u。求：導(dǎo)體間單位長度內(nèi)的電場能量。求：導(dǎo)體間單位長度內(nèi)的電場能量。例例 110(2)lnlnluba (lnln )rueeba rlbb0112221011122evvwe dve dv2210122221111(2)2(lnln )2(lnln )bbaau lu lrdrrdrbarbar21101(2);2 (lnln )u lba 兩種方法求電場能量：兩種方法求電場能量：或應(yīng)用導(dǎo)體系統(tǒng)能量求解公式或應(yīng)用導(dǎo)體系統(tǒng)能量求解公式

15、12eiiiwqu12ellwu110(2)lnlnluba 21101(2)2 (lnln )uba 21101(2) 2(lnln )elu lwba 已知同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為已知同軸線內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為a,ba,b，導(dǎo)體間填充介質(zhì)，介質(zhì)，導(dǎo)體間填充介質(zhì)，介質(zhì)介電常數(shù)為介電常數(shù)為 ，導(dǎo)電率為，導(dǎo)電率為 。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為。已知內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為u u。求：內(nèi)外導(dǎo)體間的求：內(nèi)外導(dǎo)體間的 1 1） ;2 2） ;3;3） ;4;4） ; 5; 5） ;6;6）0ejlcelws分析：為恒定電場問題。分析：為恒定電場問題。 電荷只存在于導(dǎo)體表面，故可用靜電場高電荷只存在于導(dǎo)體表面，故可用靜

16、電場高斯定理求解。斯定理求解。解法一：應(yīng)用高斯定理求解。解法一：應(yīng)用高斯定理求解。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度電量為設(shè)內(nèi)導(dǎo)體單位長度電量為 則則sd dsq2lrder2lreer例例 (lnln )2blaue drba2(lnln )lubalab (lnln)rueeba r(lnln )(lnln )brubre drba(lnln )rujeeba r2(lnln )llcuba212(lnln )elluwuba1( )( )2evwd re r dv解法二：間接求解法解法二：間接求解法由于內(nèi)外導(dǎo)體間不存在電荷分布，電位方程為由于內(nèi)外導(dǎo)體間不存在電荷分布，電位方程為200r ar bu1()0

17、0r ar bddrr drdrulnlnlnlnbruba(lnln )rueeba r (lnln )rujeeba r2(lnln )qlcuba212(lnln )eu lwquba2ln( / )sluqd dsb a2(lnln )lqlcuba解法三：恒定電場方法求解解法三：恒定電場方法求解令由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體單位長度總電流強(qiáng)度為令由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體單位長度總電流強(qiáng)度為i i，則，則2rijerl/2rji leer(lnln )2blaiue drba2(lnln )luiba(lnln )rujeba r(lnln )rjueeba r2(lnln )qlcuba212(ln

18、ln )eu lwquba2ln( / )sulqd dsb a 導(dǎo)體球殼，內(nèi)徑為導(dǎo)體球殼，內(nèi)徑為b b，外徑為，外徑為c c，球殼球心為半徑為，球殼球心為半徑為a a導(dǎo)體球，導(dǎo)體球帶電量導(dǎo)體球，導(dǎo)體球帶電量q,q,中間充滿兩種介質(zhì)，介電系數(shù)分別為中間充滿兩種介質(zhì)，介電系數(shù)分別為1 1和和2 2，介質(zhì)分界面如圖所示。，介質(zhì)分界面如圖所示。求：（求：（1 1）空間場分布）空間場分布e(r)e(r)； （2 2）空間電位分布；）空間電位分布； （3 3）極化電荷分布；）極化電荷分布； （4 4）系統(tǒng)電場能量。）系統(tǒng)電場能量。解：由邊界條件知，解：由邊界條件知， 連續(xù)。連續(xù)。e（1 1）rara，該

19、區(qū)域為導(dǎo)體空間，故：，該區(qū)域為導(dǎo)體空間，故： =0=0； e a a rbrb，由高斯定理有，由高斯定理有sd dsq2122()req例例 2122()rqeer1112122()rqdeer2222122()rqdeerqcba21b b rcrcrc，204rqeer （2 2）求電位分布。）求電位分布。rcrc，04rqe drr04qcarbarb，()brce dr 01211()42 ()qqcrb ra,ra,01211()42 ()qqcab brcbrara時時2ihr 當(dāng)當(dāng)rara時時2221222irirhirraa 例題例題 半徑為半徑為a a的無限長直導(dǎo)體內(nèi)通有電流

20、的無限長直導(dǎo)體內(nèi)通有電流i i，計算空間磁場強(qiáng)度，計算空間磁場強(qiáng)度 分布分布h 例題例題 內(nèi)、外半徑分別為內(nèi)、外半徑分別為a a、b b的無限長中空導(dǎo)體圓柱，導(dǎo)體內(nèi)沿軸的無限長中空導(dǎo)體圓柱，導(dǎo)體內(nèi)沿軸向有恒定的均勻傳導(dǎo)電流，體電流密度為向有恒定的均勻傳導(dǎo)電流，體電流密度為 導(dǎo)體磁導(dǎo)率為導(dǎo)體磁導(dǎo)率為 。求。求空間各點的磁感應(yīng)強(qiáng)度空間各點的磁感應(yīng)強(qiáng)度bj xyz0j分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對稱分布。分析：電流均勻分布在導(dǎo)體截面上，呈軸對稱分布。解：根據(jù)安培環(huán)路定律解：根據(jù)安培環(huán)路定律 在在rara區(qū)域：區(qū)域：0ch dli20hr0h 在在arbarbrb區(qū)域：區(qū)域：2202()hrj

