第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、1隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征概述概述 分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性. .但在某些實(shí)際問題中，并不需要全面考察隨機(jī)變但在某些實(shí)際問題中，并不需要全面考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特量的變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù)征，因而并不需要求出它的分布函數(shù). . 例如，在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，例如，在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量； 又如又如, , 檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意

2、纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好質(zhì)量就較好. .2隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征概述概述 與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征的重要特征. . 本章將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：本章將介紹隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù). .3第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特

3、征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4引例引例有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：有甲、乙兩個(gè)射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出： 射手甲射手甲擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)8910概率概率0.30.10.6 射手乙射手乙擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)8910概率概率0.20.50.3試問哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？試問哪個(gè)射手本領(lǐng)較好？5擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)8910概率概率0.30.10.6 若兩個(gè)選手各射若兩個(gè)選手各射N槍，則槍，則甲的平均環(huán)數(shù)為：甲的平均環(huán)數(shù)為： (80.3N90.1N100.6N)/N=9.3，乙的平均環(huán)數(shù)為：乙的平均環(huán)數(shù)為： （80.2N90.5N100.3N)/N=9.1.擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)8910概率概率0.20.50

4、.36 甲平均射中甲平均射中9.39.3環(huán)，乙平均射中環(huán)，乙平均射中9.19.1環(huán)，因環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些此甲射手的本領(lǐng)好些. . 在這一問題中，以平均值的大小為準(zhǔn)則，來在這一問題中，以平均值的大小為準(zhǔn)則，來判定射手的射擊水平的高低判定射手的射擊水平的高低. . 由此產(chǎn)生了隨機(jī)變由此產(chǎn)生了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望量的數(shù)學(xué)期望E(X)的概念的概念. . 僅利用平均值這一指標(biāo)，來判定射手的射擊僅利用平均值這一指標(biāo)，來判定射手的射擊水平的高低還不夠水平的高低還不夠. . 例如，例如，7 射手甲射手甲擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)8910概率概率0.4 0.1 0.5 射手乙射手乙擊中環(huán)數(shù)擊中環(huán)數(shù)8910概率概率0.

5、2 0.5 0.3試問哪個(gè)射手本領(lǐng)好一些？試問哪個(gè)射手本領(lǐng)好一些？ 若兩個(gè)選手各射若兩個(gè)選手各射N槍，則槍，則甲的平均環(huán)數(shù)為：甲的平均環(huán)數(shù)為： (8(80.40.4N9 90.10.1N10100.50.5N)/N=9.1=9.1，乙的平均環(huán)數(shù)為：乙的平均環(huán)數(shù)為： （8 80.20.2N9 90.50.5N10100.30.3N)/N=9.1=9.1.8 這時(shí)，可用量這時(shí)，可用量 來衡量來衡量射手的射擊水平的高低射手的射擊水平的高低. . D(X)它它表示射擊環(huán)數(shù)表示射擊環(huán)數(shù)對平均值的離散程度對平均值的離散程度. .D(X)的值越小，表示射擊的值越小，表示射擊環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)x越集中在平均環(huán)數(shù)越集中在

6、平均環(huán)數(shù)E(X)的附近，這意味著的附近，這意味著射手的射擊水平越穩(wěn)定射手的射擊水平越穩(wěn)定. 由此便產(chǎn)生了方差的由此便產(chǎn)生了方差的概念概念. .2iiD XxE X9v 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望10數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義離散型離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為若級數(shù)若級數(shù)絕對收斂，則稱絕對收斂，則稱 的和為隨機(jī)變量的和為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（或均值），記為（或均值），記為 . .即即1kkkx p,1,2,kkP Xxp k1kkkx pE X1.kkkE Xx p11數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義連續(xù)型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X

