力與位移的復(fù)勢(shì)表達(dá)

1、 力與位移的復(fù)勢(shì)表達(dá)力與位移的復(fù)勢(shì)表達(dá)1. 復(fù)勢(shì)應(yīng)力函數(shù)復(fù)勢(shì)應(yīng)力函數(shù)04 u平面彈性平衡，體力為常量，應(yīng)力函數(shù)u，滿足可化為面力引入 zxiy zxiy1, ; 1, zzzziixyxy (1) 可得,uuzuzuxzxzxzzuuzuziuyzyzyzz(3-1) 積分兩次224.uuzz(3-4) 0224zzu(3-5) 由(3-1)式，得：2,2.uuuuuuiixyzxyz(3-2) (3-2) 222222, ,uuuuxzzyzz (3-3) 相容方程 04 u為 故1212( )( )( )( )uf zzf zf zzf z其中f1、f2、f3、f4均表示任意函數(shù)。左邊u是

2、實(shí)函數(shù)，右邊四項(xiàng)一定兩兩共軛，即3142( )( ),( )( )f zf zf zf z令 112111( )( ), ( )( )22f zz f zz，得古薩公古薩公式式11( ), ( )zz稱之為復(fù)勢(shì)應(yīng)力函數(shù)復(fù)勢(shì)應(yīng)力函數(shù)。 2應(yīng)力和位移的復(fù)勢(shì)1234( )( )( )( )uf zzfzf zzfz(2) 11re( )( )uzzz(3-6) 應(yīng)力復(fù)勢(shì) 不計(jì)體力 注意到式(3-4)得222224yxuuuxyz z 將式(3-6)代入得 由式(3-7) 22222222yxxyuuuiiiuxyx yxy 22222,xyxyuuuyxx y (3-7) 1112( )( )4re

3、( )yxzzz(3-8) 注意到式(3-2)得11( )( )zz設(shè) 式(3-8)和(3-9)平面應(yīng)力分量的復(fù)勢(shì)形式。位移復(fù)勢(shì) 平面應(yīng)力，由幾何方程與廣義虎克定律1122( )( )yxxyizzz(1) 1122( )( )yxxyizzz(3-9) ()(1)xyxyyuex (2) ()(1)yxxyxvey (3) 將式(1-8)和(1-7)分別代入(2)和(3)式，積分得：式中f1及f2為任意函數(shù)。將式(5)代入式(4)，用式(1-7)中的第三式及式(1-1)，得12d()d( )ddfyfxyx(常數(shù)) 積分得剛體位移： 1020(), ()fyuyfxvx1111122( )(

4、 )(1)( ),2( )( )(1)( ),ueuzzf yxuevizzf xy(5) 2(1)xyevuxy(4) gxy若不計(jì)剛體位移，由式(5)組合得 （注：強(qiáng)度問(wèn)題與剛體位移無(wú)關(guān)）將式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右邊，兩邊除以(1+) 這就是位移復(fù)勢(shì)。對(duì)平面應(yīng)變， 21ee1 141uue u ivzixy(6) 1113( )( )( )11euivzzzz(3-10) 復(fù)應(yīng)力函數(shù)的確定程度(數(shù)學(xué)上完全確定，力學(xué)上看哪些部分不影響應(yīng)力和位移) 1 應(yīng)力確定時(shí)，由式(3-8)和(3-9)可知， 設(shè)2( ) z1( ) z與 可見(jiàn) 具有相同的實(shí)部，只可能相差一個(gè)任意

5、虛常數(shù) 14 re,yxz(1) 112( )( )2yxxyzzzi(2) 24 re,yxz(1) 222( )( )2yxxyzzzi(2) 21( ),zzic(3) c為任意實(shí)常數(shù)。積分得aib由式(3)有 21( )( )zz，比較式(2)與(2)可見(jiàn)積分得aib故21( )( )zzicz(4) 21( )( )zz(5) 21( )zz(6) 1111( ) ),( ) ( ),zziczzz代以代以(a) 30, 01c且(8) (a)型代換不改變應(yīng)力。（常設(shè)其為零或 1(0)0） 2：位移確定時(shí)，則應(yīng)力完全確定，不容許有(a)型以外 代換?？疾?a)型代換如何才不致改變位移

6、。將式(1-10) 進(jìn)行(a)型代換位移確定，必須不改變位移只能將111343()( )( )( )1111eiczuivzzzz(7) 和 中只有一個(gè)為任意常數(shù),設(shè)為 , 由 確定只有 可任意選取 (b)型代換。平面應(yīng)變 1 復(fù)勢(shì)邊界條件1、應(yīng)力邊界條件平面應(yīng)力邊界條件()(), ()()x sxy sxy sxy sylmfmlf將式(1-7)代入上式得1111( ) ( )3( ) ( ),1zzzz代以代以(b) 不改變位移,更不改變應(yīng)力曲線ab為任一段邊界，s是弧長(zhǎng)則有dcos,ddsindylsxms 代入式(1)，得面應(yīng)力矢量222222xssyssuulmfyx yuumlfx

7、x y (1) dddddd.dxysssuufifisysxuuiisxy 證明： 由式（1）222222dxdyddxydyuudxuufifiidsysx ydsxsx y 而 222222ddduuu dxu dyu dxu dyiidsysxx y dsydsxdsx y ds 故 ddxyuufifiisxy 證畢 式(3-6)代入式(3-2)，再代入上式，得111d( )( )( )dxyizzzzfifs證明： 11re( )( )uzzz11111( )( )( )( )2zzzzzz2uuuixyz111( )( )( )zzzz_111()()(),aaaakzzzz證明完畢兩邊同乘以ids，進(jìn)行積分，從基點(diǎn)a至邊界上的任意一點(diǎn)z，令則有該式為面力主矢邊界條件的復(fù)勢(shì)表達(dá)面力主矢邊界條件的復(fù)勢(shì)表達(dá)111( )( )( )dbxyaszzzzkififs(2) 111(