數(shù)學(xué)分析第十章無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、 第十章第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)1 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念1.無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念2.無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 給定級(jí)數(shù)給定級(jí)數(shù) , 將前將前 項(xiàng)之和項(xiàng)之和稱(chēng)為稱(chēng)為 的前的前 項(xiàng)部分和項(xiàng)部分和, 或簡(jiǎn)稱(chēng)部分和或簡(jiǎn)稱(chēng)部分和.nna 1 1nnna 1 1nnnnkksaaaa 12121 1定義定義. 若若 的部分和序列的部分和序列 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),有極限有極限, 則稱(chēng)級(jí)數(shù)則稱(chēng)級(jí)數(shù) 收斂收斂, 記記稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和; 否則稱(chēng)否則稱(chēng) 發(fā)散發(fā)散.nna 1 1nsn nna 1 1nna 1 1limnnnnsas 1 13.收斂的必要條件收斂的必要條件

2、4.cauchy收斂原理收斂原理定理定理1.2. 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 對(duì)任意的自然數(shù)對(duì)任意的自然數(shù) , .nna 1 1,n 0 0nn pnpnnnpssaa 1 1例例3. 證明證明: 發(fā)散發(fā)散.nn 1 11 11 11 11 12 23 35.收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理定理1.3. 若若 收斂收斂, 則則 收斂收斂.nna 1 1nna 1 1注注. 反之不成立反之不成立.定理定理1.4. 若若 和和 都收斂都收斂, 和分別為和分別為 , 則對(duì)任意實(shí)數(shù)則對(duì)任意實(shí)數(shù) , 也也收斂收斂, 和為和為 .nna 1 1nnb 1 1,a b, ()nnnab

3、 1 1ab 思考思考. 若若 收斂收斂, 發(fā)散發(fā)散, 能否推出能否推出 發(fā)散發(fā)散? 若若 發(fā)散發(fā)散, 也發(fā)散也發(fā)散, 能否推出能否推出 發(fā)散發(fā)散?nna 1 1nnb 1 1()nnnab 1 1nna 1 1nnb 1 1()nnnab 1 1定理定理1.5. 若存在若存在 , 使得使得 , 則則 與與 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.n0 0,nnabnn 0 0nna 1 1nnb 1 1注注. 改動(dòng)一個(gè)級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)值改動(dòng)一個(gè)級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)值, 不改變級(jí)數(shù)的不改變級(jí)數(shù)的斂散性斂散性.定理定理1.6. 若若 收斂收斂, 則在保持項(xiàng)的次序不則在保持項(xiàng)的次序不變的條件下變的條件下, 任意

4、加括號(hào)所形成的級(jí)數(shù)任意加括號(hào)所形成的級(jí)數(shù)也收斂也收斂, 且其和不變且其和不變.nna 1 1 iiiaaaa 1 11 12 21 11 1注注. 收斂的級(jí)數(shù)可以任意加括號(hào)收斂的級(jí)數(shù)可以任意加括號(hào), 但不能去括號(hào)但不能去括號(hào).注注. 給定給定 , 生成級(jí)數(shù)生成級(jí)數(shù) , 得到它的部分得到它的部分和序列和序列 . 給定給定 , 一定可以找到級(jí)數(shù)一定可以找到級(jí)數(shù) , 使得使得 是是 的部分和序列的部分和序列.nna 1 1nnb 1 1nnb 1 1nansntnt例例6. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) 的斂散性的斂散性.nnq 0 02 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 通項(xiàng)非負(fù)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)通項(xiàng)非負(fù)的級(jí)數(shù)稱(chēng)為正

5、項(xiàng)級(jí)數(shù). 設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), . 單調(diào)上升單調(diào)上升. 要么要么 有上界有上界, 要么要么 .nsnna 1 1nnkksa 1 1nsns 1.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件2.比較判別法比較判別法定理定理2.1. 設(shè)設(shè) 和和 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 ,使得使得 .則則(1) 如果如果 收斂收斂, 那么那么 收斂收斂;(2) 如果如果 發(fā)散發(fā)散, 那么那么 發(fā)散發(fā)散.nna 1 1nnb 1 1n 0 0,nnabnn 0 0nnb 1 1nna 1 1nna 1 1nnb 1 1例例2. 證明證明: 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散; 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂收斂.p 1 1p

