整理常微分方程填空題

1、精品文檔精品文檔常微分方程習(xí)題集(1)(一)、填空題1、當時，方程M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0稱為恰當方程，或稱全微分方程。2、 形如勺方程，稱為齊次方程。3、 求dy = f(x,y)滿足-(xo) = yo的解等價于求積分方程dx勺連續(xù)解。4、 設(shè)y J：(x)是一階非齊次線性方程于區(qū)間I上的任一解，“X)是 其對應(yīng)齊線性方程于區(qū)間I上的一個非零解。則一階非齊次線性方程 的全部解的共同表達式為：。5、若Xi(t),X2(t),. Xn(t)為n階齊線性方程的n個解，則它們線性無關(guān)的充要條件是。6、方程組= A(t)X的稱之為 巴=A(t)X的dt dt一個基本解組

2、。7、若:-是常系數(shù)線性方程組dXdt二AX的基解矩陣，則exp At8方程稱為一階線性方程，它有積分因子,其通解為。9、 設(shè) 1(x), (x)是與二階線性方程： V a/x)y a2(x)y 二 f(x), 對應(yīng)的齊次線性方程的基本解組，則的二階線性方程全部解的共同表 達式為：10、 形如的方程稱為歐 拉方程。11、若(t)和都是= A(t)X的基解矩陣，貝:(t)和？(t)具有dt的關(guān)系：12、若向量函數(shù)g(t;y)在域R上 ,則方程組魚=g(t; y), ：:(t0；t。, y°) =y。的解：存在且惟一。dt13、 方程y(n) = f(x,y,y / °心)經(jīng)過

3、變換, 可化為含有n個未知函數(shù)的一階微分方程組。14、方程y'4y=0的基本解組是15、向量函數(shù)組Y1(x),Y2(x)，Y n(x)在區(qū)間I上線性相關(guān)的 條件是在區(qū)間I上它們的朗斯基行列式W(x)=0 .16、 若叮-(t)是常系數(shù)線性方程組= A(t)X的基解矩陣，則該方程滿足初始條件屮(t0Hn的解屮(t)=17、 n階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個維線性空間.18、 方程稱為黎卡提方程。19、如果f(x,y)在R上：則方程d=f(x, y)存在唯一的解y=®(x)定義于區(qū)間x xo蘭h上，連續(xù)且滿足 dx初始條件(Xo)=yo，其中h二 , M=。20、若x (t)

4、(i =1, 2,n)是n階齊線性方程的n個解，W(t)為其伏朗斯基行列式，則W(t)滿足一階線性方程。21、方程M(x, y)dx N(x,y)dy =0有只含x的積分因子的充要條件是。其積分因子為：；有只含y的積分因子的充要條件是 ,其積分因子為：。_22、 方程 稱為黎卡提方程，若它有一個特解 (x),則經(jīng)過變換 ,可化為伯努利方程。23、若 D 二仝,而 L(D) =Dn dD" anD a. ： (X)、且 L(' ) = 0dx時，貝卩：一1e必=。L(D) 24、 若:(t)是n階非齊線形方程的一個特解，'- i(t) ( i =1,2/ ,n ) 是其

5、對應(yīng)齊線性方程的一個基本解組，則非齊線形方程的所有解可表 為。25、如果A(t)是nxn矩陣，F(xiàn)(t)是n維列向量，則它們在a_t_b上 時，方程組dX = A(t)X F(t)滿足初始條件dtx(t。)=的解在atb上存在唯一。26、 若 D=,而 L(D) =Dn az a-Q - an , fk(x)是關(guān)于 x 的dx1k次多項式.則當L(0) =an =0時,有 fjx)二Qk(D)fk(x)，其中Qk(D)L(D)是D的k次多項式，它是將L(D)按D的升幕排列后用通常的多項式除 法去除1,在第 步上得到的商式。27、 在用皮卡逐步逼近法求方程組 dX = A(t)X F(t) , X

6、(t°)=的dt近似解時，則匚”28、 若y=yi(x), y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個不同解，則用這兩個解可把其通解表示為.29、線性齊次微分方程組 巴二A(x)Y的一個基本解組的個數(shù)不能dx多于個。30、 二階線性齊次微分方程的兩個解yl(x), y =2(x)成為其基本解組的充要條件是.31、 方程 = x2 tany 的所有常數(shù)解是 .dx32、 方程xsin ydx ycosxdy二0所有常數(shù)解是 .33、 線性齊次微分方程組的解組 Yi(x), Y2(x)，Yn(x)為基本解組 的條件是它們的朗斯基行列式 W(x) = 0 .34、微分方程(理)“ +包- y

