中學(xué)數(shù)學(xué)建模

1、黑龍江省教育學(xué)院數(shù)學(xué)系黑龍江省教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 曲曲 巍巍1高校教育精品PPT函數(shù)與不等式函數(shù)與不等式l一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型l二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型l冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型l不等式模型不等式模型3高校教育精品PPTl建模建模(或知識(shí)應(yīng)用或知識(shí)應(yīng)用)提示提示1.實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系模糊實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系模糊,數(shù)據(jù)孤立數(shù)據(jù)孤立,要對(duì)要對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)作適當(dāng)處理后借助于其內(nèi)在規(guī)律有關(guān)數(shù)據(jù)作適當(dāng)處理后借助于其內(nèi)在規(guī)律或經(jīng)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn),將其理想化、函數(shù)模型化將其理想化、函數(shù)模型化.2.抓住相關(guān)變量中的主要參變量關(guān)系展開(kāi)分抓住相關(guān)變量中的主要參變量關(guān)系展開(kāi)分析與討論析與討

2、論.3.實(shí)際問(wèn)題中的量具有特殊的含義實(shí)際問(wèn)題中的量具有特殊的含義,在建立函在建立函數(shù)或不等式關(guān)系時(shí)需注意其有意義的變化數(shù)或不等式關(guān)系時(shí)需注意其有意義的變化范圍范圍,不能只考慮純數(shù)學(xué)關(guān)系不能只考慮純數(shù)學(xué)關(guān)系.4.問(wèn)題所討論的結(jié)果最好具有范式問(wèn)題所討論的結(jié)果最好具有范式,具有可推具有可推廣性廣性.4高校教育精品PPT一次函數(shù)模型一次函數(shù)模型 高跟鞋問(wèn)題高跟鞋問(wèn)題 如何選擇廣告上的優(yōu)惠計(jì)劃如何選擇廣告上的優(yōu)惠計(jì)劃 包裝與價(jià)格包裝與價(jià)格5高校教育精品PPT高跟鞋問(wèn)題高跟鞋問(wèn)題設(shè)某人下肢軀干部分長(zhǎng)為設(shè)某人下肢軀干部分長(zhǎng)為x厘米厘米,身高為身高為l厘米厘米,鞋跟高鞋跟高d厘米厘米0.618xdld0.61

3、80.382lxd6高校教育精品PPT鞋跟高度與好看程度的關(guān)系鞋跟高度與好看程度的關(guān)系原比原比(x/l)身高身高(cm)鞋跟高度鞋跟高度(cm)新比值新比值7高校教育精品PPT如何選擇廣告上的優(yōu)惠計(jì)劃如何選擇廣告上的優(yōu)惠計(jì)劃 實(shí)際背景實(shí)際背景 為配合不同客戶(hù)的需要為配合不同客戶(hù)的需要,廣告商設(shè)有以廣告商設(shè)有以 下優(yōu)惠計(jì)劃下優(yōu)惠計(jì)劃,以供客戶(hù)選擇以供客戶(hù)選擇.計(jì)劃計(jì)劃A:即時(shí)直接即時(shí)直接對(duì)話(huà)對(duì)話(huà)+自動(dòng)數(shù)字傳呼自動(dòng)數(shù)字傳呼計(jì)劃計(jì)劃B:即時(shí)直接即時(shí)直接對(duì)話(huà)對(duì)話(huà)+自動(dòng)數(shù)字傳呼自動(dòng)數(shù)字傳呼每月基本服務(wù)費(fèi)每月基本服務(wù)費(fèi) 98 98 168免費(fèi)通話(huà)時(shí)間免費(fèi)通話(huà)時(shí)間 首首60分鐘分鐘 首首500分鐘分鐘以后每

4、分鐘收費(fèi)以后每分鐘收費(fèi) 0.38 0.38留言信箱服務(wù)留言信箱服務(wù) (選擇性項(xiàng)目選擇性項(xiàng)目)30308高校教育精品PPT 問(wèn)題問(wèn)題 在兩個(gè)計(jì)劃中選擇在兩個(gè)計(jì)劃中選擇, ,你選擇哪一項(xiàng)你選擇哪一項(xiàng)? ? 分析分析 (1)(1)兩項(xiàng)服務(wù)的不同點(diǎn)兩項(xiàng)服務(wù)的不同點(diǎn): :計(jì)劃計(jì)劃A A的每月基本服務(wù)的每月基本服務(wù) 費(fèi)比計(jì)劃費(fèi)比計(jì)劃B B少少, ,而計(jì)劃而計(jì)劃B B比計(jì)劃比計(jì)劃A A給客戶(hù)的首給客戶(hù)的首 段免費(fèi)通話(huà)時(shí)間多段免費(fèi)通話(huà)時(shí)間多. .(2)(2)模型假設(shè)與建立模型假設(shè)與建立 設(shè)設(shè)t(t(分鐘分鐘) )為通話(huà)時(shí)間為通話(huà)時(shí)間, ,而而C(C() )是所需付出是所需付出 的費(fèi)用的費(fèi)用, ,則可列出計(jì)劃則

