含參數(shù)的一元二次不等式的解法講

1、2-3+19 -60 xx如：求不等式的解集23-19 +60 xx3 -1)( -6)0 xx（如何求解一元二次不等式？如何求解一元二次不等式？復習回顧復習回顧分析分析：1213 -1)( -6)=03xxxx相對應方程（的根 = , =6163不等式的解集（ , ）2+( -1) - 0( 0)xa xaa解不等式121 ,xxa00aa -a1- )(1,+ )a不等式的解集為（，相對應一元二次方程的兩根1)() 0 xx a（解析：原不等式等價于2+( -1) -0()xax aar變式：解不等式-a1-a(-a)(1)-a1（ ）121,xxa 1)()0 xxa（解析解析：原不等式

2、等價于相對應一元二次方程的兩根2+( -1) -10()xaxar解不等式a二次項含有參數(shù)應二次項含有參數(shù)應如何求解如何求解？含參數(shù)的一元二次不等式含參數(shù)的一元二次不等式考點考點x1x2xyo2+( -1) -10()xaxar解不等式axx1x2yo 若不等式若不等式ax2bx20的解集為的解集為 則則ab 的值為的值為() a.14 b.15 c.16 d.1711,23xx解關于 的不等式: x220 xkxk例題講解例題講解 例3:解關于 的不等式: x220 xkxk原不等式解集為解：228844kkkkkkxx 由于 的系數(shù)大于0,對應方程的根只需考慮的符號. 2x28kk （）當

3、即時，280kk80k 原不等式解集為（）當時得280kk08kk或0 x x 解集為：2x x 解集為：分析分析:（)當 即 時,280kk08kk或(a)當 時,原不等式即為0k022x(b)當 時,原不等式即為8k 08822 xx(3)當 時,不等式解集為80k 0 x x (4)當 時,不等式解集為0k (2)當 時,不等式解集為2x x 8k 綜上所述綜上所述，(1)當 時,不等式解集為8k 228844kkkkkkxx 228844kkkkkkxx (5)當 時,不等式解集為0k 解不等式042 axx解：解：162a 4,40a 當即時r原不等式解集為原不等式解集為；40a 當

4、即時,2ax xrx 且原不等式原不等式解集為解集為；440aa 當或即時，, 此時兩根分別為此時兩根分別為 21621aax21622aax， 顯然顯然21xx , 原不等式的解集為：原不等式的解集為： 21621622aaxaaxx或例例4：例題講例題講解解成果驗收成果驗收相信我能行！相信我能行！21-a)460-3 4的解集為的解集為x|xb, (1)求求a，b的值；的值； (2)解不等式解不等式ax2(acb)xbc0.知能遷移知能遷移1(2)不等式不等式ax2(acb)xbc0， 即即x2(2c)x2c0，即，即(x2)(xc)2時，不等式時，不等式(x2)(xc)0的解集為的解集為

5、x|2xc； 當當c2時，不等式時，不等式(x2)(xc)0的解集為的解集為x|cx2； 當當c2時，不等式時，不等式(x2)(xc)2時時,原不等式的解集為原不等式的解集為x|2xc； 當當c2時時,原不等式的解集為原不等式的解集為x|cx0的解集是全體實數(shù)的的解集是全體實數(shù)的條件是條件是_.a0時，時，b-4ac0練習練習. .1 1若集合若集合a a=x x| |axax2 2- -axax+10= ,+10= ,則實數(shù)則實數(shù)a a的取值范圍的取值范圍 是是 （ ） a. a.a a|0|0a a4 b.4 b.a a|0|0a a44 c. c.a a|0|000時，相應二次方程中時，

6、相應二次方程中 的的=a a2 2-4-4a a0,0,解得解得00a a4,4, 綜上得綜上得 a a|0|0a a4. 4. da 【2】如果如果a0, 函數(shù)函數(shù) 的定義的定義域為域為r, 則實數(shù)則實數(shù) a 的取值范圍是的取值范圍是_.12a 23( )log ()f xaxxa 20axxa 對一切實數(shù)對一切實數(shù) x 恒成立，恒成立， 20,1 40.aa 或或0,11,22aaa 【例例2 2】（1212分）已知不等式分）已知不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10.+10.（1 1）若對所有的實數(shù)）若對所有的實數(shù)x x不等式恒成立，求不等式恒成立，求m m的取值范的取值范

