量子場(chǎng)論講義1-4

1、108 第一章 預(yù)備知識(shí)1 粒子和場(chǎng)以現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)水平，確認(rèn)能夠以自由狀態(tài)存在的各種最小物質(zhì)，統(tǒng)稱為粒子。電子、光子、中子、質(zhì)子等是最早認(rèn)識(shí)的一批粒子，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了大量的粒子、介子和共振態(tài)，粒子的數(shù)目達(dá)數(shù)百種，它們是物質(zhì)存在的一種形式。場(chǎng)是物質(zhì)存在的另一種形式，這種形式主要特征在于場(chǎng)是彌散于全空間的，全空間充滿著各種不同的場(chǎng)，它們互相滲透和相互作用著。按量子場(chǎng)論觀點(diǎn)，每一種粒子對(duì)應(yīng)一種場(chǎng)，場(chǎng)的激發(fā)表現(xiàn)為粒子的出現(xiàn)，不同激發(fā)態(tài)表現(xiàn)為粒子的數(shù)目和狀態(tài)不同，場(chǎng)的退激發(fā)，表現(xiàn)為粒子的湮沒。場(chǎng)的相互作用可以引起激發(fā)態(tài)的改變，表現(xiàn)為粒子的各種反應(yīng)過程，也就是說場(chǎng)是物質(zhì)存在的更基本的形式，粒子只是場(chǎng)處于激發(fā)態(tài)時(shí)

2、的表現(xiàn)。1. 四種相互作用目前已確定的粒子之間的相互作用有四種，即在經(jīng)典物理中人們?cè)缫颜J(rèn)識(shí)到了的引力相互作用和電磁相互作用，以及在原子核物理的研究中才逐步了解的強(qiáng)相互作用和弱相互作用。四種相互作用的比較見表1.1 表1.1 四種相互作用的比較作用強(qiáng)相互作用電磁作用弱作用引力作用強(qiáng)度0.150.0073.力程媒介子介子 膠子光子 粒子引力子？典型反應(yīng) p p p電磁相互作用的強(qiáng)度是以精確結(jié)構(gòu)常數(shù)來表征的，可以同時(shí)參與四種相互作用的粒子（例如質(zhì)子p）為代表，通過典型的反應(yīng)過程的比較研究，確定各種作用強(qiáng)度的大小。2. 粒子的屬性不同粒子有不同的內(nèi)稟屬性，這些屬性不因粒子產(chǎn)生的來源和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變。最

3、重要的屬性有：質(zhì)量m，粒子的質(zhì)量是指靜止質(zhì)量，以能量為單位，它和能量E和動(dòng)量的關(guān)系為電量Q，粒子的電荷是量子化的，電荷的最小單位是質(zhì)子的電荷。自旋S，粒子的自旋為整數(shù)或半整數(shù)，如介子的自旋為0，電子的自旋為1/2 ，矢量介子的自旋為1。平均壽命，粒子從產(chǎn)生到衰變?yōu)槠渌Ｗ铀?jīng)歷的時(shí)間稱為粒子的壽命。由于粒子的壽命不是完全確定值，具一定的幾率分布，如果個(gè)相同粒子進(jìn)行衰變，經(jīng)過時(shí)間后還剩下個(gè)，則，式中即為粒子的平均壽命。磁矩，指粒子的自旋磁矩。它與粒子的自旋S滿足關(guān)系：，式中是粒子電荷，為粒子質(zhì)量，是數(shù)量因子。宇稱P，描述粒子在空間反演下的性質(zhì)的一個(gè)量子數(shù)。若在空間反演下，若粒子的態(tài)函數(shù)改變符號(hào)，

4、此粒子具奇宇稱（P1）。若態(tài)函數(shù)保持不變，粒子具偶宇稱（P=1）。粒子的性質(zhì)，可查閱有關(guān)資料。例如：Particle Data Group 編的 Review of Particle Physics , 刊登于Plys .Lett . B592 (2004)。3. 粒子的分類可按多種方式對(duì)粒子分類。按參與相互作用的性質(zhì)，可分為三類：（a） 強(qiáng)子， 既參與強(qiáng)相互作用，也參與弱相互作用。已發(fā)現(xiàn)的粒子大多數(shù)是強(qiáng)子，包括重子，介子。（b） 輕子，不參與強(qiáng)相互作用的粒子，有的參與電磁作用和弱作用，如電子和 子，有的只參與弱作用。（c） 規(guī)范玻色子，傳遞作用力的粒子，如 ，。按輕子夸克層次可分三類：按強(qiáng)子

