(全國(guó)通用)中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)攻克：數(shù)學(xué)文化題型分類解析及18道針對(duì)練習(xí)題

1、中考數(shù)學(xué)重難考點(diǎn)突破數(shù)學(xué)文化題型分類解析數(shù)學(xué)文 化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展。數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識(shí)。在近幾年的中考中，以數(shù)學(xué)文化為載體的數(shù)學(xué)題越來(lái)越多，只要我們平時(shí) 注意積累和了解這方面的常識(shí)，解題時(shí)注意審題，實(shí)現(xiàn)載體與考點(diǎn)的有效轉(zhuǎn)化，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，問(wèn)題便 可迎刃而解考點(diǎn) 1 以數(shù)學(xué)名著為題材例 1 九章算術(shù)中，將兩底面是直角三角形的棱柱稱之為“塹堵” ，已知某“塹堵”的 三視圖如圖所示，主視圖中的虛線平分矩形的面積，則該“塹堵 ”的側(cè)面積為 ()A2B42 2C44 2D64 2例題分層分析(1)通過(guò)閱讀，你知道 “塹堵 ”是什么樣的圖形嗎

2、？(2)根據(jù)“塹堵”的定義，你能推斷出該幾何體的底面是什么圖形？側(cè)面又是什么圖形？ 【解答】 C解析 依題意得，該幾何體為三棱柱，且底面為等腰直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)均為2，高為 2，所以其側(cè)面積為 S222 2244 2，故選 C.賞析 該題以我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中所描述的特殊幾何體“塹堵 ”為背景，是一道新概念信息的信息遷移題試題以三視圖為依托，在考查空間想象能力的同時(shí)傳播數(shù)學(xué) 文化| 針對(duì)訓(xùn)練 |1九章算術(shù) 是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的最早巔峰， 在研究比率方面的應(yīng)用十分豐富， 其中有“米谷粒分”問(wèn)題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧， 糧農(nóng)送來(lái) 1534石，驗(yàn)其米內(nèi)雜谷，隨機(jī)取米一把， 數(shù)得 254 粒內(nèi)夾

3、谷 28粒，則這批米內(nèi)夾谷約 （ ）A134 石 B169 石 C268 石 D338 石2九章算術(shù)中的 “折竹抵地 ”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問(wèn)折高者 幾何？意思是：一根竹子，原高一丈 （一丈 10 尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地， 抵地處離竹子底部 6 尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？ 設(shè)折斷處離地面的高度為 x 尺，則可列方程為 （ ）A x2 6 （10 x）2 Bx262（10x）2Cx26（10 x）2 Dx262（10x）23 “今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸問(wèn)井深幾何？”這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的 “井深幾何 ”問(wèn)

4、題，它的題意可以由圖，則井深為（）A1.25 尺 B57.5 尺C6.25 尺 D56.5 尺4算數(shù)書(shū)竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)目前已知最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求 “囷蓋 ”的術(shù)：置如其周，令相乘也又以高乘之，三1 十六成一該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng) L與高 h，計(jì)算其體積 V的近似公式 V316L2h， 它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為 3.那么，近似公式 V725L2h 相當(dāng)于將圓錐 體積公式中的近似取為 ( )22 25 157 355A. 7 B.8 C.50 D.1135 我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位的名著直指算法統(tǒng)宗里有一道著名算題：一

5、百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無(wú)爭(zhēng)，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾?。俊币馑际牵河?100個(gè)和尚分 100個(gè)饅頭，正好分完；如果大和尚一人分 3 個(gè)，小和尚 3人分一個(gè)，試問(wèn)大、小和尚各幾人？設(shè)大、小和尚各有 x、y 人，則可以列方程組為6 明代數(shù)學(xué)家程大位的算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題 （如圖 Z1111），其大意為：分的銀子共有有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩請(qǐng)問(wèn)：所兩（注：明代時(shí) 1 斤16 兩，故有“半斤八兩 ”這個(gè)成語(yǔ) ）7 數(shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的 “從長(zhǎng)方形對(duì)角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長(zhǎng)方形面積相等 （如圖所示