7、 圍；圍；（2 2）設不等式對于滿足）設不等式對于滿足| |m m|2|2的一切的一切m m的值都成立的值都成立, , 求求x x的取值范圍的取值范圍. . （1 1）由于二次項系數(shù)含有字母，所以首）由于二次項系數(shù)含有字母，所以首 先討論先討論m m=0=0的情況，而后結合二次函數(shù)圖象求解的情況，而后結合二次函數(shù)圖象求解. . （2 2）轉換思想將其看成關于）轉換思想將其看成關于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式， 利用其解集為利用其解集為-2-2，2 2，求參數(shù)，求參數(shù)x x的范圍的范圍. . 思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）不等式）不等式mxmx2 2-2-2x x- -m m+10

8、+10恒成立，即函數(shù)恒成立，即函數(shù)f f( (x x)=)= mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1的圖象全部在的圖象全部在x x軸下方軸下方. .當當m m=0=0時，時，1-21-2x x0, 時，不等式恒成立時，不等式恒成立, ,不滿足題意；不滿足題意； 3 3分分 當當m m00時，函數(shù)時，函數(shù)f f( (x x)=)=mxmx2 2-2-2x x- -m m+1+1為二次函數(shù)，為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程需滿足開口向下且方程mxmx2 2-2-2x x- -m m+1=0+1=0無解，即無解，即綜上可知不存在這樣的綜上可知不存在這樣的m m. 6. 6分分21.,0)1

9、 (440無解則mmmm(2)(2)從形式上看，這是一個關于從形式上看，這是一個關于x x的一元二次不等式的一元二次不等式, , 可以換個角度，把它看成關于可以換個角度，把它看成關于m m的一元一次不等式，的一元一次不等式，并且已知它的解集為并且已知它的解集為-2,2,-2,2,求參數(shù)求參數(shù)x x的范圍的范圍. 7. 7分分設設f f( (m m)=()=(x x2 2-1)-1)m m+(1-2+(1-2x x),),則其為一個以則其為一個以m m為自變量的一次函數(shù)為自變量的一次函數(shù), ,其圖象是直線其圖象是直線, ,由題意知該直線當由題意知該直線當-2-2m m22時線段在時線段在x x軸

10、下方，軸下方，分即901220322,0)2(0)2(22xxxxff分分的的取取值值范范圍圍為為分分得得由由得得解解或或得得解解12231271-11231271-231231271271.|., xxxxxxx13xx 或或2( )(2)44g axaxx( 1)0(1)0gg 此題若把它看成關于此題若把它看成關于x的二次函數(shù)的二次函數(shù),由于由于a, x都要都要變變,則函數(shù)的最小值很難求出則函數(shù)的最小值很難求出,思路受阻思路受阻.若視若視a為主元為主元,則給解題帶來轉機則給解題帶來轉機.則問題轉化為則問題轉化為mg(x)min解：解：m- -2x2+9x在區(qū)間在區(qū)間2，3上恒成立，上恒成立

11、，（1）變量分離法）變量分離法(分離參數(shù)分離參數(shù))例例3. 關于關于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m2( )29 ,2,3,g xxx x 記min( )(3)9,gxg 9.m 【評注評注】對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠將對于一些含參數(shù)的不等式恒成立問題，如果能夠將不等式中的變量和參數(shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不不等式中的變量和參數(shù)進行剝離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關于參數(shù)的

12、不等式的問題為解關于參數(shù)的不等式的問題問題等價于問題等價于f(x)max0,解：構造函數(shù)解：構造函數(shù)2( )29,2,3,f xxxm x 2981( ) 2(),2,3,48f xxmx max( )(3)90,fxfm 9.m23y.xo（2）轉換求函數(shù)的最值）轉換求函數(shù)的最值例例3. 關于關于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2, 3上上恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m(2)0(3)0ff 則則10090mm 解：構造函數(shù)解：構造函數(shù)2( )29,2,3,f xxxm x9.m23y.xo例例3. 關于關于x的不等式的不等式 在區(qū)間在區(qū)間 2,