7、的概率密度為的概率密度為 f(x)，若積分若積分絕對收斂，則稱絕對收斂，則稱 的值為隨機(jī)的值為隨機(jī)變量變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（或均值），記為（或均值），記為E( (X).). xfx dx xfx dx 即即 .EXxfx dx 12例例1 求二項(xiàng)分布求二項(xiàng)分布 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望期望. .nkqpCpknkknk, 2 , 1 , 0,111(1) (1)111111(1)(1)!(1)(1)(1) 1(1)!().nnkkn kkn knkknknkknkkn knknn nnkkC p qkp qknnknppqknpCpqnp pqnpE X0nkkkp解解13例例2 求泊松分布求泊

8、松分布 的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望. .,2 , 1 ,0,! kekpkk 解解E X0nkkkp111!(1)!.kkkkkekekee14例例3 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X取值取值 對應(yīng)的對應(yīng)的2( 1),1,2,kkkxkk 概率為概率為1,1,2,2kkpk 求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望. .()ln .11112kkkkkx pk 解解 盡管盡管 111,kkkkxpkXE X 因因此此的的期期望望不不存存在在. .但由于但由于15例例4隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布解解 E X xfx dx 求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望. .0,0,0,1)(xxexfx01xxedx16.0)(10/0/0/0

9、/0 xxxxxedxexeexddxex17例例5 101101,150012,200023,25003,3000,0;0,0.xXXXXXXexf xxY某商店對某種家用電器的銷售采用先試用后付款的方式.記使用壽命為（以年計(jì)），規(guī)定：一臺付款元；一臺付款元；一臺付款元；一臺付款元.設(shè)壽命 服從指數(shù)分布，概率密度為求該商店一臺家用電器收費(fèi) 的數(shù)學(xué)期望.18 11101100150010.0952.xP YP Xf x dxedx解 21011012000120.0861.xP YPXedx25000.0779,30000.7048.P YP Y同理可得19Y故一臺收費(fèi) 的分布列為 Y 150

10、0 2000 2500 3000 P0.09520.08610.07790.7408 2732.15,E Y計(jì)算可得：即平均一臺家電收費(fèi)2732.15元.20隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望( ) (YXYg Xg設(shè) 是隨機(jī)變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)). 11, 1,2,().kkkkkXP XxpkE YE g Xg xp（） 是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，則(2)( )( ) ( )( ) ()( ) ( ).Xf xg x f x dxE YE g Xg x f x dx是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為，若絕對收斂，則有21P64例例4.5改為改為X1 0 2 pk 1/4

11、1/2 1/4 ).12(),(2 XEXE求22P64例例4.62000,4000XU., 04000,2000,2000/1)(其它xxf3 ,()3(),.y Xyg XXyXXy23例例4.7 若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命求整機(jī)壽命( (以小時(shí)計(jì)以小時(shí)計(jì)) )N的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. ./1,0;( )0.0,0;xexf xx 由兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們由兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命的壽命 服從同一指數(shù)分布，其服從同一指數(shù)分布，其概率密度為概率密度為 kX(1,2)k 24/(1,2)1,0;( )0,0.kxX

12、kexF xx 解的分布函數(shù)為122 /2minmin(,)1,0;( )1 1( )0,0.xNXXexFxF xx 所以，的分布函數(shù)為252 /min2,0;( )0,0.xNexfxx因而 的概率密度為min2 /()( )2.2xNE Nxfx dxxedx于是 的數(shù)學(xué)期望為26例例7 2222001 ,0;0,(0,.1.3aVaavaf vWkVkWkE Wkv f v dvv dvkaa 設(shè)風(fēng)速 在 ，上服從均勻分布，即有概率密度函數(shù)其它.又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力常數(shù)）,求 的數(shù)學(xué)期望解27(1, ),();XBpE Xp ( , ),( );XB n pE Xnp ( ),()

