空間角的計(jì)算2課件

1、空間角的計(jì)算 (2)1空間角的計(jì)算 (2)2h.gbb1aa1引例：引例：正方形abb1a1邊長(zhǎng)為4，a1h= a1b1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)ah與be1所成角的余弦值。1414e1幾何法：作幾何法：作證證求。求。解析：解析：設(shè)設(shè)g是是ab的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接gh,易證易證ghbe1 ,，所以，所以ahg就是直線(xiàn)就是直線(xiàn)af與與be1所成的角。所成的角。 在三角形在三角形ahg中，由余弦定理得中，由余弦定理得222cos=21717415172 1717ahghagahgahgh可依次求得可依次求得ah=gh= ,ag=217所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)ah與與be1所成角的余弦值所成角的余

2、弦值1517151715172534空間角的計(jì)算 (2)3hbb1aa1引例：引例：正方形abb1a1邊長(zhǎng)為4，a1h= a1b1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)ah與be1所成角的余弦值。1414e1綜合法：作綜合法：作證證求。求。解析：解析：延長(zhǎng)延長(zhǎng)ah,be1 交于點(diǎn)交于點(diǎn)g, 所以所以agb就是直線(xiàn)就是直線(xiàn)af與與be1所成的角。所成的角。 在三角形在三角形he1g中，由余弦定理得中，由余弦定理得所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)ah與與be1所成角的余弦值所成角的余弦值151715171517g可依次求得可依次求得e1g=gh=17222111cos =217 17415172 1717geghheg

3、egh1534空間角的計(jì)算 (2)4引例：引例：正方形abb1a1邊長(zhǎng)為4，a1h= a1b1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)ah與be1所成角的余弦值。1414h.gbb1ae1所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)ah與與be1所成角的余弦值所成角的余弦值151715171517(4,4)a1(0,4)(4,0)解析：直線(xiàn)解析：直線(xiàn)ah與與be所成角為所成角為 ,1=ha e b 則以以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。1111111(1,4),(3,4)( 1, 4),(1, 4)=171515cos,17hehae bhae bha e bha e bha e bha

4、 e b 由1524空間角的計(jì)算 (2)5引例：引例：正方形abb1a1邊長(zhǎng)為4，a1h= a1b1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)ah與be1所成角的余弦值。1414h.gbb1aa1e111111112211111aba = b =4ab1b-a 41b-a4=1711(b-a) (b-a)15441cos,aaabhahaa ae be bb bhae bha e bha e bha e bha e b 解：設(shè)，則，因?yàn)樗杂?17可得直線(xiàn)可得直線(xiàn)ah與與be1所成角的余弦值所成角的余弦值1517151715171523空間角的計(jì)算 (2)6例例1：在：在正方體abcd-a1b1c1d1

5、中，d1f1= d1c 1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)df1與be1所成角的余弦值。hbb1aa1e11414f1空間角的計(jì)算 (2)7h.gbb1aa1e1f114解：設(shè)g是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)h在a1b1,a1h= a1b1，連接ah,gh,則ahdf1，ghbe.所以ahg就是異面直線(xiàn)df1與be1所成的角.綜合法（幾何法）：作綜合法（幾何法）：作證證求。求。 不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為4,由余弦定理得222cos=217 17415172 1717ahghagahgahgh所以直線(xiàn)所以直線(xiàn)ah與與be1所成角的余弦值所成角的余弦值15171414例例1：在：在正方體abcd-a1b1c1d1中

6、，d1f1= d1c 1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)df1與be1所成角的余弦值。217a ga h g h，234空間角的計(jì)算 (2)8例例1：在：在正方體abcd-a1b1c1d1中，d1f1= d1c 1, b1e1= a1b1，求直線(xiàn)df1與be1所成角的余弦值。f114141111111111111222111211114aba = bab4ab4ab4a-b17a=15acos=17dfb eb edf b e 可得直線(xiàn)df1與be1所成角的余弦值151715171517134空間角的計(jì)算 (2)9可得直線(xiàn)df1與be1所成角的余弦值15171517151714da,dc,dd