13、 3上上恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m（）數(shù)形結合思想（）數(shù)形結合思想解：解：數(shù)，數(shù)，還有什么方法呢？還有什么方法呢？ 【1】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于x r恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m 的取值范圍時的取值范圍時( )a.(,2 b. 2,2 c.( 2,2 d.(, 2 2( )(2)2(2)4,f xmxmx令令(2)020mm 或22m c 【2】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于m - -1,1恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)x 的取值

14、范圍是的取值范圍是_.2( )2)2(2)4(g mmxmx22(2 )244xx mxx( 1)0(1)0gg 【3】若不等式】若不等式 (m- -2)x2+ +2(m- -2)x- -4 40 對于對于x - -1,1恒成立恒成立,則實數(shù)則實數(shù)m 的取值范圍是的取值范圍是_.2( )(2)2(2)4,f xmxmx令令2002( 1)0(1)0mmff 或一、選擇題一、選擇題1.1.(2009(2009陜西理陜西理,1),1)若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集為的解集為m m, ,函函 數(shù)數(shù)f f( (x x)=ln(1-|)=ln(1-|x x|)|)的定義域為的定義域為

15、n n, ,則則m mn n為為 ( ) ( ) a. a.0,1) b.(0,1)0,1) b.(0,1) c. c.0,10,1 d.(-1,0)d.(-1,0) 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的解集的解集m m=x x|0|0 x x1,1,f f( (x x)= )= ln(1-| ln(1-|x x|)|)的定義域的定義域n n=x x|-1|-1x x1,1, 則則m mn n=x x|0|0 x x1.1.定時檢測定時檢測a2.2.已知不等式已知不等式axax2 2- -bxbx-10-10的解集是的解集是 則不等則不等 式式x x2 2- -bxbx- -a

16、 a00的解集是的解集是 （ ） a.(2,3) b.(-,2)(3,+)a.(2,3) b.(-,2)(3,+) c. d. c. d. 解析解析 由題意知由題意知 是方程是方程axax2 2- -bxbx-1=0-1=0的根的根, ,所所 以由韋達定理得以由韋達定理得 解得解得a a=-6,=-6,b b=5,=5,不等式不等式x x2 2- -bxbx- -a a00即為即為x x2 2-5-5x x+60,+62,)2,則實數(shù)則實數(shù)t t的取值的取值 范圍是范圍是 （ ） a.a.（-,-1-,-1）(4,+)(4,+) b.(-,2)(3,+) b.(-,2)(3,+) c.(-,-

17、4)(1,+) c.(-,-4)(1,+) d.(-,0)(3,+) d.(-,0)(3,+) 解析解析 由題意知由題意知t t2 2-2-2t t-12-12且且t t0,0,或或-2-2t t+62+62且且t t033或或t t0. 0. . 0, 62, 0, 122xxxxxd4.4.設命題設命題p p:|2:|2x x-3|1,-3|1,q q: : 則則p p是是q q的（的（ ） a.a.充分不必要條件充分不必要條件 b.b.必要不充分條件必要不充分條件 c.c.充要條件充要條件 d.d.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析解析 不等式不等式|2|2x x-3|1-3

18、|1的解是的解是11x x2,2, 不等式不等式 的解是的解是11x x2. 0,0,y y00滿足滿足f f( (xyxy)=)=f f( (x x)+)+f f( (y y),),則不等式則不等式f f( (x x+6)+ +6)+ f f( (x x)2)2f f(4)(4)的解集為的解集為_._. 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x+6)+6)+f f( (x x)=)=f f( (x x+6)+6)x x, , 2 2f f(4)=(4)=f f(16).(16).根據(jù)單調性得根據(jù)單調性得( (x x+6)+6)x x16,16, 解得解得-8-8x x2.0,+60,x

19、x0,0,所以所以00 x x2. 2. (0,2)(0,2)6.6.若關于若關于x x的方程的方程x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1=0-1=0有一正根和一負根，有一正根和一負根， 則則a a的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 令令f f( (x x)=)=x x2 2+ +axax+ +a a2 2-1,-1, 二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負根，二次函數(shù)開口向上，若方程有一正一負根， 則只需則只需f f(0)0,(0)0,即即a a2 2-10,-10, -1 -1a a1. 1. -1-1a a10)0恒成立恒成立, ,則則b b的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析 依題意，依題意，f