5、夸克結(jié)構(gòu)理論，強(qiáng)子不是“基本”粒子，強(qiáng)子是復(fù)合粒子，是若干個(gè)夸克構(gòu)成的復(fù)合體，夸克是構(gòu)成強(qiáng)子的組元粒子?？淇擞?種：上夸克（u），下夸克（d），奇異夸克（s），粲夸克（c），底夸克（b）和頂夸克（t）。按Gell_Mann & Zweig理論，夸克帶有分?jǐn)?shù)電荷，理論上稱有“六味”夸克，其所帶電荷如下表： 表1.2 夸克的電荷味上u下d奇s粲c底b頂t電荷(e)2/3-1/3-1/32/3-1/32/3按此理論，強(qiáng)子不是粒子，而由夸克所構(gòu)成，例如質(zhì)子由u,u,d組成：， ,，為反夸克，強(qiáng)子不看作粒子后，按輕子夸克將粒子分類為：（a） 規(guī)范玻色子，傳遞相互作用的粒子（b） 費(fèi)米子，包括輕子和夸克（

6、c） Higss粒子，按弱電統(tǒng)一理論，應(yīng)該有存在有自旋為0的Higss粒子，但實(shí)際上至今未發(fā)現(xiàn)。按此理論分類，有兩個(gè)實(shí)驗(yàn)上未解決的問題，一是夸克禁閉，還找不到自由夸克，二是Higss粒子還未找到。按粒子的自旋分類.(a) 自旋s=0的粒子，稱標(biāo)量粒子，如，k介子等(b) 自旋的粒子，稱旋量粒子，如電子e、質(zhì)子p等(c) 自旋的粒子，稱為矢量粒子，如的粒子，m=0的光子。(d) 高自旋粒子。這種分類，方便場(chǎng)方程的研究。2 自然單位制物理學(xué)中確定單位制的通常做法是，依據(jù)研究對(duì)象，為研究方便，選取幾個(gè)相互獨(dú)立的物理量及其單位作為基本單位，其它物理量和單位則根據(jù)基本物理量及公式來表示，這些導(dǎo)出的單位稱

7、為導(dǎo)出量和導(dǎo)出單位。 在微觀高速現(xiàn)象的研究中，涉及的物理量有：長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電荷和溫度。為減少獨(dú)立的基本物理量的數(shù)目，利用庫(kù)侖定律并規(guī)定真空的介電常數(shù)為無量綱的數(shù)1來定義電荷，使電荷不再是基本物理量。為進(jìn)一步減少獨(dú)立的量綱，注意到，在微觀高速領(lǐng)域，有三個(gè)重要的量：光速： 量綱玻爾茲曼常數(shù)： 量綱 普朗克常數(shù)： 量綱（數(shù)據(jù)來自Pyhs. Lett B 592.91(2004)）.建立一個(gè)在微觀鄰域應(yīng)用方便的新單位制，規(guī)定這三個(gè)量的值為無量綱的1，即這樣在這一單位制中，量綱關(guān)系為： dim c=1 dim k=1 dim h=1 即 ，只剩一個(gè)獨(dú)立的量綱。這一個(gè)獨(dú)立的量綱可以選作能量、時(shí)間、長(zhǎng)

8、度或其它任何一種有量綱的物理量，這一單位制稱為自然單位制。在量子場(chǎng)論中，應(yīng)用自然單位制，選能量為基本量綱，基本單位為Mev或Gev.應(yīng)用上，物理公式中的三個(gè)量、c、k都取為1。相對(duì)論能量動(dòng)量關(guān)系.即為=+。方程的簡(jiǎn)化 ，給計(jì)算過程帶來方便。當(dāng)然在實(shí)際應(yīng)用中，還是要用到實(shí)際單位制的。因?yàn)槲锢矸匠讨械母黜?xiàng)，都必須具有相同的量綱，將自然單位制方程中的各項(xiàng)乘上三個(gè)量（或兩個(gè)量）的冪次積，由各項(xiàng)必須具有相同量綱決定冪次數(shù)值，即可將自然單位制的方程還原為實(shí)用單位制的方程。 例如：在自然單位制中KleinKordon方程為作 代入 的量綱，求得 ，則方程返回為實(shí)用制的方程。 3 狹義相對(duì)論1. 相對(duì)論的基本

9、原理相對(duì)論的基本原理是：（a） 相對(duì)性原理。所有慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。（b） 光速不變?cè)怼Ｕ婵罩械墓馑賹?duì)于任何慣性系沿任一方向恒為C，并且與光源運(yùn)動(dòng)無關(guān)這兩個(gè)原理說明時(shí)間和空間是運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)存在的形式，時(shí)間和空間是不可分割的，打破了絕對(duì)的時(shí)空觀念。三維空間和一維時(shí)間應(yīng)該構(gòu)成一個(gè)統(tǒng)一體四維時(shí)空。在四維時(shí)空中，任意事件定義為：而事件的間隔定義為： 在坐標(biāo)系和相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為的坐標(biāo)系中，具有間隔不變性， 兩坐標(biāo)系之間作坐標(biāo)變換 (1.1a)依間隔不變性，變換矩陣元滿足關(guān)系 (1.1b)當(dāng)兩坐標(biāo)系的X軸和軸沿相對(duì)于的運(yùn)動(dòng)方向時(shí)，Lorentz變換的矩陣是