6、nn 1 11 1pnn 1 11 1p 1 1思考題思考題. 證明證明: 設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 單調(diào)下降單調(diào)下降則則 收斂的充要條件是收斂的充要條件是:收斂收斂.nna 1 1nanna 1 1kkkaaaaa 124812482 20 022482248例例3. 討論下列級(jí)數(shù)的收斂性討論下列級(jí)數(shù)的收斂性(1) lnnnn 1 1nnn 2 21 14 42 2(2)定理定理2.2. (比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式) 設(shè)設(shè) 和和 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 , 又設(shè)又設(shè) . 則有下列結(jié)論則有下列結(jié)論(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 與與 同時(shí)收斂同時(shí)收斂或或 同時(shí)發(fā)散同時(shí)發(fā)散;

7、(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 如果如果 收斂收斂, 那么那么 收斂收斂;(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 如果如果 發(fā)散發(fā)散, 那么那么 發(fā)散發(fā)散.nna 1 1nnb 1 1nnb 1 1nna 1 1nna 1 1nnb 1 1nb 0 0limnnnalb l 0 0l 0 0l nna 1 1nnb 1 1例例4. 討論討論 的收斂性的收斂性.cosnnn 1 11 11 13.cauchy判別法判別法定理定理2.3. 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).(1) 若存在自然數(shù)若存在自然數(shù) 及及 , 使得使得 只要只要 ， 則則 收斂收斂;(2) 若存在自然數(shù)若存在自然數(shù) , 使得使得 只要只要 , 則則 發(fā)散發(fā)散.n

8、na 1 1nq 1 1nnaq nn nna 1 1nnna 1 1nna 1 1nn 定理定理2.4.(cauchy判別法的極限形式判別法的極限形式) 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 . 則則(1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂收斂;(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散;(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 不能由此法判別收斂性不能由此法判別收斂性.nna 1 1nna 1 1nna 1 1limnnnar r 1 1r 1 1r 1 1例例7. 討論討論 的收斂性的收斂性.nnnen 1 14.dalembert判別法判別法定理定理2.5. 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 .(1)若存在自然數(shù)若存在自然數(shù) 及及 ,

9、使得使得 只要只要 ，則則 收斂收斂;(2)若存在自然數(shù)若存在自然數(shù) , 使得使得 只要只要 ,則則 發(fā)散發(fā)散.nna 1 1nq 1 1nnaqa 1 1nn nna 1 1nnna 1 1nnaa 1 11 1nn na 0 0定理定理2.6.(dalembert判別法的極限形式判別法的極限形式) 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 , 又設(shè)又設(shè) , . 則則 (1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂收斂;(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散;(3)當(dāng)當(dāng) 或或 時(shí)時(shí), 不能由此法判別收斂不能由此法判別收斂性性.nna 1 1nna 1 1nna 1 1limnnnara 1 1r 1 1r 1 1r 1 1,na

10、n0 0limnnnara 1 1r 1 1推論推論. 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 , 又設(shè)又設(shè) . 則則 (1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂收斂;(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散;(3)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 不能由此法判別收斂性不能由此法判別收斂性.nna 1 1nna 1 1nna 1 1limnnnara 1 1r 1 1r 1 1r 1 1,nan0 0例例9. 設(shè)設(shè) , 討論討論 的收斂性的收斂性.,s 0 00 0nsnn 1 1注注. cauchy判別法比判別法比dalembert判別法適用判別法適用 范圍廣范圍廣.5.raabe判別法判別法定理定理2.7. 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且

11、 , 又設(shè)又設(shè) . 則則 (1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂收斂;(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散;nna 1 1nna 1 1nna 1 1limnnnarna 1 11 1r 1 1r 1 1,nan0 0引理引理2.1. 設(shè)設(shè) , 則存在則存在 , 使得使得當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 1 1 0 0 x 0 0() .xx 1 11 15.raabe判別法判別法定理定理2.7. 設(shè)設(shè) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且 , 又設(shè)又設(shè) . 則則 (1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 收斂收斂;(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散;nna 1 1nna 1 1nna 1 1limnnnarna 1 11 1r 1 1r 1 1,nan0 0注注. 當(dāng)

