微分幾何期末復(fù)習(xí)題

1、 微分幾何復(fù)習(xí)題 一、填空題1. 向量具有固定方向，則= 。2. 非零向量滿足的充要條件是 。3. 若向量函數(shù)滿足，則具有固定 。4. 曲線的正常點是指滿足 的點.5. 曲線在任意點的切向量為 。6. 曲線在點的切向量為 。7. 曲線在點的切向量為 。 8. 設(shè)曲線在p點的切向量為，主法向量為，則過p由確定的平面是曲線在p點的 。9. 若是曲線的正則點，則曲線在的密切平面方程是 。10. 曲線在點的單位切向量是，則曲線在點的法平面方程是 。11. 一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率 。 12. 曲線在t = 1點處有，則曲線在 t = 1對應(yīng)的點處其撓率= 。13. 曲線x=cost，y

2、=sint, z=t在t=0處的切線方程是 。14. 曲線的主法向量的正向總是指向 。15. 空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量 。16. 曲線=t3-t2-t, t2-2t+2, 2上的點不是正常點的是t = 。17. 曲線的曲率是 。18. 曲線的撓率是 。19. 一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是 。20. 曲率為0的曲線是 , 撓率為0的曲線是 。21. 設(shè)有曲線，當(dāng)時的切線方程為 。22. 設(shè)有曲線，當(dāng)時的切線方程為 。23. 曲面上曲線的弧長，交角，曲面域的面積等都是的 的不變量。 24. 在旋轉(zhuǎn)曲面中， 是旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。25. 若點(u0, v0)為曲面的正則點，則在(u0,

3、 v0)滿足 。26. 曲面在點的法線方程是 。 27. 直紋面的參數(shù)表示總可以寫成 。28. 如果曲線族和曲線族處處不相切，則稱相應(yīng)的坐標網(wǎng)為 。29. 曲面上一族坐標曲線是測地線，另一族為它的正交軌線的坐標網(wǎng)是 。31. 已知曲面的第一類基本量為e、f、g，則兩方向du:dv與垂直的充要條件是 。32. 對曲面有,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t (t >)的弧長s = 。33. 若曲面在(0，1)點處的第二基本形式，則在(0，1)點處， 。其中為曲面的單位法向量。34. 已知曲面的第二類基本量l、m、n，則曲面上漸近曲線的微分方程是 。35. 若曲面的第一基本形式為，曲

4、面在一點的切向與u-線的夾角為,則曲面在這點沿切方向的測地曲率= 。36. 撓率 的曲線其副法向量是常向量。37. 曲線在點的主法向量是，則曲線在p點的從切平面方程是 。 38. 曲面上的曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是39. 曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為 。40. 半徑為r的球面的高斯曲率k= 。41. 一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的 恒等于零。42在可展曲面上，測地三角形的三內(nèi)角之和 。43球面上， 線是球面上的緯圓。44在曲面上圓點，其第一、第二類基本量滿足關(guān)系 。45曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是 。38曲面上的曲紋坐標網(wǎng)為正交網(wǎng)的充要條件是

5、 。46極小曲面是指 的曲面。47曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的 的最大值和最小值.48兩個曲面之間的變換是保角變換的充要條件是 。49設(shè)曲面在點p處有兩個同號的主曲率，則按高斯曲率的符號分類，此點是曲面的 。50法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率達到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.51距離單位球面球心距離為d (0<d<1)的平面與球面的交線的曲率為 ，法曲率為 。52在臍點處曲面的第一、第二類基本量滿足 , 把第二類基本量l=m=n=0的臍點稱為 。53法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率達到最大值和最小值的方向是 方向.54平面的第一基本

6、形式為 。55懸鏈面的第一類形式是 。56曲面上坐標曲線，的交角的余弦值是 。57正螺面的第一基本形式是 。58雙曲拋物面的第一基本形式是 。59正螺面的平均曲率 。60函數(shù)是主曲率的充要條件是 。61方向是主方向的充要條件是 。62根據(jù)羅德里格定理，如果方向是主方向，則 ，其中是曲面沿方向(d)的法曲率。63旋轉(zhuǎn)曲面中的極小曲面必是平面或 。64空間曲面的基本公式中的gauss公式是 , weingarten 公式是 。 65設(shè)曲面s上的曲線c在p點的曲率為k, 測地曲率為kg, 法曲率為kn,則它們之間手關(guān)系是 。66設(shè)曲面s上的曲線c在p點的曲率為k, 測地曲率為kg, 切方向上的法曲率

