數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題答案第二版緒論

1、.數(shù)值分析（p11頁(yè)）4 試證：對(duì)任給初值x0, 求開方值的牛頓迭代公式恒成立下列關(guān)系式：證明：（1）（2） 取初值，顯然有，對(duì)任意，6 證明：若有n位有效數(shù)字，則，而必有2n位有效數(shù)字。8 解：此題的相對(duì)誤差限通常有兩種解法.根據(jù)本章中所給出的定理：（設(shè)x的近似數(shù)可表示為，如果具有l(wèi)位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差限為，其中為中第一個(gè)非零數(shù)）精品.則，有兩位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為，有兩位有效數(shù)字，相對(duì)誤差限為，有兩位有效數(shù)字，其相對(duì)誤差限為：第二種方法直接根據(jù)相對(duì)誤差限的定義式求解對(duì)于，其相對(duì)誤差限為同理對(duì)于，有 對(duì)于，有備注：（1）兩種方法均可得出相對(duì)誤差限，但第一種是對(duì)于所有具有n位有效數(shù)字的近

2、似數(shù)都成立的正確結(jié)論，故他對(duì)誤差限的估計(jì)偏大，但計(jì)算略簡(jiǎn)單些；而第二種方法給出較好的誤差限估計(jì)，但計(jì)算稍復(fù)雜。（2）采用第二種方法時(shí)，分子為絕對(duì)誤差限，不是單純的對(duì)真實(shí)值與近似值差值的四舍五入，絕對(duì)誤差限大于或等于真實(shí)值與近似值的差。11. 解:，具有3位有效數(shù)字精品.，具有7位有效數(shù)字9.解：有四舍五入法取準(zhǔn)確值前幾位得到的近似值，必有幾位有效數(shù)字。 令,所對(duì)應(yīng)的真實(shí)值分別為,，則 -= -/2.720.00184 -= -/2.718280.00000184 -= -/0.07180.00069712.解： = 1-cosx=2 1+x+-1=x+13.解： -= =- 設(shè)=a，=b,則

3、= -=精品. =- 習(xí)題一（54頁(yè)）5.證明：利用余項(xiàng)表達(dá)式（11）（19頁(yè)），當(dāng)為次數(shù)n的多項(xiàng)式時(shí)，由于=0，于是有=0,即=，表明其n次插值多項(xiàng)式就是它自身。9.證明： 由第5題知，對(duì)于次數(shù)n的多項(xiàng)式，其n次插值多項(xiàng)式就是其自身。 于是對(duì)于=1，有= 即，+= 則，+=111.分析： 由于拉格朗日插值的誤差估計(jì)式為= 誤差主要來(lái)源于兩部分和。 對(duì)于同一函數(shù)討論其誤差，主要與有關(guān)。 在（1）中計(jì)算x=0.472的積分值，若用二次插值，需取三個(gè)節(jié)點(diǎn)，由于0.472在1，2兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，所以應(yīng)選1，2為節(jié)點(diǎn)，在剩下的兩個(gè)點(diǎn)中，與0.472更靠近，所以此題應(yīng)選,為節(jié)點(diǎn)來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式。15.證明

4、： 由拉格朗日插值余項(xiàng)公式有 精品. 由于=+ 20.證明： 當(dāng)n=1時(shí)，=c=c 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，則有 = c； = c； 那么，當(dāng)n=k+1時(shí)， =c= c 證明完畢。（類似的方式可證明第一個(gè)結(jié)論）21.解： 由定理4（26頁(yè)）可知： =,其中 當(dāng)nk時(shí)，=0； 當(dāng)n=k時(shí)，=； =13.解： 由題意知，給定插值點(diǎn)為 =0.32,=0.314567;=0.34,=0.333487;=0.36,=0.352274 由線性插值公式知線性插值函數(shù)為 =+=+精品. 當(dāng)x=0.3367時(shí)， 0.0519036+0.27846160.330365 其截?cái)嗾`差為 ，其中= =，=-，=0.3

5、33487 于是0.3334870.01670.00330.92 若用二次插值，則得 =+ 0.330374 其截?cái)嗾`差為其中=0.950于是0.9500.01670.00330.02330.20417解： 差商表為 一階差商 二階差商 三階差商 四階差商 五階差商 1 -32 0 33 15 15 64 48 33 9 15 105 57 12 1 06 192 87 15 1 0 0由差商形式的牛頓插值公式，有= =-336精品.23題：解：由于，則設(shè)由，則 所以24.解：由于 可設(shè)由得，有：所以 26解：由泰勒公式有 設(shè) 其滿足 ， 其中 由，得 代入(*)式既可得 . 33.解： 由于

6、，故在處有連續(xù)，即： 解得：精品.34、解：首先確定求解過(guò)程中涉及到的一些參數(shù)值。 , , 于是得到關(guān)于的方程組： (三對(duì)角方程)（追趕法） 解方程求出，代入精品.即得滿足題目要求的三次樣條函數(shù)習(xí)題二 2.解：判斷此類題目，直接利用代數(shù)精度的定義當(dāng)時(shí)， 左 = 右 = ，左 = 右當(dāng)時(shí)， 左 = 右 = ，左 = 右當(dāng)時(shí)， 左 = 右 = ，左 = 右當(dāng)時(shí)， 左 = 右 = ，左 右所以求積公式的代數(shù)精度為2. 3.解： 求積公式中含有三個(gè)待定參數(shù)，即：，因此令求積公式對(duì)均準(zhǔn)確成立，則有解得：所求公式至少有2次代數(shù)精度。又由于 當(dāng)時(shí)， 左 = 0精品. 右 = 當(dāng)時(shí)， 左 = 右 = 所以求積公式只有3次代數(shù)精度。、類似方法得出結(jié)論。 6.解： 因要求構(gòu)造的求積公式是插值型的，故其求積系數(shù)可表示為故求積公式為：下面驗(yàn)證其代數(shù)精度：當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 時(shí)，所以其代數(shù)精度為1。 7.證明：若求積公式對(duì)和準(zhǔn)確成立，則有 及 所以求積公式對(duì)亦準(zhǔn)確成立。精品. 次多項(xiàng)式可表示為若公式對(duì)是準(zhǔn)確的，則有7題中的上一步可知，其對(duì)亦成立。由代數(shù)精度定義可知，其至少具有m次代數(shù)精度。12. 解：精確解為：1