極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式

1、第六節(jié) 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限 第一章第一章 （existence criteria for limits & two important limits）二、兩個(gè)重要極限二、兩個(gè)重要極限一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則三、內(nèi)容小結(jié)三、內(nèi)容小結(jié)1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則(兩邊夾法則兩邊夾法則;三明治法則三明治法則)準(zhǔn)則準(zhǔn)則iazynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件由條件 (2) ,0,1n當(dāng)當(dāng)1nn 時(shí)時(shí),ayn當(dāng)當(dāng)2nn 時(shí)時(shí),azn令令,max21nnn 則當(dāng)則當(dāng)nn 時(shí)時(shí), 有有,ayan,azan由條件由條件

2、(1),nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn,2n我們可將我們可將準(zhǔn)則準(zhǔn)則i推廣到函數(shù)的情形：推廣到函數(shù)的情形：準(zhǔn)則準(zhǔn)則i,),(0時(shí)當(dāng)xxaxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfaxfxx)(lim0(0)xx()x ()x ()x 且且注意注意:準(zhǔn)則準(zhǔn)則i和和準(zhǔn)則準(zhǔn)則i統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則.,的極限是易求的的極限是易求的.與與且且與與關(guān)鍵關(guān)鍵:構(gòu)造出構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限的利用夾逼準(zhǔn)則求極限的nynznynz例例1222111lim().12nnnnn求求解：解：2222111nnnnnnnn+l因?yàn)閚nnnnn111limlim2

3、又又, 1 由由夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則得得. 1)12111(lim222 nnnnn解解: 運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則 .nnnnn2221211且且nnnn22limnn11lim1nnnn22212111由由思考題：思考題：？1211lim222nnnnnn2nnnl i mn故2nnnnp+夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在，夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在， 而且給出了求極限的而且給出了求極限的方法方法 下面利用它證明另一個(gè)重要的下面利用它證明另一個(gè)重要的1sincosxxx圓扇形圓扇形aob的面積的面積0sinlim1xxx證證: 當(dāng)當(dāng)即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxx

4、x),0(2x時(shí)，時(shí)，)0(2 x0l i m cos1xx=由0si nl i m1xxx=即得顯然有顯然有aob 的面積的面積aod的面積的面積dcbax1oxxxcos1sin1故有故有極限公式：極限公式： 當(dāng)20 x時(shí)xxcos1cos102sin22x222x22x0l i m (1cos )0 xx-=于是注.tanlim0 xxx例例2 求求解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 則則,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1l

5、im0tttsin1注注: 利用變量代換，可得更一般的形式利用變量代換，可得更一般的形式( )0sinli)m)1(xxx0sin3limsin5xxx例例4 求求解解:0sin3limsin5xxx03sin35lim53sin5xxxxx003sin35limlim53sin5xxxxxx35例例5 求求201 coslim.xxx解解:2202sin2limxxx原原式式220sin12lim22xxx20sin12lim22xxx2112122. 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列數(shù)列:nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少準(zhǔn)則準(zhǔn)則i i 單調(diào)單調(diào)有

6、界有界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限單調(diào)單調(diào)上升有上界上升有上界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限單調(diào)單調(diào)下降有下界下降有下界數(shù)列必有極限數(shù)列必有極限說說 明明:(1) 在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂有界，但有界的數(shù)列不一定收斂(2) 利用準(zhǔn)則利用準(zhǔn)則i i來判定數(shù)列收斂必須來判定數(shù)列收斂必須同時(shí)同時(shí)滿足滿足 數(shù)列數(shù)列單調(diào)單調(diào)和和有界有界這兩個(gè)條件這兩個(gè)條件 (3) 準(zhǔn)則準(zhǔn)則 i i只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法求極限的方法( 1)nnx nxn例如，例如，數(shù)列數(shù)列，雖然有界但不單調(diào)

7、；，雖然有界但不單調(diào)；，雖然是單調(diào)的，但其無界，雖然是單調(diào)的，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散易知，這兩數(shù)列均發(fā)散數(shù)列數(shù)列(4) 對于對于準(zhǔn)則準(zhǔn)則i i ，函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程0(,xx0,xx,x ,x )x 也有類似的也有類似的準(zhǔn)則，準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則形式上略有不同只是準(zhǔn)則形式上略有不同. 例如，例如，準(zhǔn)則準(zhǔn)則i i 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f x0 x( )f x0 x0()f x在點(diǎn)在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)在在的左極限的左極限必存在必存在并且有界，則并且有界，則作為準(zhǔn)則作為準(zhǔn)則i i 的應(yīng)用，我們討論的應(yīng)用，我們討論一個(gè)重要極限：一個(gè)重要

8、極限：1lim 1?nnn11nnxn11nnxn1111111111nnnnn 首先，證首先，證是單調(diào)的是單調(diào)的1111111111nnnnn 11111nnxn11nnxn所以，數(shù)列所以，數(shù)列是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的 11nnxn12nxx11nnyn111nnzn111nnzn111111111111nnnnnnynnnnynz顯然，顯然，單調(diào)性的證明可證得數(shù)列單調(diào)性的證明可證得數(shù)列是單調(diào)增加的設(shè)數(shù)列是單調(diào)增加的設(shè)數(shù)列由于數(shù)列由于數(shù)列是單調(diào)增加的，是單調(diào)增加的， 所以數(shù)列所以數(shù)列是單調(diào)減少的是單調(diào)減少的.又又11nnxn其次，證其次，證有界有界類似于類似于，則，則1111114nnnnx

9、zznn24nx則則. 綜上，綜上，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則根據(jù)極限存在準(zhǔn)則i i 可知，數(shù)列是可知，數(shù)列是收斂的收斂的.e1lim 1ennn通常用字母通常用字母來表示這個(gè)極限，即來表示這個(gè)極限，即xy 11xxe1lim 1exxx也可以證明，當(dāng)也可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨于取實(shí)數(shù)而趨于或或時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于的極限都存在且都等于 ，即，即10( )lim 1( )exxx（(e2.71828)利用變量代換，可得更一般的形式利用變量代換，可得更一般的形式例例621lim 1.xxx求解解:21lim1xxx( 2)1lim 1xxx 原式2e .例例7 求求131300lim 1lim

10、 133xxxxxx解解:131300lim 1lim 133xxxxxx1330lim 13xxx13e內(nèi)容小結(jié)1. 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .2. 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達(dá)式思考與練習(xí)1. 填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx14.lim(1)_.nnn0101e5lim5xxxx解：解： 原式原式 =2. 求求 510lim5xxxx10lim 15xxx05

11、510110lim 15xxx5101051010lim1155xxxx0510110lim 15xxx510lim 15xx10e01lim1xxx 3. 證明證明 證明：證明：xr 1xxx 0 x 1111.xxx 對任一對任一，有，有，則當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有于是于是, ,（1）當(dāng)）當(dāng)0 x 時(shí)，時(shí)，111(1),xxxxxx 01lim1xxx 0 x 111(1),xxxxxx 01lim1.xxx 由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得（2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，同樣有同樣有故極限存在，故極限存在，4. 設(shè)設(shè) )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且且求求.limnnx解：解：設(shè)設(shè)axnnlim則由遞推公式有則由遞推公式有)(21aaaaaa)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1數(shù)列單調(diào)遞減有下界，數(shù)列單調(diào)遞減有下界，,01x故故axnnlim利用極限存在準(zhǔn)則利用極限存在準(zhǔn)則,0nx, ),2, 1(0iai證證: 顯然顯然,1nnxx證明下述