13、;XPE X ( , ),();2abXU a bE X ( ),();XEE X 2( ,),().XNE X 28作業(yè)作業(yè)P801求求E(X),2求求E(X),3.29離散型離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為若級數(shù)若級數(shù)絕對收斂，則稱絕對收斂，則稱 的和為隨機(jī)變量的和為隨機(jī)變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（或均值），記為（或均值），記為 . .即即1kkkx p,1,2,kkP Xxp k1kkkx pE X1.kkkE Xx p30連續(xù)型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 f(x)，若積分若積分絕對收斂，則稱絕對收斂，則稱 的值為隨機(jī)的值

14、為隨機(jī)變量變量X的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（或均值），記為（或均值），記為E( (X).). xfx dx xfx dx 即即 .EXxfx dx 31隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望( ) (YXYg Xg設(shè) 是隨機(jī)變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)). 11, 1,2,()().kkkkkkkkXP Xxpkg xpE YE g Xg xp（） 是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為，且絕對收斂,則(2)( )( ) ( )( ) ()( ) ( ).Xf xg x f x dxE YE g Xg x f x dx是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為，若絕對收斂，則有32隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)向量函數(shù)

15、的數(shù)學(xué)期望(, )(, )X YZg X Y設(shè)Z是隨機(jī)向量的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù).(2) (, )( , )( , ) ( , )( )( , ) ( , ).X Yf x yg x y f x y dxdyE Zg x y f x y dxdy 設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)向量，它的概率密度為，若絕對收斂，則 1 (, )(,)( ,)( ,).ijijijijijijijijX YP Xx Yypg x ypE Zg x yp（） 若離散型隨機(jī)向量的分布律為，且絕對收斂,則33隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望11(,)(,)nnYXXYg XX設(shè) 是隨機(jī)向量的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù).11111111(

16、2) (,)( ,)( ,) ( ,)( )( ,) ( ,).nnnnnnnnXXf xxg xxf xx dxdxE Yg xxf xx dxdx設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)向量，它的概率密度為，若絕對收斂，則 111111111 (,)( ,)( ,) ( ,)( ,) ( ,).nnnnnnxxnnxxXXp xxg xxp xxE Yg xxp xx （） 若是離散型隨機(jī)向量,分布律為，且絕對收斂,，則34隨機(jī)向量的分量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)向量的分量的數(shù)學(xué)期望()( , )( ),( )( , )( ).XYE Xxf x y dxdyxfx dxE Yyf x y dxdyyfy dy ,設(shè)隨機(jī)向量的

17、密度函數(shù)為X Yfx y則有則有35隨機(jī)向量的分量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)向量的分量的數(shù)學(xué)期望11()( ,)( ),1,2, .iiinniXiiE Xx f xx dxdxx fx dxin1212,nnXXXfxxx設(shè)隨機(jī)向量的密度函數(shù)為則有則有36 32,31,1;2,0,1.X Yyx xx yxfx yE YEXY設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為其它.求371( ,) :1,Gx yxyxx Gyo11yxyxx ,1.E YEXY求38 1313231113,2ln3ln3133.224xxE Yyf x y dxdydydxx yxxdxdxxxx 解39143111,323.5xxEfx y d

18、xdyXYxydxdyx y 40例例,X Y點(diǎn)數(shù),求U=max(X,Y),V=min(X,Y),Z=X+Y的期望.1357911161( ) 123456.36363636363636EU 119753191( ) 123456.36363636363636E V 41123456( )23456736363636363654321891011123636363636E Z 2 6 12 20 30 42 40 36 30 22 12 2527.3636 421( )(2 3 4 5 6 7) (3 4 5 6 7 8)36(4 5 6 7 8 9) (5 6 7 8 9 10)(6 7 8

19、 9 10 11) (7 8 9 1) 11 12)1252(27 33 39 45 51 57)73636E Z 43(,)(),1,2(),(),()XYUGyGxyxEXE YEXY由軸軸 及 直 線圍 成 求44( , ):01,02(1)Gx yxyxy1xOG245,E Xxf x y dxdy 解102 (1)xx dx12(1)00 xxdy dx1112().23346 ,E Yyf x y dxdy 1202(1)xdx12(1)00 xydy dx 13022(1).33x 47,E XYxyf x y dxdy 解1202 (1)xx dx12(1)00 xxydy d