6、 ） ”這一推論，他從這一推論 出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了海島算經(jīng)九題古證（以上材料來(lái)源于古證復(fù)原的原理 、吳文俊與中國(guó)數(shù)學(xué)和古代世界數(shù)學(xué)泰斗劉徽）請(qǐng)根據(jù)上圖完成這個(gè)推論的證明過(guò)程證明： S矩形 NFGDSADC（SANFSFGC，） S矩形 EBMFSABC（）易知， SADC SABC，可得 S 矩形 NFGDS 矩形 EBMF. 8中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344 年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示 （單位：寸 ），若取 3，其體積為 12.6（立方寸），則圖中 的 x 的值為 9 閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)世界

7、上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù) ，其勾股數(shù)組公式為：1 a2（m2n2）， bmn，1 c2（m2n2）.其中 mn0，m ，n 是互質(zhì)的奇數(shù)應(yīng)用：當(dāng) n1 時(shí)，求有一邊長(zhǎng)為 5 的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)10我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有 “雞兔同籠 ”問(wèn)題： “今有雞兔同籠，上有三十五 頭，下有九十四足問(wèn)雞兔各幾何 ”其大意是： “有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一 共有 35 個(gè)頭，94 條腿問(wèn)籠中的雞和兔各有多少只？ ”試用列方程 （組）解應(yīng)用題的方法求出問(wèn)題的解考點(diǎn) 2 以科技或數(shù)學(xué)時(shí)事為題材例 2 “牟合方蓋 ”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造

8、的一個(gè)和諧優(yōu)美的 幾何體它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè) 扣合（牟合）在一起的方形傘 （方蓋）其直觀圖如圖 1，圖 Z2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的 輔助線其實(shí)際直觀圖中四邊形不存在，當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時(shí)，它的主視圖和俯 視圖分別可能是 （ ）圖1圖2A a，b Ba，c C c，b Db，d例題分層分析(1)根據(jù)題目所給的直觀圖，你發(fā)現(xiàn) “牟合方蓋 ”有哪些特征？(2) “牟合方蓋 ”的主視圖和俯視圖分別是什么？【解答】 A解析 當(dāng)主視圖和左視圖完全相同時(shí)， “牟合方蓋 ”相對(duì)的兩個(gè)曲面正對(duì)前方，主視圖為 一個(gè)圓，俯視圖為一個(gè)正方形，且對(duì)角線

9、為兩條實(shí)線故選 A.賞析 “牟合方蓋 ”是我國(guó)古代利用立體幾何模型和數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的代表之 一本題取材于 “牟合方蓋 ”，通過(guò)添加解釋和提供直觀圖的方式降低了理解題意的難度試 題從識(shí)“圖”到想“圖”，再到構(gòu)“圖”，要經(jīng)歷分析、判斷的邏輯過(guò)程另外，我國(guó)古代數(shù)學(xué)中的 其他著名幾何體， 如“陽(yáng)馬”、“鱉臑”和“塹堵 ”等的三視圖問(wèn)題都有可能在中考中考查， 值得我 們注意| 針對(duì)訓(xùn)練 |11 七巧板是我國(guó)祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造 下列四幅圖中有三幅是小明用如圖 3 所示的七 巧板拼成的，則不是小明拼成的那幅圖是 ( )圖4122002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為

10、基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖 5）如果小正方形的面積為 1，大正方形的面積為 25，直角三角形中較小的銳角為 ，那么 cos的值等于圖613中國(guó)人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)工具 ）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù)如圖 Z116，根據(jù)劉徽的這種表示法，觀察圖 ，可推算圖 中所得的數(shù)值為 14 閱讀理解：如圖 7 ，O 與直線 a，b 都相切不論 O如何轉(zhuǎn)動(dòng)，直線 a，b之間的距離始終保持不變 （等于 O的直徑）我們把具有這一特性的圖形稱為 “等寬曲線 ”圖 是利用圓的這一特性的例子將等直徑的圓棍放