5、可列出計(jì)劃A A與計(jì)劃與計(jì)劃B B的付費(fèi)函數(shù)的付費(fèi)函數(shù) 關(guān)系式為關(guān)系式為: :9高校教育精品PPT計(jì)劃計(jì)劃A:980.38(60) 98Ct060t (t60)計(jì)劃計(jì)劃B:0500t 1680.38(500) 168Ct(t500)10高校教育精品PPT(3)究竟通話(huà)時(shí)間超過(guò)多少分鐘究竟通話(huà)時(shí)間超過(guò)多少分鐘,計(jì)劃計(jì)劃B會(huì)較會(huì)較 計(jì)劃計(jì)劃A為優(yōu)為優(yōu)? 0.38(t - 60)+98=168 得得 t=244.21(分鐘分鐘) 故當(dāng)客戶(hù)使用該服務(wù)的時(shí)間超過(guò)故當(dāng)客戶(hù)使用該服務(wù)的時(shí)間超過(guò)244分分 鐘鐘(約約4小時(shí)小時(shí))時(shí)時(shí),計(jì)劃計(jì)劃B較優(yōu)較優(yōu).(4)問(wèn)題推廣問(wèn)題推廣 若客戶(hù)真的選擇了計(jì)劃若客戶(hù)真的選

6、擇了計(jì)劃B,最多可以比選最多可以比選 擇計(jì)劃擇計(jì)劃A省多少錢(qián)省多少錢(qián)?11高校教育精品PPT 解決解決 由圖可知由圖可知,起初計(jì)劃起初計(jì)劃A比計(jì)劃比計(jì)劃B便宜便宜 70 ,當(dāng)使用時(shí)間超過(guò)當(dāng)使用時(shí)間超過(guò)60分鐘分鐘, 則兩者差距縮小則兩者差距縮小,直到直到Q點(diǎn)點(diǎn),兩者已無(wú)差距兩者已無(wú)差距, 即表示兩個(gè)計(jì)劃在此時(shí)的優(yōu)惠相同即表示兩個(gè)計(jì)劃在此時(shí)的優(yōu)惠相同. 由圖由圖,用戶(hù)所得最大優(yōu)惠差額為用戶(hù)所得最大優(yōu)惠差額為 97 060t RSyy0C16898P60Q244SR500計(jì)劃計(jì)劃B計(jì)劃計(jì)劃At12高校教育精品PPT包裝與價(jià)格包裝與價(jià)格 某種冰淇淋是用球形塑料殼包裝的某種冰淇淋是用球形塑料殼包裝的,

7、 ,有有60g60g裝和裝和150g150g裝兩種規(guī)格裝兩種規(guī)格. .假設(shè)假設(shè), ,冰淇淋售冰淇淋售價(jià)價(jià)=(=(冰淇淋成本冰淇淋成本+ +包裝成本包裝成本)(1+)(1+利潤(rùn)率利潤(rùn)率),),并且并且, ,包裝成本與球形外殼表面積成正比包裝成本與球形外殼表面積成正比. .已知已知60g60g裝冰淇淋售價(jià)裝冰淇淋售價(jià)1.501.50元元, ,其中冰淇其中冰淇淋成本為每克淋成本為每克1 1分錢(qián)分錢(qián), ,利潤(rùn)率為利潤(rùn)率為25%,25%,問(wèn)在問(wèn)在利潤(rùn)率不變的情況下利潤(rùn)率不變的情況下, 150g, 150g裝冰淇淋應(yīng)裝冰淇淋應(yīng)售價(jià)多少售價(jià)多少? ?兩種規(guī)格中兩種規(guī)格中, ,買(mǎi)哪種比較合算買(mǎi)哪種比較合算(

8、3.684( 3.684可供參考可供參考)?)?35013高校教育精品PPT 分析分析 設(shè)設(shè)60g60g裝冰淇淋的包裝成本為裝冰淇淋的包裝成本為x x元元, ,根根據(jù)題意據(jù)題意, ,得得 解得解得x=0.60(x=0.60(元元) ) 又設(shè)又設(shè)60g60g裝和裝和150g150g裝兩種規(guī)格外殼表裝兩種規(guī)格外殼表面積分別為面積分別為s s1 1、s s2 2, ,容積為容積為v v1 1 、v v2 2 ,150g,150g裝冰淇淋包裝成本為裝冰淇淋包裝成本為y y元元, ,根據(jù)題意根據(jù)題意, ,得得1.50(60 0.01) (125%)x14高校教育精品PPT所以所以21,0.60yksks

9、22223311150()()0.6060svysv從而從而30.6501.1052()2y 元15高校教育精品PPT 150125%3.26g故裝冰淇淋售價(jià)為150 0.01+1.1052（元）1.500.025()60兩種規(guī)格的單位重量?jī)r(jià)格分別為3.26元 和0.0217（元）150故買(mǎi)大包裝合算16高校教育精品PPT二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型o漁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú)漁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú)o關(guān)于飲水機(jī)的思考關(guān)于飲水機(jī)的思考o(jì)資金分配問(wèn)題資金分配問(wèn)題17高校教育精品PPT漁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú)漁場(chǎng)實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú)問(wèn)題某漁場(chǎng)中漁群的最大養(yǎng)殖量為一定值m噸.為保證漁群的生產(chǎn)空間,實(shí)際養(yǎng)殖量不能達(dá)到最大養(yǎng)殖量,必