7、為kn, 則它們之間手關(guān)系是 。67如果曲面s上的存在直線, 則此直線的測地曲率為 。68測地線的方程為 。69簡單光滑閉曲線的gauss-bonnet公式是 。70逐段光滑簡單閉曲線的gauss-bonnet公式是 。二、單項選擇題1. 下面各量中, 不是內(nèi)蘊量的是 ( ) a. 曲面上曲線的曲率； b. 曲面上曲線的測地曲率；c. 曲面上測地三角形的內(nèi)角和； d. 曲面的高斯曲率。2. 圓柱螺線在點的切線為 ( )a； b. ；c. ； d.。3. 圓柱螺線的切線與軸 ( ). 平行； . 垂直；. 有固定夾角； . 有固定夾角。4. 設(shè)有平面曲線，為自然參數(shù)，是曲線的基本向量下列敘述錯誤

8、的是 ( ) . 為單位向量； . ；. ； . 。5. 直線的曲率k為 ( ). ；. ； .；.。6. 關(guān)于平面曲線的曲率,為自然參數(shù), 不正確的是 ( ). ； . ，為的旋轉(zhuǎn)角；. ； . 。7. 設(shè)曲線在p(s)點的基本向量是,則下列論述不正確的是( ). 均為單位向量； . ；. ； . 。7. 曲線在點的切線與軸關(guān)系為 ( ). 垂直；. 平行； . 成的角；. 成的角。8. 曲線在p(s)點的基本向量是，曲率k(s)，撓率，則下式 ( a )不正確。a. ； b. ； c. ； d. 。9. 過空間曲線c上點p(非逗留點)的切線和p點的鄰近點q的平面，當(dāng)q沿曲線c趨于點p時，平

9、面的極限位置稱為曲線c在p點的 ( ) a. 法平面； b. 密切平面； c. 從切平面； d. 不存在。10. 曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是 ( ) a. 直線； b. 圓； c. 圓柱螺線； d. 平面曲線。11. 平面曲線的密切平面與曲線所在平面 （ ） a. 相交； b. 平行； c. 重合； d. 垂直。12. 下面曲線中是一般螺線的是 （ ） a. 平面曲線； b. 圓柱螺線； c. 直線； d. 球面曲線。13. 曲線在p(t)點的曲率為k , 撓率為，則下列式子( )不正確。a. ； b. ； c. ； d. 。14. 對于向量函數(shù)，若，則( )a是定長向量； b. 定長向量

10、；c是定向向量； d. 是定向向量。15. 空間曲線的形狀由( )決定a 由曲率和撓率； b. 僅由曲率；c 僅由撓率； d. 由參數(shù)的選取.16. 曲率是常數(shù)的曲線 ( )a 一定是直線； b. 一定是圓；c 一定是球面上的曲線； d. 答案a,b,c都不對.17. 圓柱螺線 在任一點的切線與軸的夾角( )a為； b. ； c. 與有關(guān)； d. 與有關(guān)。18. 橢球面的參數(shù)表示為 （ ）a. ；b. ；c. ；d. 。19. 以下為單葉雙曲面的參數(shù)表示的是 （ ）a. ；b. ；c. ； d. ；20. 以下為雙葉雙曲面的參數(shù)表示的是 （ ）a. ； b. ；c. ； d. 。21. 以下為

11、橢圓拋物面的參數(shù)表示的是 （ ）a. ； b. ；c. ；d. 。22. 以下為雙曲拋物面的參數(shù)表示的是 （ ）a . ； b. ；c. ； d. 。23. 曲面在點的切平面方程為（ ）a. ； b. ；c. ； d. 。24. 球面的第一基本形式為（ ）a. ； b. ；c. ； d. 。25. 正圓柱面的第一基本形式為 （ ） a. ； b. ； c. ； d 。26. 在第一基本形式為的曲面上，方程為的曲線段的弧長為 （ ）a. ； b. ；c. ； d. 。27. 曲面的參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)的充要條件是 （ ） a. ； b. ； c. ； d. 。28. 記為第一類基本量, 則 (