11、在物體下面，通過(guò)圓棍滾動(dòng)，用較小的力就可以推動(dòng)物體前進(jìn)據(jù)說(shuō)，古埃及人就是利用這樣的方法將巨石推到金字塔頂?shù)耐卣箲?yīng)用：如圖 8 所示的弧三角形 （也稱為萊洛三角形 ）也是“等寬曲線”，如圖 ，夾在平 行線 c， d 間的萊洛三角形無(wú)論怎么滾動(dòng)，平行線間的距離始終不變?nèi)糁本€c，d 之間的距離等于 2 cm，則萊洛三角形的周長(zhǎng)為cm.圖8考點(diǎn) 3 以數(shù)學(xué)名人為題材例3 古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過(guò)各種多邊形數(shù) 如三角形數(shù) 1，3，6，10， n （ n 1） 1 1第n個(gè)三角形數(shù)為 （ 2 ）2n22n.記第 n個(gè)k邊形數(shù)為 N（n，k）（k ，3） 以下列出了部分 k 邊形數(shù)中第 n 個(gè)數(shù)的

12、表達(dá)式11三角形數(shù) N（n，3）2n2 2n，正方形數(shù) N（n， 4）n2，31五邊形數(shù) N（n，5）2n2 2n，六邊形數(shù) N（n，6）2n2 n，可以推測(cè)， N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算 N（10，24）【解答】 1000 解析 由 N（n，4） n2，N（n，6）2n2n，可以推測(cè)：kk當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí)， N（n， k） 21 n2 22 n，于是 N（n，24）11n210n，故 N（10，24）111021010 1000.| 針對(duì)訓(xùn)練 |15 我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約 13 世紀(jì) ）所著的詳解九章算術(shù)一書(shū)中，用圖中的三角形解釋二項(xiàng)和（ab）

13、n 的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)，此三角形稱為 “楊輝三角 ”（ab）0 （ab）1 （ab）2 （ab）3 （ab）4 （ab）5 根據(jù)“楊輝三角 ”請(qǐng)計(jì)算（ab）20的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)為 （ ）A2017 B2016 C191 D 190116 正如我們小學(xué)學(xué)過(guò)的圓錐體積公式 V 3 r2h（表示圓周率， r 表示圓錐的底面半徑，h表示圓錐的高 )一樣，許多幾何量的計(jì)算都要用到 .祖沖之是世界上第一個(gè)把計(jì)算到 小數(shù)點(diǎn)后 7 位的中國(guó)古代科學(xué)家， 創(chuàng)造了當(dāng)時(shí)世界上的最高水平， 差不多過(guò)了 1000年，才有 人把計(jì)算得更精確 在輝煌成就的背后， 我們來(lái)看看祖沖之付出了多少 現(xiàn)在的研究表明， 僅僅就計(jì)

14、算來(lái)講，他至少要對(duì) 9 位數(shù)字反復(fù)進(jìn)行 130次以上的各種運(yùn)算，包括開(kāi)方在內(nèi)即 使今天我們用紙筆來(lái)算，也絕不是一件輕松的事情，何況那時(shí)候沒(méi)有現(xiàn)在的紙筆，數(shù)學(xué)計(jì)算 不是用現(xiàn)在的阿拉伯?dāng)?shù)字， 而是用算籌 (小竹棍或小竹片 )進(jìn)行的，這需要怎樣的細(xì)心和毅力?。?他這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，不怕復(fù)雜計(jì)算的毅力，值得我們學(xué)習(xí)下面我們就來(lái)通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題：已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是個(gè)半圓，若該圓錐的體積等于 9 3，則這個(gè)圓錐的高等于 ( )A5 3 B5 3 C3 3 D3 317 如圖，若ABC內(nèi)一點(diǎn) P滿足 PAC PBA PCB，則點(diǎn) P為ABC的布洛卡點(diǎn)三 角形的布洛卡點(diǎn) (Brocard point)由

15、法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾 (A.L.Crelle 17801855)于 1816 年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意 .1875 年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡 (Brocard 18451922)重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名問(wèn)題：已知在等腰直角三角形 DEF中， EDF 90則 EQFQ的值為 (A5 B4 C3 2 D2 218 莊子說(shuō)： “一尺之椎，日取其半，萬(wàn)世不竭 ”這句話 (文字語(yǔ)言 )表達(dá)了古人將 事物無(wú)限分割的思想， 用圖形語(yǔ)言表示為圖 ，按此圖分割的方法， 可得到一個(gè)等式 (符號(hào)語(yǔ) 言)：1 1 1 11 .1222232n.圖 也是一種無(wú)限分割：在