10、須留出適當(dāng)?shù)目臻e量.由長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知,魚(yú)群的年增長(zhǎng)量和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率的乘積成正比,要想魚(yú)群的年增長(zhǎng)量最大,實(shí)際應(yīng)養(yǎng)多少魚(yú)?18高校教育精品PPT建模分析建模分析這一問(wèn)題中涉及最大養(yǎng)這一問(wèn)題中涉及最大養(yǎng)殖量、實(shí)際養(yǎng)殖量、空閑量、空閑殖量、實(shí)際養(yǎng)殖量、空閑量、空閑率、年增長(zhǎng)量等多個(gè)量，其中最大率、年增長(zhǎng)量等多個(gè)量，其中最大養(yǎng)殖量為定值養(yǎng)殖量為定值m噸，空閑量、空閑噸，空閑量、空閑率、年增長(zhǎng)量都隨實(shí)際養(yǎng)殖量的變率、年增長(zhǎng)量都隨實(shí)際養(yǎng)殖量的變化而變化?；兓?。19高校教育精品PPT建立模型假設(shè)實(shí)際養(yǎng)殖量為x噸，年增長(zhǎng)量為y噸，則空閑量為(m-x)噸，空閑率為 ，由問(wèn)題概述可建立目標(biāo)函數(shù)為mx

11、m20高校教育精品PPT2mxkykxxkxmm 2()24kmkmxm 4km2maxkmkm由y=- (x-) +知：m24m當(dāng)x=時(shí)，y221高校教育精品PPT即實(shí)際養(yǎng)殖量為最大養(yǎng)殖量的一即實(shí)際養(yǎng)殖量為最大養(yǎng)殖量的一半時(shí)，魚(yú)群的年增長(zhǎng)量最大，最半時(shí)，魚(yú)群的年增長(zhǎng)量最大，最大增長(zhǎng)量為大增長(zhǎng)量為 噸。噸。4km042(0,2)kmmmkk再由可得，比例系數(shù)的取值范圍是22高校教育精品PPT關(guān)于飲水機(jī)的思考關(guān)于飲水機(jī)的思考 基本假設(shè)基本假設(shè)（）忽略飲水機(jī)啟動(dòng)時(shí)所需的（）忽略飲水機(jī)啟動(dòng)時(shí)所需的 電能電能（）當(dāng)人回來(lái)時(shí)，水的溫度恰為（）當(dāng)人回來(lái)時(shí)，水的溫度恰為 制熱所能達(dá)到的最高溫度制熱所能達(dá)到的

12、最高溫度23高校教育精品PPT 符號(hào)的約定符號(hào)的約定 飲水機(jī)的制熱功率（單位：）飲水機(jī)的制熱功率（單位：） 飲水機(jī)的保溫功率（單位：）飲水機(jī)的保溫功率（單位：） 飲水機(jī)的制熱最低溫度（單位：）飲水機(jī)的制熱最低溫度（單位：） 飲水機(jī)的保溫最低溫度（單位：）飲水機(jī)的保溫最低溫度（單位：） 飲水機(jī)機(jī)內(nèi)水的質(zhì)量飲水機(jī)機(jī)內(nèi)水的質(zhì)量 （單位：（單位：kg） oCoC2T1P2P1TM24高校教育精品PPT 飲水機(jī)的電阻（單位：飲水機(jī)的電阻（單位： ） 飲水機(jī)的工作電壓（單位：）飲水機(jī)的工作電壓（單位：） 把水從室溫加熱到的時(shí)間把水從室溫加熱到的時(shí)間 （單位：（單位：s） 在保溫情況下，從降到的在保溫情況下

13、，從降到的 間（單位：間（單位：s） 水的比熱（單位：水的比熱（單位：kg ）RU1t2tCoC1T1T2T25高校教育精品PPT在保溫過(guò)程中在保溫過(guò)程中,水吸收的熱量水吸收的熱量:212 22QPtI Rt222 22pPtRtU水散失的熱量水散失的熱量:121()QCm TTQ單位時(shí)間內(nèi)水散失的熱量單位時(shí)間內(nèi)水散失的熱量:22122 2222PCm TTPtRtUQQtt26高校教育精品PPT當(dāng)外出開(kāi)著飲水機(jī)時(shí)當(dāng)外出開(kāi)著飲水機(jī)時(shí),在外出時(shí)間在外出時(shí)間t內(nèi)內(nèi),消耗的電能消耗的電能:21WI RtQt22122 22222122 22Pt Cm TTPtRtUPRtUtt Cm TTPtt當(dāng)外

