一級倒立擺MATLAB仿真能控能觀性分析數(shù)學(xué)模型極點配置

1、.題目一：考慮如圖所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中，倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內(nèi)運動的二維問題。倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)包括：擺桿的質(zhì)量（擺桿的質(zhì)量在擺桿中心）、擺桿的長度、小車的質(zhì)量、擺桿慣量等。圖 倒立擺系統(tǒng)設(shè)計一個控制系統(tǒng)，使得當(dāng)給定任意初始條件(由干擾引起)時，最大超調(diào)量d %10%，調(diào)節(jié)時間ts 4s ，使擺返回至垂直位置，并使小車返回至參考位置(x=0)。要求：1、建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)能控性、能觀性、穩(wěn)定性3、設(shè)計狀態(tài)反饋陣，使閉環(huán)極點能夠達到期望的極點，這里所說的期望的極點確定是把系統(tǒng)設(shè)計成具有兩個主導(dǎo)極點，兩個非主導(dǎo)極點，這樣就可以用二階系統(tǒng)的分析方

2、法進行參數(shù)的確定4、用matlab 進行程序設(shè)計，得到設(shè)計后系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)，繪出相應(yīng)狀態(tài)變量的時間響應(yīng)圖。解：1 建立一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.1 系統(tǒng)的物理模型如圖1所示，在慣性參考系下，設(shè)小車的質(zhì)量為m ，擺桿的質(zhì)量為m ，擺桿長度為l，在某一瞬間時刻擺角(即擺桿與豎直線的夾角)為，作用在小車上的水平控制力為u。這樣，整個倒立擺系統(tǒng)就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。精品.圖1 一級倒立擺物理模型1.2 建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為簡單起見，本文首先假設(shè):(1)擺桿為剛體 ；(2)忽略擺桿與支點之間的摩擦；( 3) 忽略小車與導(dǎo)軌之間的摩擦。在如圖一所示的坐標(biāo)下，小車

3、的水平位置是y,擺桿的偏離位置的角度是，擺球的水平位置為y+lsin。這樣，作為整個倒立擺系統(tǒng)來說，在說平方方向上，根據(jù)牛頓第二定律，得到 （1）對于擺球來說，在垂直于擺桿方向，由牛頓第二運動定律，得到 （2）方程(1)，(2)是非線性方程，由于控制的目的是保持倒立擺直立，在施加合適的外力條件下，假定很小，接近于零是合理的。則sin，cos1。在以上假設(shè)條件下，對方程線性化處理后，得倒 （3）精品. （4）對于（3）（4）兩個式子聯(lián)立求解，得到 （5） （6）如果選擇位移y、速度、角度和角速度為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，位移y為系統(tǒng)的輸出，控制力u為輸入量，并令x1=y,則得到系統(tǒng)的狀態(tài)表達式為： （7

4、-a） （7-b）2 分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)能控性、能觀測性、穩(wěn)定性設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)為m=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s2,于是精品. 故 （8-a） （8-b）故而有： a=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; b=0;1;0;-1; c=1 0 0 0;2.1 能控性在matlab中，輸入 a=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; b=0;1;0;-1; c=1 0 0 0;qc=b a*b a*a*b a*a*a*b得到qc = 0 1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 -11 -1 0 -11

5、0再輸入 rank(qc)，得到ans =精品. 4于是系統(tǒng)是能控的。2.2 能觀測性在matlab中，輸入 a=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; b=0;1;0;-1; c=1 0 0 0;q0=c;c*a;c*a*a;c*a*a*a;得到q0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1再輸入rank(q0)ans = 4于是系統(tǒng)是能觀測的。2.3 穩(wěn)定性計算deti-a=0；求得的結(jié)果是1=0；2=0；3=；4=-。因為結(jié)果不全是負(fù)實部，故而該系統(tǒng)不穩(wěn)定。3 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點配置以及求狀態(tài)反饋陣3.1 狀態(tài)反饋陣極點配置因為

6、我們知道，該系統(tǒng)的能控性矩陣滿秩，所以該系統(tǒng)是能控的?？梢酝ㄟ^狀態(tài)反饋來任意配置極點。希望的極點為s1=-6，s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。3.2 求狀態(tài)反饋陣在matlab中輸入命定a=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;b=0;1;0;-1;p=-6 -6.5 -7 -7.5;k=place(a,b,p)得到計算結(jié)果為:k=-204.7500 -122.1750 -488.5000 -149.17504 matlab程序設(shè)計利用matlab/simulink構(gòu)造單級倒立擺狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的仿真模型，如圖所示精品.運行仿真程序，得到的仿真曲線如下

7、圖所示從上圖可以看出，可以將倒立擺的桿子控制在與豎直方向偏角=0的位置。題目二：根據(jù)自身的課題情況，任意選擇一個被控對象，按照上題所示步驟進行分析和設(shè)計，并給出仿真程序及其執(zhí)行結(jié)果。解：塑料球漂浮分析 y球風(fēng)向精品.仿真目標(biāo)：小球在空中受重力mg，在豎直向上的風(fēng)中保持漂浮在空中的穩(wěn)定狀態(tài)。1 建模分析小球在風(fēng)向（如圖所示）下保持穩(wěn)定的狀態(tài)。小球質(zhì)量為m，風(fēng)速為，簡化風(fēng)對球的阻力正比于相對速度，比例系數(shù)為f，球下落正向坐標(biāo)為y，輸入u為與風(fēng)速相關(guān)的控制力。數(shù)學(xué)模型：由數(shù)學(xué)模型可知可設(shè)：，,2 控制分析2.1 能控性分析：rank（）=2，系統(tǒng)能控2.2 能觀性分析：rank（）=2，系統(tǒng)能觀2.3 穩(wěn)定性分析：,不全為復(fù)實數(shù)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定3 求狀態(tài)反饋陣k在matlab中輸入k=place（a,b,p