20、x12302(2)11112().2346xxx dx48數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)11111(1)().(2)()(), ,()()( ).,()()().nnnnnCE CCE CXC E XCX YE XYE XE YnXXE c Xc Xc E Xc E X設(shè)為常數(shù)，則線性性是常數(shù)；(3)對任意兩個(gè)隨機(jī)變量有一般地，對任意 個(gè)隨機(jī)變量有49數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)121212(4),()()( ),()()()().nnnX YE XYE XE YnXXXE X XXE XE XE X設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有一般地，對任意 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有50隨機(jī)變量隨機(jī)變量X服從正態(tài)

21、分布服從正態(tài)分布求求X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望.22()21( ),2xf xex 512221(0,1), ( ),2( )( )0,( )()( )( ).( ,), ( ).xXZNxexE Zxx dxXZE XEZEE ZXNE X 52(1, ),();XBpE Xp ( , ),( );XB n pE Xnp ( ),();XPE X ( , ),();2abXU a bE X ( ),();XEE X 2( ,),().XNE X 53P67例例10,.np設(shè)對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊,命中 次才能徹底推倒該目標(biāo).假定各次射擊是獨(dú)立的,并且每次射擊命中目標(biāo)的概率為 試求徹底推倒這一目標(biāo)平均

22、消耗的炮彈數(shù)54111,?mkmE Xmpqp12121()()()()()().nnE XE XXXE XE XE XnnE Xp12.knXXXXXX解55例例10 20.XE X一民航送客車載有位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個(gè)車站可以下車 如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車.以表示停車的次數(shù),求（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車是相互獨(dú)立的）12101,1 210.0.iiXiiXXXX解定義在第 個(gè)車站有人下車；， ， ，在第 個(gè)車站沒有人下車；于是有56202092010iii9由題意知:任一旅客在第 站不下車的概率是，10因此位旅客都不在第 站下車的概率是，9而

23、在第 站有人下車的概率是1-，102020990,11.1010iiPXPX即5720121012091,1,2,10.1010910 1.10iEXiEXEXXXEX因此，58例例11 22 ,01;9,03;0,.0,.I ARiirrg ih rVIR 設(shè)一電路中電流與電阻是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度為其它其他求電壓的均值. 31320032.92E VE IRE I E Rig i dirh r drri didr解 59矩的概念矩的概念(),1,2,()() ,1,2,kkkkXE XkXkE XEXE XkXk設(shè)為隨機(jī)變量，則稱的 階.如果存在，則稱的 階數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)

24、矩.方差是原點(diǎn)矩二階中心矩.中心矩.60練習(xí)練習(xí)P801310 011130 0000:,11122,1224xxxf x y dxdykdxdykkE XYxyf x y dxdyxydxdyxydy dxx dx 解61作業(yè)作業(yè)P8010，1962v隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差63()()( ()()()0E XE XE XE E XE XE X()E XE X2() EXE X()D X 64隨機(jī)變量方差的定義隨機(jī)變量方差的定義2()()() ()()XD XVar XEXE XXD XX設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)變量，則稱為方差均方的. 稱為(差 標(biāo)準(zhǔn)差).21()().kkkXD XxE Xp若

25、 是離散型隨機(jī)變量，則2( )()()( ).Xf xD XxE Xf x dx若 是連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，則65方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系2()() .D XEXE X證明222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22D XE XE X22() () .E XE X66例例12 2,0.,.XEXXD XYD Y設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望方差記求22222210,11,1.XE YEEXXE YEEXD YE YE YYX解稱為的標(biāo)準(zhǔn)化變量67例例13 .XD X設(shè)隨機(jī)變量服從 0-1 分布，求2221,01,1.XPXp P