14、出關(guān)掉飲水機(jī)時(shí)當(dāng)外出關(guān)掉飲水機(jī)時(shí),回來(lái)后重新啟動(dòng)回來(lái)后重新啟動(dòng),飲水機(jī)飲水機(jī)消耗的電能消耗的電能:21 1WPt27高校教育精品PPT1.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),則外出時(shí)開(kāi)著飲水機(jī)則外出時(shí)開(kāi)著飲水機(jī) 較為省電較為省電, 即即12WW122 21 12t Cm TTPtPtt所以所以1 1 2122 2Pt ttCm TTPt2.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),則外出時(shí)關(guān)掉飲水機(jī)則外出時(shí)關(guān)掉飲水機(jī) 較為省電較為省電, 即即1 1 2122 2Pt ttCm TTPt12WW28高校教育精品PPT模型的應(yīng)用與評(píng)價(jià)模型的應(yīng)用與評(píng)價(jià)一臺(tái)一臺(tái)TC-9901LW型的飲水機(jī)型的飲水機(jī),經(jīng)測(cè)量經(jīng)測(cè)量,所需的數(shù)據(jù)如下所需的數(shù)據(jù)如下:1550P

15、W240PW0.5mkg110min600ts235min2100ts34.2 10/()oCJ kg C1 1 2122 2Pt ttCm TTPt3550 600 21004.2 10959040 21006600( )110(min)s則則29高校教育精品PPT資金分配問(wèn)題資金分配問(wèn)題有甲、乙兩種商品有甲、乙兩種商品,經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)售這兩種商經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)售這兩種商品所獲得的利潤(rùn)依次為品所獲得的利潤(rùn)依次為P萬(wàn)元和萬(wàn)元和Q萬(wàn)元萬(wàn)元.它們與投入資金萬(wàn)元有如下經(jīng)驗(yàn)公式它們與投入資金萬(wàn)元有如下經(jīng)驗(yàn)公式:13,55Px Qx現(xiàn)有現(xiàn)有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品品,為獲得最大利潤(rùn)為獲

16、得最大利潤(rùn),對(duì)甲、乙兩種商品對(duì)甲、乙兩種商品的資金應(yīng)如何分配投入的資金應(yīng)如何分配投入?30高校教育精品PPT建模分析建模分析 設(shè)對(duì)甲種商品投入萬(wàn)元設(shè)對(duì)甲種商品投入萬(wàn)元, 則投入乙種商品為則投入乙種商品為(3-)萬(wàn)元萬(wàn)元,所獲得的利潤(rùn)總額所獲得的利潤(rùn)總額(萬(wàn)元萬(wàn)元)為為13355yxx(03 )x 31高校教育精品PPT 模型求解模型求解 設(shè)設(shè) ,則則3xt23xt(03)t 則原函數(shù)變形為則原函數(shù)變形為213355ytt213215220t 03t 32高校教育精品PPT當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 即即30, 32tmax2120y93344393344xx因此因此,為獲取最大利潤(rùn)為獲取最大利潤(rùn),對(duì)甲、乙兩

17、種商品對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入應(yīng)分別為的資金投入應(yīng)分別為0.75萬(wàn)元和萬(wàn)元和2.25萬(wàn)元萬(wàn)元, 獲得的最大利潤(rùn)為獲得的最大利潤(rùn)為1.05萬(wàn)元萬(wàn)元.33高校教育精品PPT冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型v基本處理方法基本處理方法(1)(0)lnln()lnlnlnbbyaxayaxxabxyy冪函數(shù)型處理方法:兩邊取對(duì)數(shù)，有即lny=lna+blnxx設(shè)則原方程變?yōu)閥34高校教育精品PPT(2)(0)lnlnbxyaeayyabxxxbx指數(shù)函數(shù)型處理方法兩邊取對(duì)數(shù)得lny=ln(ae )即lny=lna+bxy設(shè)則原方程變成35高校教育精品PPT(3)lnlnya

18、bxxxyabxyy對(duì)數(shù)曲線(xiàn)型處理方法：設(shè)原方程轉(zhuǎn)化為36高校教育精品PPT交通流量問(wèn)題交通流量問(wèn)題 生活背景生活背景 由于人口的增加由于人口的增加,人們生活人們生活 水平的提高水平的提高,社會(huì)擁有車(chē)輛的數(shù)量在快社會(huì)擁有車(chē)輛的數(shù)量在快 速增加速增加,許多大中城市都車(chē)滿(mǎn)為患許多大中城市都車(chē)滿(mǎn)為患,塞塞 車(chē)現(xiàn)象處處可見(jiàn)車(chē)現(xiàn)象處處可見(jiàn),所以每一位司機(jī)和乘所以每一位司機(jī)和乘 客客,都會(huì)共同關(guān)心交通流量的問(wèn)題都會(huì)共同關(guān)心交通流量的問(wèn)題37高校教育精品PPT 交通流量的定義交通流量的定義 設(shè)某一輛車(chē)的車(chē)頭與隨后的車(chē)相隔設(shè)某一輛車(chē)的車(chē)頭與隨后的車(chē)相隔的距離為的距離為,而行駛的車(chē)速為而行駛的車(chē)速為,定定義單位