16、ABC中， ACB90，B30，過(guò)點(diǎn) C作 CC1AB 于點(diǎn) C1，再過(guò)點(diǎn) C1作 C1C2BC于點(diǎn) C2，又過(guò)點(diǎn) C2作 C2C3AB 于點(diǎn) C3，如此無(wú)限繼續(xù)下去，則可將 ABC分成 ACC1、CC1C2、C1C2C3、C2C3C4、Cn2Cn1Cn、.假設(shè) AC2，這些三角形的面積和可以得到一個(gè)等式是 針對(duì)訓(xùn)練答案解析1. 【答案】 Bx 28 解析 設(shè)這批米內(nèi)夾谷約為 x 石，根據(jù)隨機(jī)抽樣事件的概率得 1534254，解得 x169. 故選 B.2. 【答案】 D解析 如圖，折斷處離地面的高度為 x尺，則 AB10x，BC6, 在 RtABC中，AC2 BC2AB2，即 x262 （1

17、0x）2.3. 【答案】 BBF AB 0.4 5解析 如圖，由題意，得 BCDE，從而 ABFADE，因此DBFEAABD，即05.455BD， 解得 BD57.5，所以井深為 57.5 尺4. 【答案】 B21解析 由題意知 75L2h3r2h，2 2 1 2 L2 r2， 75L 3 ，25而 L2 r，代入得 8 .xy100，5.【答案】y3x 3 100解析 根據(jù)“大、小和尚共有 100 人”可得 xy100；由“大和尚一人分 3 個(gè)”可知 x 個(gè)大和 尚共分得 3x個(gè)饅頭，由“小和尚 3人分一個(gè)”可知y個(gè)小和尚共分得 y3個(gè)饅頭，根據(jù)“大、小和 xy100，尚分 100個(gè)饅頭”可

18、得 3x6.【答案】 4601 y故可列方程組為y3x解析 設(shè)這群人人數(shù)為 x，根據(jù)題意得 7x49x8，解得 x6，銀子的數(shù)量為 46 兩7. 【答案】 SAEF；S CFM；SANF；S AEF；SFGC；SCFM8. 【答案】 1.6解析 由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長(zhǎng)方體組合而成，由題意得： （5.4x） 3112 2 x 12.6.解得 x1.6.9. 解：當(dāng) n1時(shí)，a12（m21），bm ，c12（m21）， 因?yàn)橹苯侨切斡幸贿呴L(zhǎng)為 5，分情況如下：情況 1：當(dāng) a5時(shí)，即21（m21）5，解得 m 11（舍去）；11情況 2：當(dāng) b5 時(shí)，即 m5，再將它分別代入 得

19、a2 （251） 12，c2 （251）13；1情況 3：當(dāng) c5 時(shí)，即 2（m2 1）5，m3，因 m0，所以 m3，把 m3 分別代入1 得 a 2（231）4，b3.綜上所述，直角三角形的另兩邊長(zhǎng)為 12，13或 3，4.10. 解： 設(shè)雞有 x 只，兔有 y 只依題意，得xy35，2x4y 94，解得x23，y12.答：雞有 23只，兔有 12 只11. 【答案】 C412. 【答案】 5 解析 如圖，大正方形的面積為25，小正方形的面積為 1，大正方形邊長(zhǎng) AD5，小正方形的邊長(zhǎng) EF1.設(shè) DEAFx，在 Rt ADE中，由勾股定理， 得 AE2DE2AD2，（x 1）2 x252，解得 x14（舍去 ），x23，即 DE3，AE314，coscos DAEAEAD13. 【答案】 3解析 根據(jù)題意可知正放表示正數(shù)， 斜放表示負(fù)數(shù)， 組合在一起表示相加， 由正放 2 根， 斜放 5 根組合在一起表示 （2）（ 5）3.14. 【答案】 2解析 由題意知， 萊洛三角形周長(zhǎng)是半徑為2，圓心角是 60的三段弧長(zhǎng)的和，60