12、當(dāng) 時(shí)時(shí), 不能由此法判不能由此法判別收斂性別收斂性. 例如例如limnnnarna 1 11111.lnpnnn 2 21 16.積分判別法積分判別法定理定理2.8. 設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù). 若存在若存在 上連續(xù)非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù)上連續(xù)非負(fù)單調(diào)遞減函數(shù) , 滿(mǎn)足滿(mǎn)足則則 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 有界有界.nna 1 1 ,) 1 1( )yf x ( ), ,naf nn 1 1 2 2 nna 1 1( )( )nf nf x dx 1 13 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 定理定理3.1.(leibniz判別法判別法) 若若 滿(mǎn)足滿(mǎn)足(1)(2)則則 (1) 收

13、斂收斂,(2)余和余和的符號(hào)與第一項(xiàng)的符號(hào)與第一項(xiàng) 的符號(hào)相同的符號(hào)相同, 且且na, ,;nnaan 1 10 01 1 2 2 lim,nna 0 0.nnra 1 1()nnna 1 11 11 1()()nknnkk nraa 2 21 11 11 11 11 1()nna 2 21 11 1注注. 滿(mǎn)足定理滿(mǎn)足定理3.1中條件中條件(1),(2)的級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù), 稱(chēng)為稱(chēng)為 leibniz型級(jí)數(shù)型級(jí)數(shù).2.絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂定義定義. 若若 收斂收斂, 則稱(chēng)則稱(chēng) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 若若 收斂收斂, 但但 發(fā)散發(fā)散, 則稱(chēng)則稱(chēng) 條件收斂條件收斂.nna 1 1nna 1

14、 1nna 1 1nna 1 1nna 1 13.abel判別法與判別法與dirichlet判別法判別法 設(shè)有兩組數(shù)設(shè)有兩組數(shù) 和和 .令令則有則有abel變換式變換式,m1 1,m 1 1,.mmbbb 1 11 12 21 12 21 1().mmkkkkkmmkkbb 1 11 11111注注. abel變換式也稱(chēng)作分部求和式變換式也稱(chēng)作分部求和式.引理引理3.1.(abel引理引理) 若若 單調(diào)單調(diào), 又又 的部分和式的部分和式 有界有界, 即即 , 使得使得則則mkk 1 1mkk 1 1mnnb 1 1m 0 0,nnkkbmnm 1 11 1 mkkmkm 1 11 12 2定理

15、定理3.2.(dirichlet判別法判別法) 若若(1) 單調(diào)單調(diào), 且且 ; (2) 的部分和有界的部分和有界, 即即 , 使得使得 則則 收斂收斂.nalimnna 0 0nnb 1 1m 0 0, ,nnbbbmn 1 11 1 2 2nnna b 1 1注注. leibniz判別法是判別法是dirichlet判別法的特例判別法的特例.定理定理3.3.(abel判別法判別法) 若若 (1) 單調(diào)單調(diào), 且有界且有界, 即即 , 使得使得 (2) 收斂收斂, 則則 收斂收斂.nannb 1 1m 0 0, ,namn 1 21 2 nnna b 1 1注注. abel判別法可由判別法可由

16、dirichlet判別法推出判別法推出. 例例3. 若若 單調(diào)趨于單調(diào)趨于 , 證明證明(1) , 收斂收斂.(2) , 都收斂都收斂.na0 0 xr ()xkkz 2 2sinnnanx 1 1cosnnanx 1 14.絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 給定給定 . 定義定義顯然顯然 和和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 并有并有nna 1 1nnnnaaaa 0 00000nnnnaaaa 0 00 00 0nna 1 1nna 1 1nnnaaannnaaa 注注. 若若 收斂收斂, 則要么則要么 和和 同同時(shí)收斂時(shí)收斂, 要么要么 和和 同時(shí)發(fā)散同時(shí)發(fā)散

17、.nna 1 1nna 1 1nna 1 1nna 1 1nna 1 1命題命題3.1.(1) 絕對(duì)收斂的充要條件是絕對(duì)收斂的充要條件是: 和和 同時(shí)收斂同時(shí)收斂, (2) 若若 條件收斂條件收斂, 則則 和和 同時(shí)同時(shí)發(fā)散發(fā)散.nna 1 1nna 1 1nna 1 1nna 1 1nna 1 1nna 1 1定義定義. 給定級(jí)數(shù)給定級(jí)數(shù) . 設(shè)設(shè) 是一一對(duì)是一一對(duì)應(yīng)應(yīng), 即即 既是單射又是滿(mǎn)射既是單射又是滿(mǎn)射. 令令 , 并并令令 稱(chēng)為稱(chēng)為 的一個(gè)重排級(jí)數(shù)或更序級(jí)的一個(gè)重排級(jí)數(shù)或更序級(jí)數(shù)數(shù).:fnnfnna 1 1( )nkf n , ,nnkaan 1 1 2 2 nna 1 1nna