12、 )a. ； b. 0； c. 1； d. 2。29. 記為christoffel符號, 則 ( )a. ；b. ；c. ； d. 。30. 曲面上直線(如果有的話)的測地曲率等于 ( )a. 0； b. 1； c. 2； d. 3。31. 當(dāng)參數(shù)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時，參數(shù)曲線u-曲線的測地曲率為 ( )a. ； b. ； c. ； d. 。32. 如果測地線同時為漸進線，則它必為 ( )a. 直線；b. 平面曲線； c. 拋物線； d. 圓柱螺線。33. 在偽球面上，任何測地三角形的內(nèi)角之和 ( )a. 等于； b. 小于； c. 大于；d. 不能確定。34. 曲面上一點處的兩個主方向之間的夾角

13、為 ( )a. ； b. ； c. ；d. 不確定。35. 設(shè)曲面的第一、二基本形式分別為 則曲面的兩個主曲率分別是 ( )a. ； b. ； c. ； d. 。36. 曲面的坐標網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是 ( )a. m = 0； b. l = n = 0； c. m = f = 0；d. f = 0。37. 等距等價的兩曲面上，對應(yīng)曲線在對應(yīng)點具有相同的 ( ) a. 曲率； b. 撓率； c. 法曲率； d. 測地曲率。38. 下面關(guān)于曲面上主方向的說法，不正確的一項是 ( ) a. 臍點處，任何方向都是主方向； b. 非臍點處，主方向垂直；c. 臍點處，無主方向； d. 非臍點處，有且僅有

14、兩個主方向。39. 在選取曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)時，曲面的兩個主曲率k1, k2為 （ ）a. ； b. ； c. ； d. 。40. 設(shè)曲面的第一、二類基本量為和，則曲面的面積為 ( ) a. ； b. ；c. ； d. 41. 下面各量中,內(nèi)蘊量的是 ( ) a. 曲面上曲線的曲率； b. 曲面上曲。線的法曲率；c. 曲面的平均曲率； d. 曲面的高斯曲率42. 在橢圓點處，曲面的第二類基本量滿足 ( )a. ； b. ； c. ； d. 。43. 在不含臍點的曲面上，坐標曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是（ ）a. m = 0； b. l = n = 0； c. m = f = 0；d. f

15、 = 0。44. 反映法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律的歐拉(euler)公式是 （ ）a. ； b. ； c. ； d. 。45. 對于曲面的第一基本形式 ( )。a. ； b. ； c. ； d. 。46. 曲面上每一點處的主方向 ( )a. 只有一個；b. 至少兩個； c. 只有兩個；d. 也可能不存在。47. 下列曲面中, 不是可展曲面的曲面是 ( )a. 柱面； b. 錐面； c. 一條曲線的切線曲面； d. 正螺面。48. 曲面的第一、第二基本形式分別為，曲面上曲線(c)在p點的曲率k、沿切方向的法曲率為，(c )在p點的主法向量與曲面的單位法向量的夾角為，則下面正確的是 ( )a. ； b. ；c. ； d. 。49. 在圓柱面上，圓柱螺線是 ( )a. 平面曲線； b. 曲率線； c. 測地線； d. 漸近線.50. 以下各項中，不一定是測地線的是 ( )a. 球面上的大圓； b. 圓柱面上的螺旋線； c. 旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線； d. 旋轉(zhuǎn)曲面上的緯線。51. 設(shè)曲面在一點的單位法向量，切向量為 ，則的充分必要條件是 ( )a. 存在方向使； b. 存在方向使；c. 存在方向使且；d、沿有= 0。52. 曲面上，曲線(c )在p點的基本向量是，曲面在p點的單位法向量，則在p點沿切向的測地曲率 ( )a. ； b. ；c. ； d. 。