10、： （1.2）式中 ， .引入符號(hào) .2. 四維時(shí)空中的協(xié)變量四維時(shí)空中，在Lorentz變換下，滿足變換規(guī)律： (1.3a)的物理量，即變換下不變的量S，稱為L(zhǎng)orentz標(biāo)量。滿足變換規(guī)律 （1.3b）的物理量，即在坐標(biāo)系變換下與坐標(biāo)有相同變換關(guān)系的具有四個(gè)分量的量，稱為四維矢量。滿足變換規(guī)律 （1.3c）的物理量，稱為四維二階張量。這些在Lorentz變換下有確定變換性質(zhì)的量稱為協(xié)變量。相對(duì)論要求，在不同慣性系中，物理規(guī)律應(yīng)該有相同的形式，即在參考系變換下，方程形式不變，這一性質(zhì)稱為協(xié)變性。構(gòu)建協(xié)變量，組建協(xié)變方程，驗(yàn)證了Maxwell方程組的協(xié)變性，證明Maxwell方程是符合相對(duì)論要

11、求的。構(gòu)建協(xié)變量，組建協(xié)變方程，改造了不符合相對(duì)論要求的經(jīng)典力學(xué)，發(fā)現(xiàn)了符合高速運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)定律，這是理論工作的重大成就。四維能量動(dòng)量矢量 （1.4）是協(xié)變量。兩個(gè)協(xié)變矢量的標(biāo)積是不變量。因?yàn)槭街袑?duì)相同指標(biāo)作求和運(yùn)算，這一運(yùn)算稱為指標(biāo)的縮并。作的標(biāo)積，構(gòu)成的不變量：不變量當(dāng)，推導(dǎo)的關(guān)系式 （1.5a）即 (1.5b) 這是關(guān)于物體的能量、動(dòng)量和質(zhì)量的一個(gè)重要關(guān)系式。4 量子力學(xué) 一維諧振子1量子力學(xué)的假定 描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量子力學(xué)是基于下列假定的：（a）微觀體系的狀態(tài)可由一個(gè)波函數(shù)完全描述。例如，在時(shí)刻t，在坐標(biāo)xx+dx，yy+dy，zz+dz的無限小區(qū)域內(nèi)找到子的幾率為：C是比例系

12、數(shù)。（b）力學(xué)量用厄密算符表示。經(jīng)典力學(xué)中的力學(xué)量（C數(shù)）在量子力學(xué)中用表示這個(gè)力學(xué)量的算符（Q數(shù)）表示。如能量E和動(dòng)量，對(duì)應(yīng)算符是： ， （1.6）算符滿足一定對(duì)易關(guān)系，如： （1.7）對(duì)易關(guān)系就是量子化規(guī)則。(c)體系狀態(tài)滿足薛定格方程, (1.8)（d）體系的波函數(shù)可以用算符的本征函數(shù)作展開： （1.9）(e)體系滿足泡利原理。動(dòng)力系的量子化，就是將體系的力學(xué)量變?yōu)槎蛎芩惴?，建立算符的運(yùn)動(dòng)方程和對(duì)易關(guān)系。在量子力學(xué)中可以用薛定格表像或海森伯表像對(duì)體系進(jìn)行量子化。2. 一維諧振子的量子化在經(jīng)典力學(xué)中，線形諧振子的運(yùn)動(dòng)方程是： (1.10)拉格朗日量是： (1.11)哈密頓量為： (1.12

13、) 式中 。現(xiàn)將線形諧振子量子化，把x，p作為算符，作替代.運(yùn)動(dòng)方程 (1.13)為 (1.14) 引入對(duì)易關(guān)系： (1.15)這就完成了線形諧振子在坐標(biāo)空間中的量子化。現(xiàn)引入一個(gè)新表象作處理，用算符a和代替p，x ，令 (1.16a) (1.16b)容易證明： （1.17） 和 (1.18a)即 （1.18b） 式中 （1.19）則諧振子的量子化問題轉(zhuǎn)變成為對(duì)算符的本征態(tài)求解問題。本征方程是 （1.20）是算符的本征態(tài)。方程（1.20）和對(duì)易關(guān)系（1.17）完成了在新表象中對(duì)諧振子的量子化。這一表象稱為占有數(shù)表象。量子力學(xué)中已證明：(a)、厄密正定， , (b)、和分別稱為產(chǎn)生算符和湮滅算符