19、時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為交通義單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)為交通流量流量,則交通流量有以下關(guān)系式則交通流量有以下關(guān)系式:vfd38高校教育精品PPT 分析分析 定義車(chē)距定義車(chē)距:前車(chē)車(chē)尾至后車(chē)車(chē)頭間的距前車(chē)車(chē)尾至后車(chē)車(chē)頭間的距離離,記為記為 ,L表示車(chē)長(zhǎng)表示車(chē)長(zhǎng).則則dvfLd(1)在交通擁擠的情況下在交通擁擠的情況下, 由于由于 ,故故dLvfL(2)在交通暢通的情況在交通暢通的情況(如高速公路如高速公路)下下, 由于由于 ,故故Ldvfd39高校教育精品PPT由于由于 ,其中其中t為煞車(chē)前的反應(yīng)時(shí)間為煞車(chē)前的反應(yīng)時(shí)間,dkvt1vfkvtkt1vLfkt(交通擁擠時(shí))(交通暢通時(shí))所以所以故故40高

20、校教育精品PPT 評(píng)價(jià)評(píng)價(jià) 遇上交通擁擠時(shí)遇上交通擁擠時(shí),影響交通流量的主要影響交通流量的主要是車(chē)速與車(chē)長(zhǎng)是車(chē)速與車(chē)長(zhǎng),在這種情況下在這種情況下,車(chē)速自然車(chē)速自然要放慢要放慢,否則只會(huì)發(fā)生意外否則只會(huì)發(fā)生意外.因此因此,影響影響最大的因素就是車(chē)長(zhǎng)最大的因素就是車(chē)長(zhǎng),在馬路上排隊(duì)的在馬路上排隊(duì)的短身車(chē)輛短身車(chē)輛,明顯地對(duì)交通流量增加有不明顯地對(duì)交通流量增加有不小的小的“貢獻(xiàn)貢獻(xiàn)”.至于在高速公路上至于在高速公路上,影響影響交通流量的最主要因素不是速度而是交通流量的最主要因素不是速度而是架車(chē)者的反應(yīng)架車(chē)者的反應(yīng).41高校教育精品PPT1,1xx 設(shè)則（1）當(dāng)0 1時(shí)，(1+x)（2）當(dāng) 1時(shí)，(1

21、+x)1+ x其中等號(hào)成立的充要條白努利不等式件為x=021 12 2n n22222212n12nii(ab +a b +a b )(a +a +a )(b +b +b )當(dāng)且僅當(dāng)b =ca(i=1,2, ,n,c為常數(shù))時(shí)柯西不等式等號(hào)成立 i+i12n1122nn1122nn12n若f(x)在區(qū)間I內(nèi)上凸，則對(duì)任意xI,i=1,2, ,n,以及任意R ,i=1,2, ,n+=1必有f( x +x +x )f(x )+f(x )+f(x )若f(x)在區(qū)間I內(nèi)下凸，則不等號(hào)反向，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)琴生x =x =不等x式時(shí)成立1221221 12 21211,nnnnjijijn njiji

22、jnnnba ba bababa bba ba bababa b1112n12n12n12nii設(shè)aaa ,bbb ,i,i , ,i與j,j , ,j是1,2,n的任意兩個(gè)排列，則aa（簡(jiǎn)稱(chēng)：倒序和 亂序和排序不等式正序和）洗衣問(wèn)題洗衣問(wèn)題v用洗衣機(jī)洗衣時(shí)用洗衣機(jī)洗衣時(shí),洗滌并甩干后進(jìn)入洗滌并甩干后進(jìn)入漂洗階段漂洗階段,漂洗階段由多次漂洗和甩漂洗階段由多次漂洗和甩干組成干組成,每次漂洗后可使殘留物均勻每次漂洗后可使殘留物均勻分布分布,每次甩干后每次甩干后(包括洗滌后的甩干包括洗滌后的甩干)衣物中的殘留水分衣物中的殘留水分(含有殘留物含有殘留物)的重的重量相同量相同.若漂洗的總用水量為千克若漂

23、洗的總用水量為千克,漂洗并甩干的次數(shù)為漂洗并甩干的次數(shù)為3次次,為使漂洗后為使漂洗后衣物中的殘留物最少衣物中的殘留物最少,該如何確定每該如何確定每次漂洗的用水量次漂洗的用水量?47高校教育精品PPT 設(shè)每次甩干后衣物中的殘留水設(shè)每次甩干后衣物中的殘留水分分(含有殘留物含有殘留物)的重量為的重量為,洗洗滌并甩干后衣物中的殘留物滌并甩干后衣物中的殘留物(不不含水分含水分)為為 ,三次漂洗并甩干后三次漂洗并甩干后衣物中的殘留物衣物中的殘留物(不含水分不含水分)分別分別為為 ,三次用水量分別三次用水量分別為為 .(以上各量單位皆以上各量單位皆為千克為千克)0n123,n n n123,a a a48高

24、校教育精品PPT000111111nmnnnnamammam則由已知?jiǎng)t由已知,得得 49高校教育精品PPT同理可得同理可得01221202333121111111nnnaaammmnnnaaaammmm50高校教育精品PPT由由 及平均值定理及平均值定理,得得123aaaa31233121111113aaammmaaammm 313am當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立. 1233aaaa51高校教育精品PPT故故03313nnam當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立.1233aaaa則將千克的水平均分成三次使用可使則將千克的水平均分成三次使用可使衣物上的殘留物最少衣物上的殘留物最少.5

