2020-2021初三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編——圓與相似綜合及答案

1、求4BMC的面積;AB=3, AD=班,求證：AD= . BN .E為AD的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)BAM=/ACD=90 , AM=CD , ABMACAD,BM=AD=城一恭=1 , CM=CA - AM=2 ,Sabcm=?CM?BA=2020-2021初三數(shù)學(xué)一模試題分類匯編一一圓與相似綜合及答案一、相似1 .如圖，在 4ABC 中，AB=AC, /BAC=90, AHXBC 于點(diǎn) H,過(guò)點(diǎn) C 作 CDAC,連接E.AD,點(diǎn)M為AC上一點(diǎn)，且 AM=CD,連接BM交AH于點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)(1)若X 23=3(2)解：如圖 2中，連接 EG CN,彳EQ BC于Q, EF)BA于P.1 . AE=E

2、D ,/ACD=90 , AE=CE=ED , / EAC=Z ECA ,-. ABMACAD ,Z ABM=Z CAD , ZABM=ZMCE ,/ Z AMB=Z EMC , . / CEM=/ BAM=90 ,2 .ABMAECM, 力 昂, .,/ ZAME=Z BMC, . AMEs BMC,，/AEM=/ ACB=45 , ，/AEC=135 , 易 知 / PEQ=135 ,. . / PEQ=/ AEC ,，/AEQ=/ EQC -/P=/ EQC=90, EPAEQC, . EP=EQ / EP BP, EQ, BC .BE 平 分 / ABC,，/NBC=/ ABN=22.

3、5 ； AH 垂 直平分 BC ,. NB=NC ,/ NCB=Z NBC=22.5 , ，/ ENC=Z NBC+/ NCB=45 ；. AENC 的等腰直角三角形，NC=/ EG . .AD=2EC, .2NC=k1 AD, . AD=、三 NC, / BN=NC, ，AD= BN.【解析】【分析】(1)首先利用 SAS判斷出ABM ACAD,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 得出BM=AD=根據(jù)勾股定理可以算出AM,根據(jù)線段的和差得出CM的長(zhǎng)，利用1Sabcm= :?CM?BA即可得出答案；(2)連接EG CN,作EQ BC于Q, EP BA于P.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊的一半得出

4、AE=CE=ED根據(jù)等邊對(duì)等角得出 / EAC=Z ECA,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等 得出ZABM=ZCAD,從而得出 /ABM=/MCE,根據(jù)對(duì)頂角相等及三角形的內(nèi)角和得出 /CEM=/BAM=90 ；從而判斷出 ABMsECM,由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出BM :CM= AM : EM,從而得出 BM : AM= CM ： EM,根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例及夾角相等得出 AMEABMC,故 / AEM=/ACB=45； /AEC=135；易知 /PEQ=135；故 / PEQ=/ AEC, / AEQ=Z EQC,又/ P=/ EQC=90，。故 EPA EQQ故EP=EQ根據(jù)角平分線的判定得出

5、BE平分/ ABC,故/ NBC=Z ABN=22.5 ,根據(jù)中垂線定理得出NB=NC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出/ NCB=Z NBC=22.5 ,故/ ENC=Z NBC+Z NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出NC=亞EC,根據(jù)AD=2EC, 2NC=4三AD , AD=NC,又 BN=NC,故 AD= BN.2 .如圖，AB為 、,的直徑，C為 。上一點(diǎn)，D為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，(1)求證：DC為9 0的切線;(2)線段 DF分別交 AC, BC于點(diǎn)E, F且|二tEF S； 0的半徑為 5,飛S111B -氣求CF的長(zhǎng).【答案】(1)解：如圖，連

6、接 OC,:AB為9 0的直徑， : 一ACU 二4二第，：088,.：5 = /BC0,:JACD B| ? : JICD 上加。，二 ZACD , 4CA -緲，即D - 的.：DC為。0的切線3 AC(2)解：|仁咖1 KB中，曲-1，一 一二M*： AC 6 B( 8 上ACD 4 /ADC 上JE ：/ CADs ECD,AC AD 6-9 BC 一，設(shè)AD 聶，0 的，Rl J OCD 中，0C?，=。巾，于小不衣尸二。為尸，36工1舍或7 ,：“ 5EF = /丁| UACB =如 口 ? ?. : CE 8,舍去，.x=6 -寸，.EC=12- 2,.OE=8- （12-2 也