14、。當(dāng)m為正整數(shù)時(shí)， ， （1.21a） , (1.21b)式中: 或表m次作用或。由（1.21）式知，若是的本征矢。那么， 也是的本征矢，且.，每作用一次a或a ，本征矢減少或增加一級(jí).所以, a 和a分別稱為產(chǎn)生算符和湮滅算符.(c)、為整數(shù) .(d)、記最低能態(tài)為|0 ,且=1 . 有:a|0=0 (1.22)|n= a|0 (1.23)這些是一維諧振子量子化的主要結(jié)果。5Lorentz變換1. Lorentz變換 兩慣性坐標(biāo)系之間的時(shí)空變換中，使間隔保持不變的變換稱為L(zhǎng)orentz變換，即要求由顯然有： （1.21）式中為Kronecker符號(hào)。這是Lorentz變換的正交條件。 慣性系

15、的概念本身要求從一個(gè)慣性坐標(biāo)系到另一個(gè)慣性坐標(biāo)系的時(shí)空變換必須是線形的，即式中A為變換矩陣，為A的矩陣元，不考慮平移則變換應(yīng)是齊次的： (1.22)正交變換條件（1.21）變?yōu)?(1.23)令代表變換矩陣的轉(zhuǎn)置，則（1.23）可寫為 （1.24）記A的行列式 ，依據(jù) 有 而，故有 ，即 （1.25）利用 ，有即 ，或 （1.26）由（1.25）和（1.26）式，可將變換作如下分類： 表1.3 變換的分類類別性質(zhì)E連續(xù)R分立P分立T分立DetA=1， 的E類變換稱為正Lorentz變換， ， 的E和P變換，稱為完全Lorentz變換。例：（a） 恒等變換條件是： 變換矩陣為detA=+1，,屬于

16、E類，是連續(xù)變換。（b） 空間反演變換條件是：， t=t變換矩陣為detA=-1, ,屬于P類，是分立變換。（c） 時(shí)間反演變換條件是 ： ， t=-t變換矩陣為detA=-1，,屬于T類，是分立變換。（d） 時(shí)間空間聯(lián)合反演變換條件是： ， t=-t變換矩陣為detA=1, ,屬于R類，是分立變換。2. 無窮小變換在恒等變換鄰域作無窮小變換 (1.27)式中是無窮小量，將上式代入正交條件(1.23)式知 (1,28)是反對(duì)稱的。因?yàn)閐etA=+1，,屬于E類，是連續(xù)變換。變換式(1,27)可寫為矩陣形式 (1,29)由 的反對(duì)稱性，可將改寫為式中 (1.30)是矩陣，是它的矩陣元的表示，例如

17、， 等，有： (1.31)也可表為 式中是除矩陣元為1之外，其余為0的矩陣可見，是三度空間角動(dòng)量矩陣的四度時(shí)空推廣滿足對(duì)易關(guān)系： 若令 ， 式中 則有對(duì)易關(guān)系： 3有限變換對(duì)于無窮小變換若作連續(xù)的有限多次N的無窮小變換，即稱有限變換。令： 由于 依公式： 有即有限變換的生成元與無窮小變換的生成元相同，只是結(jié)構(gòu)常數(shù)不同。因而有限變換的性質(zhì)可用無窮小變換作研究，這給處理問題帶來方便。4.場(chǎng)量的變換設(shè)場(chǎng)物理量由描述，當(dāng)時(shí)空作Lorentz變換時(shí)，場(chǎng)函數(shù)也可能改變，設(shè)場(chǎng)量的變換矩陣為.即 (1.36)依賴于變換矩陣A。對(duì)于無窮小變換可將按展開略去高階無窮小，可表示為場(chǎng)量的改變是場(chǎng)量的改變也可表為 (1

18、.37)式中 (1.38a) (1.38b)腳標(biāo)表示坐標(biāo)不變，場(chǎng)函數(shù)改變(在某點(diǎn)場(chǎng)函數(shù)的變化)，腳標(biāo)表示場(chǎng)函數(shù)不變，坐標(biāo)改變。將定義為場(chǎng)的主動(dòng)變換，它著重于場(chǎng)量的泛函變化。從(1.37)及(1.38b)知，主動(dòng)變換可表為 (1.39)由于 或 有 則即 結(jié)合(1.38)式，主動(dòng)變換可表為： （1.40）它與場(chǎng)的變換算子有關(guān)，不同的場(chǎng)的主動(dòng)變換因場(chǎng)變換算子不同而異。 笫二章 相對(duì)論性的自由場(chǎng)1 克萊因-戈登（Klein-Gordon）方程1. 克萊因-戈登方程薛定諤方程中，粒子的動(dòng)量和能量滿足的是經(jīng)典力學(xué)的關(guān)系，因而薛定諤方程是非相對(duì)論性的，為了建立滿足相對(duì)論要求的粒子運(yùn)動(dòng)方程，顯然應(yīng)從相對(duì)論性