25、2高校教育精品PPT挑選水果問(wèn)題挑選水果問(wèn)題 果皮較厚且核較小的水果（如西瓜、橘子等）果皮較厚且核較小的水果（如西瓜、橘子等）334()343RdR設(shè)水果果皮厚度為，則設(shè)水果果皮厚度為，則 可食率可食率為常數(shù)，當(dāng)越大即水果越大，則越為常數(shù)，當(dāng)越大即水果越大，則越小，可食率越大小，可食率越大3(1)dRdRdR53高校教育精品PPT 果皮較厚且核（或籽集）較大的水果果皮較厚且核（或籽集）較大的水果3333344()()3343(1)R dkRRdkR設(shè)核半徑為設(shè)核半徑為kR(kb0,a,b為定值為定值, 再設(shè)再設(shè)ABDxab,ACBBCD,ACD于是tan,tan()baxx且C62高校教育精品

26、PPTABDxabtantan()2tan()tan1tan()tan1ababxxababxxxC63高校教育精品PPT,2,2m nRmnmnmnabxabx由基本不等式，當(dāng)時(shí)，有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 由此推得tan2ababab 當(dāng)x=即x= ab時(shí)，xtan 最大,從而 最大（0， ）時(shí)，2tan 為該區(qū)間上的單調(diào)增函數(shù)）64高校教育精品PPTarctan2ababmax相應(yīng)入射范圍角 的最大值為65高校教育精品PPT數(shù)列模型數(shù)列模型 建模建模(或知識(shí)應(yīng)用或知識(shí)應(yīng)用)提示提示1.要熟悉相關(guān)行業(yè)的一些基本知識(shí)要熟悉相關(guān)行業(yè)的一些基本知識(shí),專(zhuān)業(yè)專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ).2.在解決某一問(wèn)題時(shí)在解決某一問(wèn)題時(shí)

27、,必須實(shí)事求是地搜必須實(shí)事求是地搜集大量的有關(guān)信息、資料、數(shù)據(jù)集大量的有關(guān)信息、資料、數(shù)據(jù).3.對(duì)取得的信息、數(shù)據(jù)要進(jìn)行整理、處對(duì)取得的信息、數(shù)據(jù)要進(jìn)行整理、處理理.66高校教育精品PPT4.進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)假設(shè)進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)假設(shè).5.數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用相當(dāng)廣泛數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用相當(dāng)廣泛,經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中如銀行的存貸款、證券、期貨、保險(xiǎn)、如銀行的存貸款、證券、期貨、保險(xiǎn)、企業(yè)的產(chǎn)值、成本、倉(cāng)儲(chǔ)企業(yè)的產(chǎn)值、成本、倉(cāng)儲(chǔ);社會(huì)問(wèn)題中社會(huì)問(wèn)題中的人口增加、人口質(zhì)量、土地及資源的的人口增加、人口質(zhì)量、土地及資源的利用及配置利用及配置;環(huán)境問(wèn)題中的水資源保護(hù)、環(huán)境問(wèn)題中的水資源保護(hù)、空氣污染、森林覆蓋等等空氣污

28、染、森林覆蓋等等,都可運(yùn)用數(shù)都可運(yùn)用數(shù)列知識(shí)解決或部分解決列知識(shí)解決或部分解決.6.建立起模型后建立起模型后,一般應(yīng)回到實(shí)際問(wèn)題中一般應(yīng)回到實(shí)際問(wèn)題中加以檢驗(yàn)加以檢驗(yàn),如若不符如若不符,應(yīng)加以調(diào)整應(yīng)加以調(diào)整,直至基直至基本符合本符合.67高校教育精品PPT如何存款問(wèn)題如何存款問(wèn)題 中國(guó)人民銀行公布中國(guó)人民銀行公布(1999年年)現(xiàn)行銀行整存整現(xiàn)行銀行整存整取利率如表所示取利率如表所示. 現(xiàn)有一位剛升入初一的學(xué)生家長(zhǎng)現(xiàn)有一位剛升入初一的學(xué)生家長(zhǎng),欲為其存欲為其存1萬(wàn)元以供萬(wàn)元以供6年后上大學(xué)使用年后上大學(xué)使用,問(wèn)采取怎樣的方問(wèn)采取怎樣的方案存款案存款,可使可使6年所獲收益最大年所獲收益最大?最大

29、收益多最大收益多少少?一年期一年期 二年期二年期 三年期三年期 五年期五年期2.25% 2.43% 2.70% 2.88%68高校教育精品PPT 分析分析 首先可以作出數(shù)學(xué)假設(shè)首先可以作出數(shù)學(xué)假設(shè):在此期間利率在此期間利率 不變不變.一般來(lái)說(shuō)一般來(lái)說(shuō),對(duì)于存款對(duì)于存款,銀行只計(jì)單銀行只計(jì)單 利不計(jì)復(fù)利利不計(jì)復(fù)利,所以是等差數(shù)列所以是等差數(shù)列.倘若某人倘若某人 將定期存款到期后把本利又轉(zhuǎn)入第二將定期存款到期后把本利又轉(zhuǎn)入第二 個(gè)定期個(gè)定期,此時(shí)才可計(jì)復(fù)利此時(shí)才可計(jì)復(fù)利.69高校教育精品PPT 解解:設(shè)年期存次設(shè)年期存次(按復(fù)利計(jì)算按復(fù)利計(jì)算)獲利金獲利金 額記作額記作 簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作 ;存一次存一