7、 xyz 解：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 ，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-1111122111111111111111(4 3 4)(014),(0,1,4)(0, 1,4)17=1515cos=17fdfb edfb edfb edfb edf b edf b e 則各點(diǎn)的坐標(biāo)為d(0，0，0),b(4，4，0)e， ， ， 可得，所以，由f1h.gbb1aa1e1xyz(4,0,4)(0,0,4)(0,4,4)(4,4,4)(4,0,0)(0,4,0)(4,4,0)124空間角的計(jì)算 (2)10異面直線(xiàn)所成角的范圍：異面直線(xiàn)所成角的范圍： 0,2abcd1d結(jié)論：結(jié)論：cos|c

8、os,| a b歸納總結(jié)、線(xiàn)線(xiàn)角：歸納總結(jié)、線(xiàn)線(xiàn)角： ab，ab，設(shè)直線(xiàn)的方向向量為 ，的方向向量為caabbdaabb空間角的計(jì)算 (2)1122sabcdabcdsaabcdsa在四棱錐中，底面四邊形是邊長(zhǎng)為 的正方形，底面，點(diǎn)e,f分別為sc,sd中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)ae與cf所成角的余弦值。sbacfedxyz變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1：63空間角的計(jì)算 (2)12能力提升：如圖，在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，adaa11，ab2，點(diǎn)e是棱ab上的動(dòng)點(diǎn).若異面直線(xiàn)ad1與ec所成角為60，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)e的位置.空間角的計(jì)算 (2)13解以da所在直線(xiàn)為x軸，以dc所在直線(xiàn)為y軸，以dd1所

9、在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)e(1，t,0)(0t2)，所以t1（t=3舍），所以點(diǎn)e的位置是ab的中點(diǎn).221112122,1(2)45=111cos60 =224543=0d acetttd a ced a ced a cetttt 。所以所以空間角的計(jì)算 (2)14如何用向量來(lái)求直線(xiàn)與平面所成角如何用向量來(lái)求直線(xiàn)與平面所成角? ?思考思考2 2答：答：直線(xiàn)與平面所成角直線(xiàn)與平面所成角可以可以轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“直線(xiàn)的方向向量直線(xiàn)的方向向量”與與“平面的法向量平面的法向量”的夾角求解的夾角求解. 空間角的計(jì)算 (2)15如何用向量來(lái)求直線(xiàn)與平面所成角如何用向量來(lái)求直線(xiàn)與平面所成

10、角? ?思考思考2 2答：答：直線(xiàn)與平面所成角直線(xiàn)與平面所成角可以可以轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“直線(xiàn)的方向向量直線(xiàn)的方向向量”與與“平面的法向量平面的法向量”的夾角求解的夾角求解.=sin = cos2如圖，空間角的計(jì)算 (2)16例例2 如圖如圖,棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為4的正方體的正方體abcd-a1b1c1d1中中, f為邊為邊bc的中的中點(diǎn)點(diǎn), 且且d1e1= d1c1求求直線(xiàn)直線(xiàn)e1f與平面與平面d1ac所成角的所成角的正弦值正弦值. (4,4,0)(4,4,4)(4,0,4)(4,0,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,4,0)(4,2,4)abb1a1e1f14空間角的計(jì)算 (2)17(4,4,0)(

11、4,4,4)(4,0,4)(4,0,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,4,0)(4,2,4)abb1a1e1f111da,dc,dd xyzd(0 0 0),a(4 0 0),c(0 4 0)d (0 0 4)(0,1,4),(2,4,0)ef 解：以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系d-，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為，11( 4 0 4),( 4 4 0)(2 3)adace f 所以， ， ， ，-411n=(xyz)n0440440n01y=z=1n=adxzxyacx 設(shè)平面d ac的法向量為， ，令得所以（1,1,1）11111n=1= 29= 3n87cosn,87e fe fne fe fe f n 所以，所以118787e fd ac直線(xiàn)與平面所成角的正弦值所以空間角的計(jì)算 (2)18思考：把題設(shè)中的條件思考：把題設(shè)中的條件“點(diǎn)點(diǎn)f是是bc的的中點(diǎn)中點(diǎn)”改為改為“cf= cb”,你能得到你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？想一想：(4,4,0)(4,4,4)(4,0,4)(4,0,0)(0,0,4)(0,4,4)(0,4,0)(4,2,4)abb1a1e1f1111111n=n0e fe fe fadce fadcadc （1,1,1），（1,3,-4）因?yàn)槠矫嫠?/p>