大學(xué)課件高等數(shù)學(xué)下冊積分的對稱性

1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 1給出了給出了利用積分區(qū)域的對稱性利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算各種積分的命題計算各種積分的命題并給出了詳細證明并給出了詳細證明四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 2利用積分區(qū)間的對稱性利用積分區(qū)間的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算計算定積分定積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 3命題命題 100, ( ) ( ) 2( ), ( ) aaaf xf x dxf x dxf x當是奇函數(shù)當是偶函數(shù)證證0000( )()()()=()=xtaaaaf x dxftdtft

2、 dtfx dx換元交換積分變量四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 4若若 f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù): f(-x)= -f(x)0000( )( )( )( )( )0aaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 則所以若若 f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù): f(-x)= f(x)00000( )( )( )( )( )2( )aaaaaaaf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 5利用積分區(qū)域的對稱性利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算計算二重積

3、分二重積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 6( , )df x y dxdy命題命題 2若區(qū)域若區(qū)域d 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )df x y dxdy(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0dx yd xd1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 7證證 不妨假定不妨假

4、定d的右半部分的右半部分d1為為x型區(qū)域：型區(qū)域：1:,( )( )daxbxyx由由d關(guān)于關(guān)于y軸的對稱性，軸的對稱性，d的左半部分的左半部分d2為：為：2:,()()dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxdxtatbtbtbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 換元交換變量則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 8( ,)( , )f xyf x y 若2112( )( )( , )( , )( , )( , )( , )

5、( , )0bxaxdddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 9( ,)( , )f xyf x y若21121( )( )( , )( , )( , )( , )( , )+( , )=2( , )bxaxddddddf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 10( , )df x y dx

6、dy命題命題 2若區(qū)域若區(qū)域d 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )df x y dxdy( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0dx yd yd1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 11( , )df x y dxdy推論推論1若若 d 關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 和和 y 軸都對稱軸都對稱且且 f(

7、x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 均為偶函數(shù)均為偶函數(shù)1( , )|0,0dx yd xy14( , )df x y dxdyd1d則則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 12命題命題 3若若 d1是區(qū)域是區(qū)域 d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱的區(qū)域，則對稱的區(qū)域，則1( , )( , )ddfdxdyfdxdyxxyyd1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 13證證 不妨假定不妨假定d為為x型區(qū)域：型區(qū)域：:,( )( )d axbxyx則則d1為為y型區(qū)域：型區(qū)域：1( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )badx ybaxxy

8、dyfdxdyfddfdyyyyxxxxdfdxdyxxyy 交換積分變量 ,所以1:,( )( )daybyxy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 14推論推論 1若若 d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱，則對稱，則( , )( , )ddfdyyxdyfdxdxxyd證證 設(shè)設(shè) d1 是是d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對稱的區(qū)域，則對稱的區(qū)域，則d1=d。用命題。用命題 3 即得。即得。四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 151( , )2( , )ddf x y dxdyf x y dxdy推論推論 2若區(qū)域若區(qū)域 d 關(guān)于直線關(guān)于直線 y = x 對稱對

9、稱且且 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 和和 y 對稱：對稱：( , )( , )ffyyxx則則d1( , )|dx yd xy其中1d四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 16證證 設(shè)設(shè)2( , )|dx yd xy則則d2與與d1關(guān)于直線關(guān)于直線 y=x 對稱，且對稱，且12ddd由命題由命題 3211( , )( , )( , )dddfdxdyfdxdyfdxdyxyxyyx121( , )=( , )+( , )2( , )ddddf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 17利用

10、積分區(qū)域的對稱性利用積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算計算三重積分三重積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 18( , , )f x y z dv當當 f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題

11、4 若空間區(qū)域若空間區(qū)域關(guān)于關(guān)于 xoy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)手冊255頁頁 第一行第一行四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 19證證 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1為為xy型區(qū)域：型區(qū)域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 由由關(guān)于關(guān)于xoy坐標面的對稱性，坐標面的對稱性，的下半部分的下半部分2為：為：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx ydx yzx y 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 202( , )( , )( , )( ,

12、)( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx ydztx yx ydx yx ydx yx ydf x y z dvdf x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz換元改變變量則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 21( , ,)( , , )zy zf x yf x若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z

13、 dvf x y z dvf x y z dv 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 22( , ,)( , , )f x yfzxzy若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )2( , , )x yx ydf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 23利用積分曲線的對稱性利用積分曲線的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對弧長的曲線

14、積分弧長的曲線積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 24( , )lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線 l 關(guān)于關(guān)于 y 軸軸 (x = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 x 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0lx yl xl1l四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 25證證 設(shè)設(shè) l

15、 的右半部分的右半部分 l1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),lxtytatb 由由 l 關(guān)于關(guān)于 y 軸的對稱性，軸的對稱性，l 的左半部分的左半部分 l2 的參的參數(shù)方程為：數(shù)方程為：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )lbabaf x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),lxtytatb 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 26(, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0lballllf

16、x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 27(, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )lballlllf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 28( , )lf x y ds命題命題 5若曲線若曲線l關(guān)于關(guān)于 x 軸軸 (y = 0) 對稱，則對稱，則當當 f(

17、x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , )lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y) 關(guān)于關(guān)于 y 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , )|0lx yl yl1l四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 29( , , )f x y z ds當當 f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)(

18、, , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 6 若空間曲線若空間曲線 關(guān)于關(guān)于 xoy 面面 (z = 0) 對稱，則對稱，則四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 30證證 設(shè)設(shè) 的上半部分的上半部分 1 由以下參數(shù)方程給出：由以下參數(shù)方程給出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 關(guān)于關(guān)于xoy面的對稱性，面的對稱性， 的左半部分的左半部分 2 的的參數(shù)方程

19、為：參數(shù)方程為：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 31( , ,)( , , )f x yzf x y z 若2112222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z

20、dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 32( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 則所以四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小

21、湛april 積分的對稱性 33利用積分曲面的對稱性利用積分曲面的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性和被積函數(shù)的奇偶性計算對計算對面積的曲面積分面積的曲面積分四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛april 積分的對稱性 34( , , )f x y z ds當當 f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)為奇函數(shù)當當 f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)為偶函數(shù) 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )zzf x yf x y( , ,)( , , )f x yf xzyz f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為奇函數(shù)：為奇函數(shù)：f(x, y, z) 關(guān)于關(guān)于 z 為偶函數(shù)：為偶函數(shù)：1( , , )|0 x y zz 命題命題 7 若曲面若曲面 關(guān)于關(guān)于 xoy 面面