30、次 年期再存一次年期再存一次k年期獲利金額記作年期獲利金額記作 1,n mnPPnPnkP2441 21012.25%10455.06()P元422 102.43%486.00()P 元21 2PP于是于是,一年期存兩次獲利金額一年期存兩次獲利金額(精確到分精確到分)為為 兩年期存一次獲利金額為兩年期存一次獲利金額為 所以所以,70高校教育精品PPT存一次一年期再存一次兩年期的獲利金額為存一次一年期再存一次兩年期的獲利金額為441 2101 2.25% 1 2 2.43% 10P 721.94（元）433 2.70% 10810.00()P 元31 21 3PPP三年期存一次獲利金額為三年期存

31、一次獲利金額為所以所以71高校教育精品PPT 存一次兩年期再存一次三年期的獲利金額存一次兩年期再存一次三年期的獲利金額442 310 1 2 2.43% 1 3 2.70% 10P 1335.37元455 102.88%1440.00P 元52 3PP五年期存一次的獲利金額為五年期存一次的獲利金額為所以所以72高校教育精品PPT三年期存兩次的獲利金額為三年期存兩次的獲利金額為3 23 3PP24410 1 3 2.70%10 1685.61元 3442 310 1 2 2.43%101530.00P 元兩年期存三次的獲利金額為兩年期存三次的獲利金額為73高校教育精品PPT存一次五年期再存一次一

32、年期的獲利金額為存一次五年期再存一次一年期的獲利金額為445 110 1 5 2.88% 1 2.25%10P 1697.40()元5 13 3PPn mm nPP所以所以 且且故存一次五年期一次一年期所獲收故存一次五年期一次一年期所獲收益最大益最大,為為1697.40元元74高校教育精品PPT分期付款問(wèn)題分期付款問(wèn)題李師傅準(zhǔn)備購(gòu)置一套商品房李師傅準(zhǔn)備購(gòu)置一套商品房,需要向需要向銀行貸款銀行貸款8萬(wàn)元才行萬(wàn)元才行.經(jīng)咨詢(xún)知道銀行經(jīng)咨詢(xún)知道銀行貸款月利為貸款月利為0.01且為復(fù)利且為復(fù)利,貸款期為貸款期為25年年.李師傅每月穩(wěn)定可有李師傅每月穩(wěn)定可有950元的元的結(jié)余結(jié)余,如果他準(zhǔn)備按月償還貸款

33、如果他準(zhǔn)備按月償還貸款,是否是否具有償還能力具有償還能力?75高校教育精品PPT解解設(shè)貸款設(shè)貸款A(yù)元元,按月復(fù)利按月復(fù)利r計(jì)算計(jì)算,到到n月末的本利和為月末的本利和為 元元.另一另一方面方面,若每月償還金為若每月償還金為a元元,利息同利息同上上,則則n月末的本利合計(jì)為月末的本利合計(jì)為(1)nAr12(1)(1)(1)(1)1(1)1(1) 1nnnnarararaararrr76高校教育精品PPT(1)1(1)nnarArr則有(1)()(1)1nnArrar所以元2530080000A年月，元，r=0.01把這些數(shù)據(jù)代入上式，得a843元所以李師傅有能力購(gòu)房77高校教育精品PPT三角模型三角

34、模型 建?；蛑R(shí)應(yīng)用提示建模或知識(shí)應(yīng)用提示1.凡與周期性振動(dòng)有關(guān)或類(lèi)似的問(wèn)題凡與周期性振動(dòng)有關(guān)或類(lèi)似的問(wèn)題,如如水流、水波、聲波、爆炸物爆炸后引水流、水波、聲波、爆炸物爆炸后引起的振動(dòng)等等起的振動(dòng)等等,適宜建立三角函數(shù)模型適宜建立三角函數(shù)模型.2.一些與角有關(guān)的問(wèn)題如視角、方位角一些與角有關(guān)的問(wèn)題如視角、方位角,以及與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題也可以建立三以及與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問(wèn)題也可以建立三角函數(shù)模型角函數(shù)模型.78高校教育精品PPT3.對(duì)于周期性變化的問(wèn)題對(duì)于周期性變化的問(wèn)題,要認(rèn)真、準(zhǔn)確、要認(rèn)真、準(zhǔn)確、真實(shí)地收集數(shù)據(jù)真實(shí)地收集數(shù)據(jù),要從不同渠道、不同要從不同渠道、不同角度去取得數(shù)據(jù)角度去取得數(shù)據(jù).4.認(rèn)真