26、XpEXpEXpDXEXEXpp解的分布列為故所以有68例例14 ,.XPD X設(shè)隨機(jī)變量求 222022,0,1,2,0.!.111!2 !.kkkkkXeP XkkkE XE XE X XXE X XE Xek kekk解的分布律為易知69 22.D XE XE X所以.泊松分布的數(shù)學(xué)期望或方差能完全確定它的概率分布70例例15 ,.XU a bD X設(shè)求 222221,;0,.2,1.212baXbaaxbfxE XbaD XE XE Xbabaxdxba解的概率密度為其他易知所以有71例例16 1,0.0,0.xXexfxxD X設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為求2220222,2,.xE X

27、eE XxdxD XE XE X解易知所以有從而，72P69例例13 X 28 29 30 31 32 p 0.10 0.150.500.15 0.10 Y 28 29 30 31 32 p 0.13 0.170.400.17 0.1373P69例例4.141,10,1, 01,0,.XxxfxxxDX設(shè) 隨 機(jī) 變 量的 概 率 密 度 為其 它 .求74方差的性質(zhì)方差的性質(zhì),()()()( ).X YD XYD XYD XD Y特別地，若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有(1)( )0;CD C 設(shè) 為常數(shù)，則2(2) ()(),D CXC D XC是常數(shù)；(3),()()( )2 ()( ).X

28、YD XYD XD YEXE XYE Y設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.75例例17 2222,()()( )2 ()( ).,()()()( ).()()() ()( ) () ( ) 2 ()( )X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XYD XD YD XYEXYE XYEXE XYE YEXE XE YE YEXE XYE Y設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，證明特別，若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有證明76()( )2 ( )()() ( )()( )2 ()() ( ).,()()( ).D XD YE XYXE YE X YE

29、X E YD XD YE XYE X E YX YD XYD XD Y若相互獨(dú)立，則有77P70例例1522(,)(),().XNE XD X 設(shè)證 明78例例4.16 ,.XB n pE XD X設(shè)求.XnAAp解 由二項(xiàng)分布的定義知，隨機(jī)變量 是 重貝努里試驗(yàn)中事件 發(fā)生的次數(shù)，且在每次試驗(yàn)中 發(fā)生的概率為1,1,2, .0,kAkXknAk定義在第 次試驗(yàn)中發(fā)生；在第 次試驗(yàn)中不發(fā)生.1212,(1,2, )01nnkXXXXX XXXkn易知且相互獨(dú)立,服從 分布.79,1,1, .kkE Xp D Xppkn計(jì)算可得：1,nkkE XEXnp因此111.nkkD XDXnD Xnpp

30、80P70例例4.1781P71例例4.1882(1,),(),()(1);XBpE Xp D Xpp ( , ),(),()(1);XB n pE Xnp D Xnpp (),(),();XPEXD X 2()( , ),(),();212abbaXU a bE XD X 2(),(),();XEEXD X 22( ,),(),();XNE XD X 83練習(xí)練習(xí)P807132213131232( )0.1,()( ) ( )0.89 0.01 0.9.0.4,0.5.10.1.E XppE XppD XE Xpppppp 84作業(yè)作業(yè)P806,8,1485v協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

31、定義定義性質(zhì)性質(zhì)不相關(guān)與獨(dú)立不相關(guān)與獨(dú)立86協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義,()()( )2 ()( ).,()()()( ).X YD XYD XD YEXE XYE YX YD XYD XYD XD Y設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則特別，若是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有2222()()() ()() () () 2()()D XYEXYEXYEXEXYE YEXEXEYE YEXEXYE Y證 明87()( )2 ( )()() ( )()( )2 ()() ( ).,()()( ).D XD YE XYXE YE X YE X E YD XD YE XYE X E YX YD XYD XD