19、的能量動(dòng)量關(guān)系出發(fā)。在自然單位制中，相對(duì)論性的能量動(dòng)量關(guān)系是 （2.1）將力學(xué)量過渡到量子算符 則（2.1）式化為 (2.2)將此式作用于波函數(shù)，得 (2.3)注意到 則(2.3)式化為 (2.4a)或 (2.4b)(2.4)式稱為克萊因-戈登方程。因僅有一個(gè)波函數(shù)，適用于自旋為零的標(biāo)量粒子。克萊因-戈登方程有平面波形式的解：E滿足(2.1)式，即能量為E= (2.5)對(duì)有確定動(dòng)量的粒子，能量有正、負(fù)能兩個(gè)解。對(duì)于自由粒子，可定義物理態(tài)處于正能態(tài)，負(fù)能態(tài)可以不考慮，但存在相互作用時(shí)，能量有躍遷，沒有理由不考慮負(fù)能解，這給問題帶來困難。由常規(guī)方法易知，由(2.4)式可得連續(xù)性方程; (2.6)式

20、中 (2.7)若將 表示為的空間分量和時(shí)間分量可表示為 (2.8a) (2.8b)注意到，即 ，能量的本征態(tài)滿足及， 因而有如果把解釋為粒子出現(xiàn)的幾率。當(dāng)能量是負(fù)值時(shí)，為負(fù)，出現(xiàn)負(fù)幾率，這是無法解釋的。顯然，不能將克萊因-戈登方程看作是描述一個(gè)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的方程。當(dāng)將克萊因-戈登方程作為標(biāo)量場(chǎng)方程并進(jìn)行量子化以后，和解釋為電流密度和電荷，負(fù)幾率的問題不再存在。2. Lorentz不變性為滿足相對(duì)性原理要求，表示物理規(guī)律的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)該是Lorentz協(xié)變的，即在參考系變換下，運(yùn)動(dòng)方程的形式應(yīng)該保持不變。在Lorentz變換 (2.9)下，設(shè)波函數(shù)變換為 (2.10)在(2.9)變換下，易知 則克

21、萊因-戈登方程變換為 (2.11)如果，則(2.11)式寫為 與變換前的克萊因-戈登方程形式一致，說明克萊因-戈登方程具有Lorentz協(xié)變性，且 (2.12)即變換后不變，波函數(shù)是Lorentz標(biāo)量?，F(xiàn)在計(jì)算的主動(dòng)變換，由主動(dòng)變換表式（1.40）式 因?yàn)?，有?duì)無窮小變換 因?yàn)槭街兴?(2.13)主動(dòng)變換與軌道角動(dòng)量有關(guān)。2 狄拉克（Dirac）方程 克萊因-戈登方程利用相對(duì)論的能量動(dòng)量關(guān)系，建立的相對(duì)論性粒子運(yùn)動(dòng)方程，出現(xiàn)了負(fù)能和負(fù)幾率的困難。困難的根源在于(2.1)式作算符替代后，方程含有對(duì)時(shí)間的二階微商。能否既利用相對(duì)論的能動(dòng)量關(guān)系式，而又保持對(duì)時(shí)間的一階微商，避免出現(xiàn)負(fù)能呢？Dira

22、c方程做到了這一點(diǎn)。1. Dirac方程從質(zhì)量能量動(dòng)量關(guān)系式（2.1）看到，能量應(yīng)是質(zhì)量和動(dòng)量的函數(shù)。因而將H用m和展開為. (2.14)式中係數(shù)(i=1，2，3)和是四個(gè)與無關(guān)與量綱無關(guān)的常數(shù)。將(2.14)過渡到算符，且作用于波函數(shù)上，得 (2.15)顯然，這是對(duì)時(shí)間一階微分的符合相對(duì)性原理的方程，這就是Dirac方程。問題是和存不存在，如果存在，共有什么性質(zhì)。因?yàn)橐驢是厄密算符，因而要求和也是厄密算符， (2.16)將(2.14)代入(2.1)式，兩邊展開，并比較式中m和的係數(shù)，可知算符和應(yīng)滿足條件 (2.17a) (2.17b) (2.17c)式中 是A，B的反對(duì)易關(guān)系式，(2.17

23、)式表明 (2.17d)(2.16)和(2.17)是和的代數(shù)性質(zhì)?？梢宰C明，和是維數(shù)至少是4的矩陣。在Dirac表象中，它們被取為下列形式 (2.18)式中I為 單位矩陣，0為零矩陣。是泡利矩陣: (2.19)易于驗(yàn)證(2.18)式滿足(2.17)的條件，說明和是存在的。因?yàn)楹蜑榫仃嚕蠓匠?2.5)的波函數(shù)為4個(gè)元素的列矩陣，即(2.15)可分解為4個(gè)方程。 (2.20)可以證明，的所有4個(gè)分量都滿足Klein-Gordon方程 。2. Dirac方程的協(xié)變形式 矩陣將左乘Dirac方程(2.15)式，得到 定義矩陣為 (2.21)和 構(gòu)成 矩陣，則上式化為. (2.22)這就是協(xié)變形式的