35、處理收集到的數(shù)據(jù)認(rèn)真處理收集到的數(shù)據(jù),結(jié)合合理的數(shù)結(jié)合合理的數(shù)學(xué)假設(shè)學(xué)假設(shè),最終確定有效數(shù)據(jù)最終確定有效數(shù)據(jù).5.可以擬定幾個(gè)不同的方案建立數(shù)學(xué)?？梢詳M定幾個(gè)不同的方案建立數(shù)學(xué)模型型,然后利用已有數(shù)據(jù)或付之實(shí)踐加以然后利用已有數(shù)據(jù)或付之實(shí)踐加以檢驗(yàn)檢驗(yàn),通過(guò)對(duì)比誤差或經(jīng)過(guò)若干次適當(dāng)通過(guò)對(duì)比誤差或經(jīng)過(guò)若干次適當(dāng)調(diào)整后調(diào)整后,確定最后方案確定最后方案.79高校教育精品PPT怎樣搬運(yùn)家具怎樣搬運(yùn)家具一轉(zhuǎn)角沙發(fā)能否水平般進(jìn)房間一轉(zhuǎn)角沙發(fā)能否水平般進(jìn)房間?房門(mén)的寬為房門(mén)的寬為0.9米米,墻厚墻厚0.28米米,將轉(zhuǎn)角沙將轉(zhuǎn)角沙發(fā)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化發(fā)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化,其俯視圖及尺寸如圖所其俯視圖及尺寸如圖所示示1.3

36、米米0.48米米1.3米米0.48米米80高校教育精品PPTAGFEBMCKDN2020.9AECACDhhm如圖所示，沙發(fā)搬運(yùn)時(shí)轉(zhuǎn)角的內(nèi)邊KM、KN必須緊貼墻壁,墻厚CD=0 28m，沙發(fā)一邊與CD成 角，即。沙發(fā)初始位置為，當(dāng) 由到 時(shí)，沙發(fā)搬進(jìn)了房間。設(shè) 到的距離為 ，沙發(fā)水平搬進(jìn)房間，必須81高校教育精品PPTsinhAE0 48cos0.28cos ,cot0.48cotsin(0.48 0.28cos0.48cot )sin0.48(sincos ) 0.28sin cosNKABGCFABFAEAG GFFEAGGFKCCDEFFChAE 延長(zhǎng)交于 ，作于 ，則其中，所以82高校

37、教育精品PPTcos ,0240.480.14t22令t=sin由于,則t= 2sin(),1t2所以h=0.48t+0.14(t -1)=0.14t83高校教育精品PPT2212120.14()0.14(0.14)77htmax所以當(dāng)t= 2,即 =時(shí),41h=0.48 2+0.280.820.92因此，沙發(fā)可水平移入房間.84高校教育精品PPT幾何模型幾何模型 建模建模(或知識(shí)應(yīng)用或知識(shí)應(yīng)用)提示提示1.分割不規(guī)則的或非常復(fù)雜的幾何體分割不規(guī)則的或非常復(fù)雜的幾何體,進(jìn)行簡(jiǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)化與假設(shè)化與假設(shè).2.進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象.3.同一幾何問(wèn)題可以從不同角度加以研究同一幾何問(wèn)題可以從不同角度加

38、以研究.4.善于歸類(lèi)善于歸類(lèi).5.幾何問(wèn)題一般可分為兩類(lèi)幾何問(wèn)題一般可分為兩類(lèi).(1)數(shù)學(xué)問(wèn)題建立幾何模型數(shù)學(xué)問(wèn)題建立幾何模型.(2)其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決幾何問(wèn)題其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決幾何問(wèn)題.85高校教育精品PPT設(shè)計(jì)穿衣鏡設(shè)計(jì)穿衣鏡 背景背景近年來(lái)近年來(lái),一座座大商場(chǎng)相繼出一座座大商場(chǎng)相繼出現(xiàn)現(xiàn),有些商場(chǎng)只重視外部裝潢而忽視有些商場(chǎng)只重視外部裝潢而忽視了一些細(xì)小而又方便顧客的地方了一些細(xì)小而又方便顧客的地方.比比如試衣間的鏡子就應(yīng)既能使試衣者如試衣間的鏡子就應(yīng)既能使試衣者全面看到自己的形象全面看到自己的形象,又要設(shè)計(jì)美觀又要設(shè)計(jì)美觀新穎新穎,并且節(jié)省材料并且節(jié)省材料.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最合理請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)最合理的試衣鏡的試衣鏡.86高校教育精品PPT 距地面最高點(diǎn)距地面最高點(diǎn)所謂最高點(diǎn)即指眼所謂最高點(diǎn)即指眼睛通過(guò)鏡子看到頭睛通過(guò)鏡子看到頭頂?shù)奈恢谩Ｒ话闳耍數(shù)奈恢?。一般人，眼睛到頭頂、到腳眼睛到頭頂、到腳的距離與身高之比的距離與身高之比為為1：13：14。因此。因此若計(jì)算最高點(diǎn)，應(yīng)若計(jì)算最高點(diǎn)，應(yīng)用用185cm身高去計(jì)身高去計(jì)算算OMECADB121287高校教育精品PPTAOCM如圖所示，為站立的人，鏡子所在位置為，它與AO平行。A為人的頭頂，B為眼，OM為地面。由幾何光學(xué)原理，入射角等于反射