7、J） =2 必-4【解析】 【分析】（1）連接 OB,則需要證明/GBO=/ GBC+Z OBC=90;由CD是。的 直徑，則/DBO+/ OBC=90,即需要證明 /GBC=Z BDO,由同弧所對(duì)的圓周角相等，可知 / BAC=Z BDC,而 / BAC=Z GBC, / BDC=Z DBO,貝U可證得 / GBC=Z BDO。畫目 應(yīng)（2）因?yàn)橐阎?和=、，求在淇中EF, BE是4BEF的兩條邊，而 AC, OC是4AOC的兩條 邊，但4BEF和4AOC不相似，則可構(gòu)造兩三角形相似，因?yàn)?BEF是直角三角形，則可過(guò)比點(diǎn)O作OMLAC于點(diǎn)M,連接OA,即構(gòu)造BED4OCM,從而可求得 貿(mào)。

8、度（3）由（2）得*的值及OC=8求出BE;由PD=OD,且/ PBO=90 ,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半 ”可得BD=OD=8,由勾股定理可求得 BC的長(zhǎng)，則ADOB是等邊三角形，則在直角三角形ECF中存在特殊角 30度，不妨設(shè)EF=x則CE=2x CF冢X 在RtA BEF中，由勾股定理可得 BEEP+BF2 ,構(gòu)造方程解答即可。二、圓的綜合9.如圖，點(diǎn)P在。O的直徑AB的延長(zhǎng)線上，PC為。O的切線，點(diǎn)C為切點(diǎn)，連接 AC, 過(guò)點(diǎn)A作PC的垂線，點(diǎn)D為垂足，AD交。O于點(diǎn)E.（1）如圖 1 ,求證：/ DAC=Z PAC（2）如圖2,點(diǎn)F （與點(diǎn)C位于直徑AB兩側(cè)）在OO

9、上，BF ?A,連接EF,過(guò)點(diǎn)F作AD的平行線交 PC于點(diǎn)G,求證：FG=DE+DG在(2)的條件下，如圖 3,若AE=2dG, PO=5,求EF的長(zhǎng).3【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3) EF=3J2.【解析】【分析】(1)連接OC,求出OC/ AD,求出OC, PC,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)連接BE交GF于H,連接OH,求出四邊形 HGDE是矩形，求出 DE=HG, FH=EH即 可得出答案；(3)設(shè)OC交HE于M ,連接OE、OF,求出/ FHO=/ EHO=45 ,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EH/ DG,求出 OM=1AE,設(shè) OM=a,則 HM=a, AE=2a, AE

10、=- DG, DG=3a, 23MO 1CO 1求出 ME=CD=2a, BM=2a,解直角二角形得出 tanZ MBO= tanP=設(shè)BM 2PO 2 OC=k,則PC=2k,根據(jù)OP=J5 k=5求出k=J5,根據(jù)勾股定理求出 a,即可求出答案.【詳解】(1)證明：連接OC,.PC為。的切線,OCX PC, .ADXPC, .OC/ AD,Z OCA=Z DAC,.OC=OA,Z PAC=/ OCA,Z DAC=Z PAC(2)證明：連接 BE交GF于H,連接OH,1. FG/ AD, / FGD+/ D=180 ；d D D=90 ；/ FGD=90 ；.AB為。的直徑，/ BEA=90

11、 ,/ BED=90 ,/ D=/HGD=/BED=90 ,四邊形HGDE是矩形，DE=GH, DG=HE, Z GHE=90 ,Bf Af ,/ HEF=Z FEA/ BEA=- 90 =45 , 22/ HFE=90 - / HEF=45 , / HEF=Z HFE,1 .FH=EH,.FG=FH+GH=DE+DG(3)解：設(shè)OC交HE于M,連接OE、OF,2 . EH=HF, OE=OF HO=HO,3 .FHOAEHO,/ FHO=Z EHO=45 ；4 .四邊形GHED是矩形，5 .EH/ DG,/ OMH=/OCP=90 ,/ HOM=90 - / OHM=90 - 45 =45

12、；/ HOM=/OHM,.HM=MO ,6 .OMXBE,.BM=ME,-1 _.OM= - AE,2設(shè) OM=a,則 HM=a, AE=2a, AE=2DG DG=3a3 / HGC=Z GCM=Z GHE=90 ；四邊形GHMC是矩形，GC=HM=a, DC=DG- GC=2a, DG=HE, GC=HM,ME=CD=2a, BM=2a,在 RtBOM 中，tan/MBO=M0 1BM 2a 2 EH/ DP,/ P=/ MBO,CO 1tanP=PO 2設(shè) OC=k,則 PC=2k,在 RtPOC 中，OP=75k=5,解得：k= 5 , OE=OC=, 5 ,在 RtOME 中，OM2