24、Dirac方程。由和.的代數(shù)性質(zhì)，易知矩陣具有下列性質(zhì) (2.23a) (2.23b) 定義 (2.23c) 則： (2.23d)(2.23)式是矩陣的代數(shù)性質(zhì)對(duì)協(xié)變形式的Dirac方程（2.22）取厄米共軛，得： 式中，表示對(duì)左邊的作微分，上式右乘得由于 上式改寫為 (2.24) 式中 (2.25)定義為共軛旋量，（1，24）稱為Dirac方程的共軛方程，由Dirac方程和它的共軛方程，按常規(guī)做法，可得到守恒定律 （2.26a）式中 (2.26b)令 (2.26c)這一密度是正定的，負(fù)幾率問題不再出現(xiàn)，這一結(jié)果，似乎支持了作為幾率密度的解釋。實(shí)際上,在場(chǎng)的量子化理論中，作為荷密度，並不要求的

25、正定性。 可證明，可構(gòu)成16個(gè)線性獨(dú)立的矩陣： (2.27)它們有性質(zhì)： （1，28）3. Lorentz不變性在Lorentz變換下，設(shè)旋量波函數(shù)（x）作變換設(shè)變換后滿足的方程與原方程相同 （2，29）由于則（2，29）式化為：左邊乘上若 （2，30a）則上式與原坐標(biāo)系中的Dirac方程相同，（2，30a）可化為： （2，30b）即在此條件下，Dirac方程保持Lorentz不變性。對(duì)無窮小變換，令： (2.31a) （2，31b）將變換算子(2.31a,b)代入條件（2.30b）可得： 記(2.32)可化為：由此式可解得： 稱為自旋張量，由此變換算子化為 （2，32）對(duì)主動(dòng)變換，將（1，3

26、3）及代入(1.40)式，得旋量波函數(shù)的主動(dòng)變換為 （2，33）式中是Dirac粒子的總角動(dòng)量，包括軌道角動(dòng)量和內(nèi)稟自旋動(dòng)量張量。3 自旋為1的有質(zhì)量矢量場(chǎng) 克萊因-戈登方程用一個(gè)波函數(shù)描述自旋為s=0的中性標(biāo)量場(chǎng)，自旋為s=1/2的粒子，正反粒子共有4個(gè)物理態(tài)，用4分量旋量滿足的Dirac方程描述，對(duì)于S=1的粒子，正反粒子共6個(gè)物理態(tài)，顯然需要6個(gè)波函數(shù)的方程描述，因此，我們?cè)O(shè)法尋找6個(gè)波函數(shù)的方程描述自旋為1的有質(zhì)量矢量場(chǎng)。1. 有質(zhì)量矢量場(chǎng)的場(chǎng)方程：設(shè)有全對(duì)稱的雙旋量=， 滿足方程 （2.34）若將二階對(duì)稱的張量寫成44的矩陣，則矢量場(chǎng)的波函數(shù)滿足方程 （2.35a）由于，則有： （2

27、.35b） 定義一個(gè)C算子滿足：C (2.36)C算子具有性質(zhì)：CC （2.37）則（2.35b）式可寫為：（C）=0 即C （2.38a）由(2.35a)有 （2.38b）現(xiàn)在，我們將C按16個(gè)獨(dú)立矩陣展開： （2.39） 利用 ，及矩陣C的（2.36）和（2.37）式，可以證明上式僅存在和兩項(xiàng)： （2.40）而且，將 （2.40）代入（2.1。35）有：由于 和線性獨(dú)立，令和的待數(shù)等于零，則得聯(lián)立方程： （2.41a） （2.41b）這一組方程稱為Froca方程。將（2.41a）代入（2.41b）得 （2.42）作用有由于，則有條件 聯(lián)合（2.42）有： （2.43a） （2.43b） 前

28、一式運(yùn)動(dòng)方程，后一式是條件。方程組（2.41）或方程組（2.43）即為矢量場(chǎng)方程組。若定義：A (2.44a)F (2.44b)即以矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)及場(chǎng)量、定義和 ，則矢量場(chǎng)方程可以寫為： （2.45）顯然，后兩式含時(shí)間導(dǎo)數(shù)，是真正的運(yùn)動(dòng)方程。注意到當(dāng)m=0，(2.41)方程化為電磁場(chǎng)方程。 (2.46 a)方程(2.43)中m=0時(shí)化為 (2.46 b)也是熟知的電磁場(chǎng)方程,但是方程(2.43)是在的條件下推導(dǎo)的，顯然不能以m=0為條件從方程(2.43)得出電磁場(chǎng)方程。我們可以利用電磁場(chǎng)的規(guī)范不變性從(2.46 a)導(dǎo)出(2.46 b)。由(2.46 a)式中 設(shè)場(chǎng)量作下列變換式中B(x)是任意函