18、1 1例例5. 給定給定 , 討論它的一個(gè)重排級(jí)數(shù)討論它的一個(gè)重排級(jí)數(shù)()nnn 1 11 11 1nnn 1 11 11 11 11 11 11 11 11 12 24 43 36 68 82 21 14 42 24 4定理定理3.4. 若若 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, 則它的任何一個(gè)則它的任何一個(gè)重排級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂重排級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂, 且重排不改變?cè)?jí)數(shù)且重排不改變?cè)?jí)數(shù)的和的和.nna 1 1定理定理3.5.(riemann定理定理) 若若 條件收斂條件收斂, 則則 , 都存在都存在 的一個(gè)重排的一個(gè)重排 , 使得使得 收斂收斂, 且且nna 1 1nna 1 1nna 1 1nna 1 1.n

19、naa 1 1ar 5.級(jí)數(shù)的乘法級(jí)數(shù)的乘法(1) 正方形法正方形法(2) 對(duì)角線(xiàn)法對(duì)角線(xiàn)法(1) 正方形法正方形法nnnnnnnnbabababababababababababababababa321333231323222121312111a ba ba ba b 1 1 1 11 1 2 22 22 22 2 1 1(2) 對(duì)角線(xiàn)法對(duì)角線(xiàn)法nnnnnnnnbabababababababababababababababa321333231323222121312111a ba ba ba ba ba b 1 1 1 11 1 2 22 2 1 11 1 3 32 22 23 3 1 1定理

20、定理3.6. 若若 與與 都絕對(duì)收斂都絕對(duì)收斂, , ,則由則由 組成的級(jí)數(shù)組成的級(jí)數(shù) , 以任意方式排以任意方式排列都絕對(duì)收斂列都絕對(duì)收斂, 且和為且和為 .nna 1 1nnb 1 1ija bnnsa 1 1nntb 1 1,iji ja b 1 1s t 注注. 對(duì)按對(duì)角線(xiàn)法排列所得級(jí)數(shù)對(duì)按對(duì)角線(xiàn)法排列所得級(jí)數(shù), 適當(dāng)加上括適當(dāng)加上括號(hào)號(hào), 得到級(jí)數(shù)得到級(jí)數(shù)其中其中 , 稱(chēng)稱(chēng) 為為 和和 的的cauchy乘積乘積.()()a ba ba ba ba ba b 1 1 1 11 1 2 22 2 1 11 1 3 32 22 23 3 1 1()nnna ba ba b 1 12 21

21、11 1nnnnca ba ba b 1 12 21 11 1nnc 1 1nna 1 1nnb 1 1例例7. 求求 nnnqq 1 11 11 14 無(wú)窮乘積無(wú)窮乘積1.概念概念 給定序列給定序列 ,稱(chēng)作無(wú)窮乘積稱(chēng)作無(wú)窮乘積. 它的前它的前 次之積次之積稱(chēng)作部分乘積稱(chēng)作部分乘積.npnnnpp pp 1 12 21 1nnnknkppp pp 12121 1定義定義. 設(shè)設(shè) 是是 的部分乘積的部分乘積. 若若 有極有極限限, 且極限值且極限值 , 則稱(chēng)則稱(chēng) 收斂收斂. 記記若若 無(wú)極限無(wú)極限, 或或 , 則稱(chēng)則稱(chēng) 發(fā)散發(fā)散.npnnp 1 1npp 0 0nnp 1 1nnpp 1 1np()npn 0 0nnp 1 1注注. 為便于無(wú)窮乘積與對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)的同一性為便于無(wú)窮乘積與對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)的同一性, 將將 也稱(chēng)作發(fā)散也稱(chēng)作發(fā)散.p 0 0例例3. 討論討論 收斂性收斂性.cosnn 1 12 22.無(wú)窮乘積的性質(zhì)無(wú)窮乘積的性質(zhì)無(wú)窮乘積具有下列性質(zhì)無(wú)窮乘積具有下列性質(zhì)(1) 若若 收斂收斂, 則則 .(2) 若若 收斂收斂, 則余積則余積 .nnp 1 1limnnp 1 1nnp 1 1()mnn mpm 1 11 1(3) 若若 和和 收斂收斂, 則則 和和都收