7、2 +x2 = 0的階數(shù)是dx dx35、對于任意的(x,yj ,(x,y2)= R (R為某一矩形區(qū)域)，若存在常數(shù)N(N >0)使 ，則稱f(x,y)在R上關(guān)于y滿足李普希茲條件.36、 函數(shù)組Je,e2t的伏朗斯基行列式為 。37、 若矩陣A具有n個線性無關(guān)的特征向量v1,v2/ ,vn，它們對應(yīng) 的特征值分別為二匕,S ,那么矩陣叮建)二.線性方程組 咚二AX的一個基解矩陣。dt38、設(shè)門是方程組dX = A(t)X的基本解矩陣，:(t)為dtddp = A(t)X F(t)的某一解，則它的任一解都可表為 39、 方程稱為變量分離方程，它有積分因 子40、若匚:(t)是dX =A

8、(t)X的基解矩陣，則向量函數(shù)dt(t) = 是二A(t)X F(t)的滿足初始條件0)=0的解；dt向量函數(shù)：(t)=是 = A(t)X F(t)的dt滿足初始條件(0)=的解。41、方程(主)3 =卜瞑是階方程。ds V ds42、 方程x，xx=x=0是階方程。丘/ c43、函數(shù).： 滿足的一階方程是 。C3-xay =44、 函數(shù).滿足的一階方程是。45、 方程ydx二xdy的通解為。46、 方程巴P(x)y=O的通解為。dx47、 齊次方程史二g(y)經(jīng)過變換可化為變量分離dx x 方程。48、 設(shè)(x)是一階線性齊次方程 3 p(x)y =0于區(qū)間I上的解。若dx存在某點x0 I，

9、有(x0)=o，貝y。49、 方程 xdy - ydx 0的通解為： 。50、 方程xdy ； ydx = 0的通解為： 。x51、方程*嘰0的通解為：。y52、方程-xdy ydx.0的通解為： 。xy53、方程-xdy ydx =0的通解為： 。x + y54、方程-='心-的積分因子為：。55、 方程 屯二的積分因子為： 。dx56、方程. 的左端可以因式分解為：，從而得到兩個方程與，原方程的解有和。57、 方程稱為克萊洛方程，它的通解為：。58、 設(shè)x I , Y(x)，Yn(x)是區(qū)間I上(LH)的n個解，則 Yi(x)，,Yn(x)在區(qū)間I上線性相關(guān)的條件是向量組 Y1(x

10、。), ,Yn(x。)線性相關(guān).59、設(shè)叮-(X)是(LH)的任一基本解矩陣，則(LH)的標準基本解矩陣是.60、非齊線性次方程組(NH)的任意兩個解之差都是的解.（一）填空題參考答案M: Nxy1. =一,U(x,y) = X M (s, y)ds+ f N(x°,t)dt ,或:y；：xXoyoxyU (x, y) M (s, yo)ds N (x, t) dt ；%y°2. 屯二 f(x)g(x) ;3. y(x)二 y。： f(t,y(t)dt ；4. y=C(x) '- (x);5.它們的朗斯基行列式 W(x)不為零；6. n個線性無關(guān)解； 7.exo(

11、Ax)二:(x) ” 1 (0),8.9.dyp (x)dx_ p(x)dxp(x)dx二C1(x) C2 2(x)P(x)y 二 f (x)， J 二e ， y =e (C 亠 i f(x)e dx), dx10. xnD ny a1xn JDn Ay亠 anJxDy any = 0 ；11. 存在非奇異矩陣A,使得:：1（x）-：2（x）A,x I ；12. 連續(xù)且關(guān)于y滿足李氏條件；13. yJy-y Jy2,，yWyn；14. cosx,sin x ； 15.充分；16. ：（t）：（t0）； 17. n ；18. y = p(x)y2 q(x)y r(x)；19. 連續(xù)且關(guān)于y滿足李

12、氏條件，h° = min(a,厶，M = max f (x, y)；M(x,y屆 31 8M dN.j20. = -a1(t)W(t)；21.'只與 x 有關(guān)，dt嚴卻） 皿創(chuàng)舐只與y有關(guān),22.q(x)y r(x)，y = (x) z ；23.exeL(D)L()24. C) C) ：(t) ； 25.連續(xù)；26. k 1 ；(C 1)y1(x)-Cy2(x)；29. n27. k(x)二丫。：(A(t) 2(t) F(t)dt ； 28. 030.線性無關(guān)；31. y 二k二，k=0, 1, 2,；32. y=k：，x=k,k=0,_1,_2,； 33.充要；34.235.37.40.43.47.51.56.57.f (x, yj f (x,y2)蘭 N 力y2;36.t et et e_Le_-e_Le_e%1,e%2,，e%n ； 38.(t)C+®(t) ； 39.2te2e2t4e2t=-6e2t ；鬟 f(x)g(y),A(t)：r(s)F(s)ds，門(t)"(t。)tA(t)"(s)F(s)ds . 41.二;dy 3 2xdx 5y 二 ux;xc ； y1