29、數(shù)，則有由于B(x)是任意函數(shù)，可選取B(x)滿足及 則有及條件 即為在Lorentz條件下的電磁場(chǎng)方程(2.46 b)2. Lorentz不變性與Dirac方程協(xié)變性的討論相同,在變換 下,設(shè) ,而 (2.47)假定變換之后方程組不變: 由于 , 上式即為:若 ,由 有與原方程組相同.而變換不變的條件是: , . (2.48)矢量場(chǎng)的變換規(guī)律與坐標(biāo)變換規(guī)律相同。對(duì)無窮小變換:則 將看作列矢量，有對(duì)矢量場(chǎng)的變換 （2.49）式中是三個(gè)自旋矩陣， ， 現(xiàn)在計(jì)算的主動(dòng)變換，依（2.48）式的代入（1.40）有 . （2.50）式中是總角動(dòng)量，如同Dirac場(chǎng)一樣，包含有自旋項(xiàng)。這里是自旋為I的自旋

30、張量。4 場(chǎng)的正則描述不同自旋的自由粒子分別用KleinGordon方程、Dirac方和Proca方程等微分方程作描述。為了討論自由場(chǎng)的普遍特性，應(yīng)該從描述任意系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本原理，即最小作用量原理出發(fā)，將各種場(chǎng)的描述納入統(tǒng)一的形式。1. 最小作用量原理一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)取為，廣義速度是。拉格朗日函數(shù)（或稱拉格朗日量，簡(jiǎn)稱拉氏量）是廣義坐標(biāo)，廣義速度的函數(shù)： （2.51）系統(tǒng)的作用量定義為： （2.52）一個(gè)物理系統(tǒng)實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是所對(duì)應(yīng)的作用量具有最小值的狀態(tài)，這就是最小作用量原理,即： （2.53）根據(jù)這一原理，可導(dǎo)出EulerLagrange方程 （2.54）對(duì)多粒子體系對(duì)應(yīng)E

31、ulerLagrange方程為 （i=1，2，n） (2.55)從EulerLagrange方程可以過度到哈密頓方程。定義正則動(dòng)量： （2.56）哈密頓量： （2.57）從EulerLagrange方程可以推得哈密頓方程 （2.58a） （2.58b）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)既可以用EulerLagrange方程，也可以用Hamilton方程描述。2場(chǎng)經(jīng)典的拉格朗日方程 場(chǎng)是物質(zhì)存在的形式之一，它有粒子所具有的質(zhì)量、線量、動(dòng)量等性質(zhì)，但它是充滿全空間，沒有不可入性，是一個(gè)有無窮自由度的動(dòng)力學(xué)體系。把拉格朗日形式應(yīng)用於場(chǎng)，關(guān)健是如何把經(jīng)典力學(xué)的拉氏形式推廣到具有無窮多自由度的系統(tǒng)的場(chǎng)。為便于與經(jīng)典力學(xué)對(duì)比，我們

32、可以把場(chǎng)分為無窮多個(gè)但可數(shù)的小格，把場(chǎng)看作有無窮多但可數(shù)自由度的動(dòng)力系。對(duì)于每個(gè)小格，認(rèn)為是一個(gè)“實(shí)物”，寫出它的拉格朗日方程。為此，選場(chǎng)量是作為場(chǎng)的廣義坐標(biāo)，對(duì)于第i個(gè)小格，場(chǎng)的廣義坐標(biāo)取為場(chǎng)量在這小格中的平均值 （2.59a）對(duì)應(yīng)的廣義速度是： （2.59b）將Eular-Lagrange方程用于這個(gè)小格 (i1,2,n) （2.60）為描述場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，分立形式的方程必須取的連續(xù)極限，為此，我們引進(jìn)泛函的概念。泛函是以函數(shù)為宗量的函數(shù)，其值不依賴于在某點(diǎn)之值，而依賴于在整個(gè)定義域之值。若在每一點(diǎn)有變分，則泛函的變分是 （2.61）式中，定義為對(duì)于在點(diǎn)之值的泛函導(dǎo)數(shù)。按（2.61）式，若，則對(duì)

