函數(shù)的連續(xù)性64564PPT課件

1、一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第1頁(yè)/共43頁(yè)從上面幾個(gè)例子可以看出，要使從上面幾個(gè)例子可以看出，要使)(xfy 的圖形在的圖形在0 xx 處不斷開(kāi)，必須：處不斷開(kāi)，必須： ;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁(yè)/共43頁(yè):表述表述 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)1.1.連續(xù)的定義連續(xù)的定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第3

2、頁(yè)/共43頁(yè)2.2.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.),(,),()(0000的增量的增量稱為自變量在點(diǎn)稱為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)()()(0的增量的增量相應(yīng)于相應(yīng)于稱為函數(shù)稱為函數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x xx 00 xx y y )(xfy 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第4頁(yè)/共43頁(yè)注意：注意： 在連續(xù)性的定義中，在連續(xù)性的定義中，)(xf在在 0 x點(diǎn)必須點(diǎn)必須有定義， 這是與極限定義不同的地方。有定義， 這是與極限定義不同的地方。 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

3、 結(jié)束結(jié)束 第5頁(yè)/共43頁(yè)性質(zhì)：性質(zhì)：若若)(xf在在0 x點(diǎn)連續(xù)，則點(diǎn)連續(xù)，則 | )(|xf 在在 0 x點(diǎn)也連點(diǎn)也連續(xù)。反之不成立。續(xù)。反之不成立。 3.3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(, )()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)(, )()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

4、結(jié)束結(jié)束 證明，舉反例。證明，舉反例。第6頁(yè)/共43頁(yè)例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第7頁(yè)/共43頁(yè)例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但

5、不左連續(xù) , ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第8頁(yè)/共43頁(yè)4.4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。.,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間稱函數(shù)稱函數(shù)則則處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)并且在左端并且在左端內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間如果函數(shù)在開(kāi)區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形

6、是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .性質(zhì)：性質(zhì)：基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的?；境醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第9頁(yè)/共43頁(yè)例例3 3.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)任意的對(duì)任意的 |,|sin| 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對(duì)任意對(duì)任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

7、結(jié)束結(jié)束 第10頁(yè)/共43頁(yè)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個(gè)處連續(xù)必須滿足的三個(gè)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn) xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)()(,)()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個(gè)不滿足要有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中只如果上述三個(gè)條件中只xfxxxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第11頁(yè)/共43頁(yè)1.1.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(, )()(

8、lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無(wú)定處無(wú)定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在其間斷點(diǎn)在其間斷點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)xfxxxfxfAxfxxfxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)()(00的第一類間斷點(diǎn)的第一類間斷點(diǎn)為為，則稱，則稱都存在都存在處的左、右極限處的左、右極限在其間斷點(diǎn)在其間斷點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xfxxxf第一類間斷點(diǎn)：第一類間斷點(diǎn)：第12頁(yè)/共43頁(yè)例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上

9、頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) x注意：注意：對(duì)可去間斷點(diǎn)，只要改變或者補(bǔ)充函數(shù)在對(duì)可去間斷點(diǎn)，只要改變或者補(bǔ)充函數(shù)在間斷處的定義間斷處的定義, , 就可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)就可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .如上例中如上例中, , 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf 第13頁(yè)/共43頁(yè)2.2.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但都存在都存在處的左、右極限處的左、右極限在

10、其間斷點(diǎn)在其間斷點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn) xoxy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第14頁(yè)/共43頁(yè)第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00類間斷點(diǎn)類間斷點(diǎn)的第二的第二為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)至少有一個(gè)不存在至少有一個(gè)不存在處的左、右極限處的左、右極限在其間斷點(diǎn)在其間斷點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)xfxxxf例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討

11、論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為無(wú)窮間這種情況稱為無(wú)窮間機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第15頁(yè)/共43頁(yè)例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處處沒(méi)沒(méi)有有定定義義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第16頁(yè)/共43頁(yè).sin)(的間斷點(diǎn)的類型的