32、 Y若相互獨(dú)立，則有88協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義( )( )( , )( , )( )( ).E XE XYE YXYCov X YCov X YE XE XYE Y協(xié)量稱為隨機(jī)變量 與 的.記為，即方差( , )( )( )XYCov X YD XD YXY數(shù)被稱為隨機(jī)變量 與 的相關(guān)系數(shù).89協(xié)方差與期望、方差的關(guān)系協(xié)方差與期望、方差的關(guān)系1( ,)(),Cov X XD X（ ）3()()( )2(, ).D XYD XD YCov X Y（ ）2(, )()() ( ).Cov X YE XYE X E Y（ ）( , )( ).Cov Y YD Y90P72例例4

33、.19,X Y設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為4,01,01;,0,.,.xyxyfx yCov X Y其它求yo1x191,E Xxf x y dxdy 解112004 x ydxdy 1120042/3,x dxydy ,E Yyf x y dxdy 112004 xy dxdy 1120042/3,xdxy dy,E XYxyf x y dxdy 1122004 xy dxdy 11220044/9,x dxy dy92(, )Cov X Y()()()EX YEXE Y24/9(2/3)093例例4.20 ,X Y設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為2xy1,12yxx1oy223,;,0,.,.XYx yG

34、f x yx yGGyxxyCov X YD XY其中區(qū)域 由曲線與圍成，求和 2109,33,20 xxGE Xxf x y dxdyxdxdydxxdy 解94,E Xxf x y dxdy 解21033xxGxdxdydxxdy311232002193 ()3()3().5420 xxx dxxx dx ,E Yyf x y dxdy 21033xxGydxdydxydy14033 119()().22 2520 xxdx952221220,93335xxGE Xx f x y dxdyx dxdydxx dy 22153 2800.D XE XE X2221220,93335xxGE

35、Yy f x y dxdyy dxdydxy dy 22153 2800.D YE YE Y962101,3.4xxE XYxyf x y dxdyxdxydy (, )Cov X Y()()()EX YEXE Y21919().420400 ,133,153XYCov X YD XD Y 2,143 700.D XYD XD YCov X Y97協(xié)方差協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),.Cov X YCov Y X對稱性1212(,)(, )(, )(, )(, ).Cov aX bYabCov X YCov XX YCov X YCov X Y線性性，1.XY98例例4.21 1122

36、(, )Cov c Xc X Y證證明證明11221122()( )E c Xc XE c Xc XYE Y11112222()( )()( )E c Xc E XYE YE c Xc E XYE Y111222()( )()( )c EXE XYE Yc EXE XYE Y1122(, )(, ).cCov X Yc Cov X Y11221122(, )(, )(, ).Cov c Xc X YcCov X Yc Cov X Y991.,XYt往證:事實(shí)上 對任意的實(shí)數(shù)22222( ) 2( , )( )( , ) ( , )( , )( )2( )( ) ( )( )t D XtCov

37、X YDYCov X YCov X YCov X YD X ttDYD XD XD X22(, )(, )()( )()()Cov X YCov X YD XtD YD XD X22222()() ( )() ( ) 2( )()() D YtXEYtXE YtXEYE Yt XE XEYE YtEYE YXE Xt EXE X10022(, )(, )()()( )()()Cov X YCov X YD YtXD XtD YD XD X2(, )( )1() ( )Cov X YD YD X D Y(,),()Cov X YtD X令有2(, )( )()Cov X YD YD X()D Y

38、bX2()1XYD Y2,101 .X YX Y因 為 方 差 不 能 為 負(fù)所 以101不相關(guān)與獨(dú)立不相關(guān)與獨(dú)立0XYXY若，則稱和不相關(guān).4.6,0,XYX YX Y定理若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則即不相關(guān).,(,)()()( )0.0,XYX YCov X YE XYE X E YX Y證若獨(dú)立，則從而，不相關(guān).102例例21 20 1 2,0, 2;0,0, 2.1()coscos0,2fEXfdd解的 密 度 函 數(shù) 為于 是 有0,2 cos,cos(),.XYXY 設(shè)服從均勻分布，令這里 是定數(shù)，求既不相關(guān)、也不獨(dú)立之例103 222202211()coscos,221 2.E Xfd