21、ba220()2jhbar 所以，空間中的所以，空間中的 分布為：分布為：22022000()( )()()2()()2rajb rra earbrjra erbrb 例例 無限長線電流位于無限長線電流位于z z軸，介質(zhì)分界面軸，介質(zhì)分界面為平面，求空間的為平面，求空間的 分布和磁化電流分布。分布和磁化電流分布。b xz10i分析：電流呈軸對稱分布。可用安培環(huán)路定律分析：電流呈軸對稱分布?？捎冒才喹h(huán)路定律求解。磁場方向沿求解。磁場方向沿 方向。方向。e解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，解：磁場方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊，在分界面兩邊， 連續(xù)而連續(xù)而 不連續(xù)。不連續(xù)。hb

22、由安培環(huán)路定律：由安培環(huán)路定律：ch dli2hri2iher01(0)2(0)2iezrbhiezr介質(zhì)磁化強(qiáng)度為：介質(zhì)磁化強(qiáng)度為：1000()2ibmher體磁化電流為：體磁化電流為：0rzmrzeeerrjmrzmrmm 面磁化電流為：面磁化電流為：101000()()22smzriijmneeerr在介質(zhì)內(nèi)在介質(zhì)內(nèi)r=0r=0位置，還存在磁化線電流位置，還存在磁化線電流i im m。由安培環(huán)路定律，有：。由安培環(huán)路定律，有：00(1)mmrlbiidliii1010()(1)msmriiii也由電流守恒的關(guān)系求磁化線電流也由電流守恒的關(guān)系求磁化線電流 例例 如圖，鐵心磁環(huán)尺寸和橫截面如

23、圖，如圖，鐵心磁環(huán)尺寸和橫截面如圖，已知鐵心磁導(dǎo)率已知鐵心磁導(dǎo)率 ，磁環(huán)上繞有，磁環(huán)上繞有n n匝線圈，匝線圈，通有電流通有電流i i。求求:(1):(1)磁環(huán)中的磁環(huán)中的 ， 和和 。 (2)(2)若在鐵心上開一小切口，計算磁環(huán)中若在鐵心上開一小切口，計算磁環(huán)中的的 ， 和和 。b0hbh nibadh0r0rd解解：(1)(1)由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得分回路，則可得ch dli2hrni2niher2nibherln2bsanibb dsb hdra 02nih dnisrl (2) (2)開切口后，在切口位置為邊界問題。在切口處，磁場

24、垂直于邊界開切口后，在切口位置為邊界問題。在切口處，磁場垂直于邊界面，由邊界條件知在分界面上面，由邊界條件知在分界面上 連續(xù)，連續(xù)， 不連續(xù)。不連續(xù)。bh niba0rt 由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得分回路，則可得ch dli12(2)hrth tni0(2)/2(1)rninibeerttrt由于鐵心很細(xì)，可近似認(rèn)為磁力線均勻分布在截面上。由于鐵心很細(xì)，可近似認(rèn)為磁力線均勻分布在截面上。0(2)bbrttni02(1)rnibert02(1)rbnihert內(nèi)002(1)rrnibhert外02(1)rnib shdrt 分析：內(nèi)導(dǎo)體為粗導(dǎo)體

25、，故內(nèi)導(dǎo)體存在內(nèi)自感。分析：內(nèi)導(dǎo)體為粗導(dǎo)體，故內(nèi)導(dǎo)體存在內(nèi)自感。因此同軸線自感由同軸線內(nèi)自感和內(nèi)外導(dǎo)體間互因此同軸線自感由同軸線內(nèi)自感和內(nèi)外導(dǎo)體間互感組成。感組成。解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體載流為解：設(shè)同軸線內(nèi)導(dǎo)體載流為i i，則由安培環(huán)路定律，知，則由安培環(huán)路定律，知020()2()20()ireraaibearbrrb 例例 求同軸線單位長度的自感。設(shè)同軸線內(nèi)徑為求同軸線單位長度的自感。設(shè)同軸線內(nèi)徑為a a，外徑，外徑為為b b，內(nèi)外導(dǎo)體間為真空。導(dǎo)體磁導(dǎo)率為，內(nèi)外導(dǎo)體間為真空。導(dǎo)體磁導(dǎo)率為 ab0同軸線單位長度自感由內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)自感和內(nèi)外導(dǎo)體互感構(gòu)成。即：同軸線單位長度自感由內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)自感和內(nèi)外導(dǎo)體互

26、感構(gòu)成。即：iolll a1dra 如圖，在內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)取一長為單位長度，寬為如圖，在內(nèi)導(dǎo)體內(nèi)取一長為單位長度，寬為drdr的的矩形面元，則通過該面元的磁通為：矩形面元，則通過該面元的磁通為：022iirdb dsdra 令與令與 所交鏈的電流為所交鏈的電流為i i, ,可知可知d2222iiriraa 若將整個內(nèi)導(dǎo)體電流看作若將整個內(nèi)導(dǎo)體電流看作1 1匝，則與匝，則與 交鏈的電交鏈的電流為流為 d22()irnia匝 由磁鏈定義，知與由磁鏈定義，知與 對應(yīng)的磁鏈為：對應(yīng)的磁鏈為：d3042iiirdnddra 整個內(nèi)導(dǎo)體單位長度的內(nèi)磁鏈為整個內(nèi)導(dǎo)體單位長度的內(nèi)磁鏈為3004028aiiiriddra 08iili 故內(nèi)導(dǎo)體單位長度的內(nèi)自感為故內(nèi)導(dǎo)體單位長度的內(nèi)自感為 易求得，內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度磁鏈為：易求得，內(nèi)外導(dǎo)體間單位長度磁鏈為：00ln22boaiibdrra 0ln2ooblia00ln82iobllla例例 求半徑為求半徑為a a的無限長直導(dǎo)線單位長度內(nèi)自感。的無限