13、+ME2=OE2, 5a2=5,a=1 ,HE=3a=3,在 RtHFE 中，/HEF=45, -EF=72 HE=372 .【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用 性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.10.定義：有一個(gè)角是其鄰角一半的圓內(nèi)接四邊形叫做圓內(nèi)倍角四邊形.(1)如圖1,四邊形 ABCD內(nèi)接于OO, /DCB- /ADC=/ A,求證：四邊形 ABCD為圓內(nèi) 接倍角四邊形；(2)在(1)的條件下，OO半徑為5. 若AD為直徑，且sinA=,求BC的長(zhǎng)；5若四邊形ABCD中有一個(gè)角為60,且BC=CD則四邊形 ABCD的面積是；(3)在(1)的條

14、件下，記 AB=a, BC=b, CD=g AD=d,求證：d2-b2=ab+cd.圖1得用圖備用圖【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BC=6,75百或Z5 ； (3)見(jiàn)解析44【解析】【分析】(1)先判斷出Z ADC=180 - 2Z A,進(jìn)而判斷出/ABC=2/A,即可得出結(jié)論；(2) 先用銳角三角函數(shù)求出BD,進(jìn)而得出AB,由(1)得出/ADB=/BDC,即可得出結(jié)論；分兩種情況：利用面積和差即可得出結(jié)論；(3)先得出 BE=BC=b, DE=DA=b,進(jìn)而得出 CE=d - c,再判斷出 EBCEDA,即可得出 結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)/A=a,則 /DCB=180 a. Z DCB- Z A

15、DC=Z A, . . / ADC=/DCB / A=180 - a- a =180-2 a, ./ABC=180 -ZADC=2 a =2A, 四邊形ABCD是。O內(nèi)接倍角四邊形；(2)連接BD. AD 是。的直徑，Z ABD=90 :在 RtABD 中，AD=2 X 5=10sin/A=4, . BD=8,根5據(jù)勾股定理得： AB=6,設(shè) / A=a, / ADB=90 - a.若/ ADC=60 時(shí). / BDC=90 - a,Z ADB=Z BDC,BC=AB=6；四邊形ABCD是圓內(nèi)接倍角四邊形，/ BCD=120或/ BAD=30 ：I、當(dāng) /BCD=120 時(shí)，如圖 3,連接 O

16、A, OB, OC, OD. 1 _一 BC=CD,Z BOC=Z COD, . / OCD=/OCB=/ BCD=60 ； / CDO=60 ； ，AD 是。O2的直徑，（為了說(shuō)明 AD是直徑，點(diǎn) O沒(méi)有畫在AD上）Z ADC+Z BCD=180 , . . BC/ AD,，AB=CD.BC=CD,AB=BC=CD, . .OAB, BOC, ACOD是全等的等邊三角形，S四邊形abcc=3Saob=3 X3 x 2= 753 . 44n、當(dāng) /BAD=30 時(shí)，如圖 4,連接 OA, OB, OC, OD.2 .四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，Z BCD=180 - Z BAD=150 :3

17、 BC=CD,/ BOC=Z COD,. / BCO=Z DCO=- / BCD=75 ；. / BOC=Z DOC=30 ；2，/OBA=45；，/AOB=90：連接 AC,/ DAC=1 / BAD=15 ：24 / ADO=Z OAB- / BAD=15 ；. / DAC=/ADO, . .OD/ AC, . Soad=Saocd.過(guò)點(diǎn)C作CH, OB于H.在 RtOCH中，CH=1oC=5 , S四邊形 abcd=Sa cod+S boc+S aob- 221Sa aod=S boc+S aob25x5X5X建224(3)延長(zhǎng)DC, AB交于點(diǎn)E.1 ,四邊形 ABCD是。的內(nèi)接四邊形

18、， ，/BCE=/ A=/ABC.2 Z ABC=Z BCEfZ A,Z E=ZBCE=Z A, . . BE=BC=b, DE=DA=b, . CE=d c. 本題是圓的綜合題，主要考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，新定義，相似三角形的判定和性 質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵. /BCE=/A, /E=/E, .-.AEBCAEDA,CEBCAEAD，b2=ab+cd.【點(diǎn)睛】11.如圖1,以邊長(zhǎng)為4的正方形紙片 ABCD的邊AB為直徑作。0,交對(duì)角線 AC于點(diǎn)E. (1)圖1中，線段AE=;(2)如圖2,在圖1的基礎(chǔ)上，以點(diǎn) A為端點(diǎn)作/DAM=30 ,交CD于點(diǎn)M ,沿AM將四 邊形ABCM剪掉，使RtAADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(如圖 3),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為 a (00 a行=3+/.,. lRF.ll 、紜 l在 RtPB