39、dD XE XE X 所以 220( )0() 1 21 211()cos cos()cos .22E YE YD YE XYa d同理可得：，104 ,cos .XYCov X YE XYE X E YD XD YD XD Y因此01;XYXYYX當(dāng)時(shí)， 與 存在線性關(guān)系.這時(shí),顯然有1;XYXYYX 當(dāng)時(shí)， 與 存在線性關(guān)系.這時(shí),顯然有22201.XYXYXYXY當(dāng)時(shí)， 與 不相關(guān).隨機(jī)變量 與 不獨(dú)立,顯然有105例例22,X Y設(shè)（）的分布律為 X Y -2 -1 1 2PY=i 1 0 1/4 1/4 0 1/2 4 1/4 0 0 1/4 1/2PX=j 1/4 1/4 1/4

40、1/4,X Y則既不相關(guān)、也不獨(dú)立. 0,5 2.E XE Y易知1061111111 1242 20,44440.ijijijXYE XYx y p 于是,X YX Y這表明不相關(guān)，即表明之間不存在線性關(guān)系. 22,121,.P XYP XP YX YYX 然而，由知：不獨(dú)立，事實(shí)上，107設(shè)設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布,它的密度函數(shù)為它的密度函數(shù)為2122211221222122()11( , )exp2(1)21()()()2,xf x yxyy 221212(, )(, ).X YN 2121()211( ),2xXfxex 2222()221( ),2yYfyey 1

41、0812(, ),Cov X Y ,.XYCov X YD XD Y221212(,)(,)X YN0.XY則 和 相互獨(dú)立的充要條件是109練習(xí)練習(xí)P811215121141012;282828282E X 解 10153213012;282828284E Y 323 ()2 ( )EXYE XE Y13323;2463();2814E XY 110cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y3131221914245656222215121164012;282828287E X22221015327012;28282828E Y2241927345()( ),( )( );7

42、228284112D XD Y111cov(, )5;5()( )XYX YD XD Y 2263min(, )012 0.282814EX Y 112作業(yè)作業(yè)P8111,16113v大數(shù)定律大數(shù)定律馬爾可夫與切比雪夫不等式馬爾可夫與切比雪夫不等式依概率收斂與大數(shù)定律依概率收斂與大數(shù)定律幾個(gè)常用的大數(shù)定律幾個(gè)常用的大數(shù)定律114馬爾可夫與切比雪夫不等式馬爾可夫與切比雪夫不等式馬爾可夫不等式馬爾可夫不等式 0.XExPX設(shè)(1)是只取非負(fù)值的隨機(jī)變量,(2)且具有數(shù)學(xué)期望.則對于任意正數(shù)，有115馬爾可夫與切比雪夫不等式馬爾可夫與切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式22222()()1.X

43、E XD XP XP X設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對于任意正數(shù) ，有，或116例例23 1/4.12200300.AXAXE XA設(shè)在每次試驗(yàn)中，事件 發(fā)生的概率為（ ）進(jìn)行 300次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，以 記 發(fā)生的次數(shù)，用切比雪夫不等式估計(jì) 與的偏差小于50的概率.（ ）問是否可用0.925的概率，確信在1000次試驗(yàn)中，事件 發(fā)生的次數(shù)在到之間1172501/500.9775.P XE XD X 于是300,1/475,1225/4.XbE XnpD Xnpp解(1)由知，1182(2)1000,1/ 4250,1375/ 2,200300501/500.925.1000200300XbE XnpD XnppPXPXE XD XA 由知，所以故，在次試驗(yàn)中，可以確信 發(fā)生的次數(shù)在到之間的概率大于0.925.119例例24 X設(shè)隨機(jī)變量 的概率分布為 X 0.3 0.6 P 0.2 0.80.2 .PXE X試求2220.3 0.2 0.6 0.80.54.0.30.2 0.60.80.306,E XE X解于是有1202220.0144.160.21.0.225D XE XE XD XP XE X 故0