曲邊梯形面積與定積分

1、ni 1n2i 122n3i 1n(n1)i2n(n1)(2n1)i6n (n1)i4xoyf(a)baf(b)yf(x)xoyf(a)baf(b)yf(x)xoyf(a)baf(b)yf(x)pp放大放大再放大再放大p觀察下面的實驗 y = f(x)bax yo a1用兩個矩形的面積用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形的面積近似代替曲邊梯形的面積a，得，得 y = f(x)bax yoa1a2 y = f(x)bax yoa1a2a3a4 y = f(x)bax yoa a1+ a2 + + ana1aian將區(qū)間0,1等分為n個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度均為 ，記作 1nii11xnnn 過各

2、分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分割成n個小曲邊梯形，再以小區(qū)間的左端點的縱坐標為高，x為底作n個小矩形，用這些小矩形的面積近似地替代相應(yīng)的曲邊梯形的面積；所有小矩形面積之和等于：2222n12n11111s012nnnn6nn所有小矩形面積之和等于：nnn11111slim slim121 26nn63 012n-1nii+1iin 1iii+1niii 0nf(x)a,b(1)a= x x x x x = b n x = x-x (i = 0,1,2,n-1) 0 x0(2) x ,xi =f( )x(3)i 設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)定定義義在在區(qū)區(qū)間間上上。用用分分點點將將區(qū)區(qū)間間分分成成 個個

3、小小區(qū)區(qū)間間，其其長長度度依依次次為為， 設(shè)設(shè) 是是這這些些區(qū)區(qū)間間長長度度中中的的最最大大值值，則則當當時時, ,；，作作和和式式 ；當當0 0時時，若若 的的極極限限存存在在，則則稱稱該該極極限限值值為為 n 1iini 0f(x)a,bb f(x)dxf(x)a,b.abf(x)dxlimf( )x .a在在上上的的定定積積分分, ,記記作作：, ,讀讀作作“在在上上的的定定積積分分” 即即bf(x)dxa (化整為零） (以直代曲) (積零為整) (使近似變精確)aba(1)f (x)dx0(2)f (x)dxf (x)dxaabbb(3)k f (x)dxkf (x)dxaabbb(

4、4)f (x)g(x)dxf (x)dxg(x)dx;aaacbc(5)abcf (x)dxf (x)dxf (x)dxaaba(6)f (x) a,af (x)dx0-a(7)f (x) a,a ；設(shè)，則；若是上的奇函數(shù)，則；若是上aaf (x)dx2f (x)dx-a0b(8)a,bf (x)0f (x)dx0a的偶函數(shù)，則；在區(qū)間上，若，則.b1.f(x)a,bf(x)0f(x)dxf(x)axa,xb,y0b2.f(x)a,bf(x)0f(x)dxf(x)axa,xb,y0若若在在上上連連續(xù)續(xù)且且，則則表表示示曲曲線線 與與直直線線所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積；若若在在上上連連續(xù)續(xù)且且，則則表表示示曲曲線線 與與直直線線所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積的的相相反反數(shù)數(shù)；b3.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)dxaf(x)g(x)xa,xb若若、均均連連續(xù)續(xù)且且，則則 表表示示由由曲曲線線、與與直直線線所所圍圍成成的的