33、比函數(shù)的性質(zhì)知 （2.62）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的泛函，例如拉氏量，我們有 (2.63a)另一方面，在分立記號(hào)中有 (2.63b)令（2.63a）等同于（2.63b）式的連續(xù)極限，由于在不同點(diǎn)的變分互相獨(dú)立，可得到： （2.64）其中位于第i個(gè)小格中。將（2.60）公式作利用（2.64）式得場(chǎng)的Eular-Lagrange方程 (2.65)這是拉氏量滿足的方程。引入拉氏密度函數(shù)作進(jìn)一步的研究，定義： (2.66)L是拉氏函數(shù)密度，注意L是的泛函，考慮到作為協(xié)變量也應(yīng)與有關(guān)，所以L應(yīng)為和的泛函L，這樣作用量為： 由最小作用原理=0由于不變 上式化為=0上式最后一項(xiàng)利用四維高斯定理，積分為0，并考慮積分區(qū)

34、域的任意性，所以導(dǎo)出 (2.67)這就是用拉氏密度函數(shù)表示的場(chǎng)的Enlar-Lagrage方程，這一方程，統(tǒng)一的描述了各類的場(chǎng)。 例如，設(shè) （2.68）代入Enlar-Lagrage方程，得標(biāo)量場(chǎng)的Klein-Gorden方程即氏標(biāo)量場(chǎng)的拉氏量的一個(gè)選擇。若 （2.69）由（2.69）知，方程化為旋量場(chǎng)的Dirac方程即是旋量場(chǎng)拉氏量的一個(gè)選擇。若 （2.70）方程化為矢量場(chǎng)的Froca方程即是矢量場(chǎng)拉氏量的一個(gè)選擇。4. 場(chǎng)的Hamilton的形式現(xiàn)在將場(chǎng)的Lagrange形式過渡到Hamilton形式。還是將場(chǎng)分為無窮多但可數(shù)的n個(gè)小格，對(duì)場(chǎng)中第個(gè)小格，選正則坐標(biāo)為場(chǎng)函數(shù)在小格中的平均值。

35、 （2.71）共軛動(dòng)量是 （2.72）即 （2.73）式中 (2.74)哈密頓量定義為 (2.75)即對(duì)小格體元 令 (2.76) 則 （2.77） 體元的Hamilton方程為 （2.78）取，即過渡到連續(xù)情況。定義場(chǎng)變量的共軛動(dòng)量為： （2.79）哈氏量（2.77）過度為 (2.80a)即 （2.80b）式中 （2.81）稱為哈氏量密度。由（2.78）式，作 及 所以Hamilton運(yùn)動(dòng)方程是, (2.82)這樣Lagrange方程等價(jià)地可由Hamilton方程(2.82)所代替。5. 泊松括號(hào)定義泛函和的泊松括號(hào)為： （2.83）對(duì)于泛函的時(shí)間微分：代入(2.82)式有：依據(jù)泊松括號(hào)定義

36、（2.83）則 （2.84）泊松括號(hào)定義（2.83）中，若令，則即 （2.85a）同理有 （2.85b）這是Hamilton方程（2.82）的另一表式。同理，還可導(dǎo)出 （2.86a） （2.86b）這些關(guān)系式可用于向量子括號(hào)過渡。5 對(duì)稱性與守恒律1. 概說對(duì)稱是一個(gè)古老的觀念，這一觀念來源于自然界存在著對(duì)稱，如六角形的雪花，對(duì)稱的葉片，美麗的蝴蝶，人體的左右對(duì)稱等。在人類生活中，也早已喜愛對(duì)稱，如古代的有些對(duì)稱的青銅器，莊重對(duì)稱的皇宮建筑，對(duì)稱的詩(shī)歌等。生活中的對(duì)稱是美，是藝術(shù)。對(duì)稱觀念應(yīng)用于科學(xué)，最早見于幾何學(xué)，十九世紀(jì)把對(duì)稱應(yīng)用于晶體研究，是對(duì)稱在物理學(xué)上應(yīng)用的一大進(jìn)步。但是什么是對(duì)稱，例如問：“有多少種移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)使晶格不變？”這些促使數(shù)學(xué)家提出了群的觀念，群的觀念是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的一大發(fā)明，對(duì)數(shù)學(xué)和物理都有著深刻的影響。對(duì)稱的科學(xué)觀念及其重要性是逐步形成的，二十世紀(jì)初期，相對(duì)論和量子論的發(fā)現(xiàn)，使對(duì)稱性在物理上的應(yīng)用大為推廣，并突顯其重要性。物理學(xué)中的對(duì)稱性觀念是：物質(zhì)的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律在某一變換下不改變，則稱該狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有這一變換的對(duì)稱性。也就是說，將所研究的對(duì)象稱為系統(tǒng)，將系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)稱為變換，如果狀態(tài)在某一變換下不變，即變換后到一個(gè)等價(jià)的狀態(tài)，則這個(gè)變換就稱為系統(tǒng)