12、間斷點(diǎn)的類型討論函數(shù)討論函數(shù)xxxf 例例8 8注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第17頁(yè)/共43頁(yè)例例9 9.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

13、 結(jié)束結(jié)束 第18頁(yè)/共43頁(yè) , 0, 1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷, ,且都是第二類間且都是第二類間斷點(diǎn)斷點(diǎn). . ,)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在 x=0 處連續(xù)處連續(xù), , 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第19頁(yè)/共43頁(yè)o1x2x3xyx xfy , 1, 1)(是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxf在定義域在定義域 R R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處

14、都間斷, , 但其絕對(duì)值處但其絕對(duì)值處處連續(xù)處連續(xù). .判斷下列間斷點(diǎn)類型判斷下列間斷點(diǎn)類型: :機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第20頁(yè)/共43頁(yè)三、四則運(yùn)算的連續(xù)性三、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第21頁(yè)/共43頁(yè))(),

15、(min)(xgxfx |)()(|)()(21xgxfxgxf 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 連續(xù)。連續(xù)。在在知，知，由定理由定理0)(),(1xxx 第22頁(yè)/共43頁(yè)四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcy

16、xy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .第23頁(yè)/共43頁(yè)定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)若若證證,)(連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于 xx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 .)(成立成立恒有恒有 auax第24頁(yè)/共43頁(yè)將上兩步合起來(lái)將上兩步合起來(lái): :,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(afxfa

17、fuf .成立成立 )()(lim0afxfxx ).(lim0 xfxx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 意義意義1.1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換; ;.)(. 2的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu 第25頁(yè)/共43頁(yè).)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4 4是定理是定理3 3的特殊情況的特殊情況. .例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連

18、續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第26頁(yè)/共43頁(yè) 1,41,)(xxxxx 例例11.11.設(shè)設(shè),1,21,)(2 xxxxxf解解: :討論復(fù)合函數(shù)討論復(fù)合函數(shù))(xf 的連續(xù)性的連續(xù)性 . . )(xf 1,2 xx1,2 xx故此時(shí)連續(xù)故此時(shí)連續(xù); ; 而而)(lim1xfx 21lim xx 1 )(lim1xfx )2(lim1xx 3 故故 )(xf x = 1為第一類間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn) . .1),( xxf1,)4( xxf,)(1為初等函數(shù)為初等函數(shù)時(shí)時(shí)xfx 在點(diǎn)在點(diǎn) x =

19、 1 不連續(xù)不連續(xù) , , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第27頁(yè)/共43頁(yè)五、初等函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的. .)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第28頁(yè)/共43頁(yè)定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(

20、內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,的不同值的不同值討論討論 ( (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) ) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連 續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第29頁(yè)/共43頁(yè)1.1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), , 在其在其 定義域內(nèi)不一定連續(xù)定義域內(nèi)不一定連續(xù); ;例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義. .,)1(32 xxy,

21、1, 0: xxD及及在在0 0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義. .), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意2. 2. 初等函數(shù)求極限的方法：初等函數(shù)求極限的方法：代入法代入法. .)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第30頁(yè)/共43頁(yè)例例1212. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例1313.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回

22、返回 結(jié)束結(jié)束 第31頁(yè)/共43頁(yè))(lim0 xfx xxx11lim0 )11(lim0 xxxx)0(21f 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(lim0 xfx xxe10lim 第32頁(yè)/共43頁(yè)解解 : 令令tx 1tx 1xxx2tan)1(lim1 則則)1(2tanlim0ttt ttt2cotlim0 )22tan2(lim0 ttt 2 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第33頁(yè)/共43頁(yè)六、六、小結(jié)小結(jié)1.1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件; ;3.3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類

23、與判別; ;2.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù); ;第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn): :可去型可去型, ,跳躍型跳躍型. .第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn): :無(wú)窮型無(wú)窮型, ,振蕩型振蕩型. .間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)( (見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖) )連續(xù)性連續(xù)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第34頁(yè)/共43頁(yè)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型oyx0 xoyx0 xoyx0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第35頁(yè)/共43頁(yè)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性. .復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性. .初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性