人教版高中數(shù)學必修五《等比數(shù)列前n項和》教案

1、等比數(shù)列的前 n 項和教案一、教學目的1、理解等比數(shù)列的前n 項和公式的推導方法； 掌握等比數(shù)列的前n 項和公式并能運用公式解決一些簡單問題2、通過公式的推導過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優(yōu)化思維品質3、通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學的嚴謹美二、教學重點、難點、關鍵教學重點：等比數(shù)列的前n 項和公式的推導及其簡單應用教學難點：等比數(shù)列的前n 項和公式的推導。

2、教學關鍵：推導等比數(shù)列的前 n 項和公式的關鍵是通過情境的創(chuàng)設，發(fā)現(xiàn)錯位相減求和法。應用公式的關鍵是如何從實際問題中抽象出數(shù)量關系，建立等比數(shù)列模型，運用公式解決問題。三、教具、學具準備多媒體課件。運用多媒體教學手段，增大教學容量和直觀性，提高教學效率和質量。四、教學方法數(shù)學是一門培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學科，因此在教學中不僅要讓學生“知其然” ，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，遵循學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進和啟發(fā)式教學原則，我進行這樣的教學設計：在教師的引導下，創(chuàng)設情景，通過開放式問題的設置來啟發(fā)學生進行思考，在思考中體會數(shù)學概念形成過程中蘊涵的數(shù)學方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受

3、。本節(jié)課將采用“多媒體優(yōu)化組合激勵發(fā)現(xiàn)”式教學模式進行教學。該模式能夠將教學過程中的各要素，如教師、學生、教材、教法等進行積極的整合，使其融為一體，創(chuàng)造最佳的教學氛圍。主要包括啟發(fā)式講解、互動式討論、研究式探索、反饋式評價。五、學法指導“授人以魚，不如授人以漁” 。教是為了不教，教給學生好的學習方法，讓他們會學習，并善于用數(shù)學思維去分析問題和解決問題，受益終身。根據(jù)二期課改的精神，轉變學生的學習方式也是本次課改的重要內(nèi)容，數(shù)學作為基礎教育的核心學科之一，轉變學生的數(shù)學學習方式，變學生被動接受式學習為主動參與式學習，不僅有利于提高學生的整體數(shù)學素養(yǎng)，也有利于促進學生整體學習方式的轉變。在課堂結構

4、上我根據(jù)學生的認知層次，設計了創(chuàng)設情景觀察歸納討論研究即時訓練總結反思任務延續(xù)，六個層次的學法，他們環(huán)環(huán)相扣，層層深入，從而順利完成教學目的。自主探索、觀察發(fā)現(xiàn)、類比猜想、合作交流。抓住學生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，及時地給以鼓勵，使他們知難而進；同時從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給予適當?shù)奶崾竞椭笇?。引導學生理論聯(lián)系實際，抽象出數(shù)量關系，建立數(shù)學模型，獲得解決問題的方法，幫助學生培養(yǎng)勇于探索、不斷創(chuàng)新的思維品質。六、教學過程1、復習回顧，引舊導新（ 1）等比數(shù)列 an 的定義及通項公式anq( n2) ， an a1q n 1

5、。an 1（ 2）等比中項：如果 a,b,c成等比，則 bac 。（ 3）等比數(shù)列 an 的一些結論：anam q n mpqmn時，則 a p aqam an2、創(chuàng)設情境，提出問題在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求西薩說：請給我棋盤的64 個方格上，第一格放1 粒小麥，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64 格國王令宮廷數(shù)學家計算，結果出來后，國王大吃一驚為什么呢？師：同學們，你能解釋這是為什么嗎？本節(jié)課我們研究等比數(shù)列前n 項和，通過學習，我們就可以很容易解釋這個問題了。（板書課題）2.5

6、等比數(shù)列的前 n 項和一般地，等比數(shù)列的前n 項和用 sn 表示，即：sna1a2an 。設計意圖：設計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的興趣，調動學習的積極性故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點。此時我再問：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導學生寫出麥粒總數(shù)1+ 2 + 22 + 23 +263 。帶著這樣的問題，學生會動手算了起來，他們想到用計算器依次算出各項的值，然后再求和這時我對他們的這種思路給予肯定設計意圖：在實際教學中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學生的認知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成

7、章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學關鍵處學生難以轉過彎來，因而在教學中應舍得花時間營造知識形成過程的氛圍，突破學生學習的障礙同時，形成繁難的情境激起了學生的求知欲，迫使學生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學埋下伏筆。3、師生互動，探究問題在肯定他們的思路后， 我接著問： 1+ 2 + 22 + 23 +263是什么數(shù)列？有何特征？應歸結為什么數(shù)學問題呢？探討1：設1+ 2+22+ 23+263 ，記為（ 1）式，注意觀察每一項的特征，有何聯(lián)系？（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2 倍）探討2：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，（1）式兩邊同乘以2 則有2s64 =

8、2+ 22 + 23 + 263 + 264 ，記為（ 2）式比較（ 1）(2 ）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？設計意圖：留出時間讓學生充分地比較， 等比數(shù)列前 n 項和的公式推導關鍵是變 “加”為“減”，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學生看來卻是“不可思議”的，因此教學中應著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學生的辯證思維能力的良好契機。經(jīng)過比較、研究，學生發(fā)現(xiàn)：（1）、（ 2）兩式有許多相同的項，把兩式相減，相同的項就消去了，得到： s642641。老師指出：這就是錯位相減法，并要求學生縱觀教師推導全過程。師：為什么（ 1）式兩邊要同乘以2 呢？生：乘以 2 后使得（ 1）式與（ 2）式出現(xiàn)相同的項，

9、從而可以實現(xiàn)兩式相減，消去相同的項。設計意圖：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，不禁驚呼：真是太簡潔了！讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心。4、類比聯(lián)想，解決問題這時我再順勢引導學生將結論一般化，設等比數(shù)列 an ，首項為 a1 ，公比為 q ，如何求前 n 項和 sn 呢？在此讓學生自主完成，并叫一名學生上黑板，然后對每個學生在自覺研究時遇到的難題進行指導點拔。設計意圖：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的愉快和成就感。n在學生推導完成后，我再問：由(1- q)sn = a1

10、- a1qn 得sn = a1 - a1q ，對不對呢？這里 1 - q的 q 能不能等于 1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？ q=1 時是什么數(shù)列？此時sn?（這里引導學生對 q 進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎）a(1q n )1q1即： Sn1qna1q1再次追問：結合等比數(shù)列的通項公式 ana1 qn 1 ，如何把 sn 用 a1 、an 、q 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）a1anq1q即： Sn1qna1q1設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、類比

11、和綜合的能力這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管時間有時比較少，甚至僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。5、討論交流，延伸拓展在此基礎上，我提出：探究等比數(shù)列前n 項和公式，還有其它方法嗎？方法二：我們知道 ,sn = a1 +a 1q+a 1q2 +a 1qn-1 = a1 +q(a 1 +a 1q+a 1qn-2 ) 。那么我們能否利用這個關系而求出sn 呢？即：提取公比 q，有：S a a q a q2a qn 2a qn 1n11111a（qa a qa q n 2）1111a1q（Sna1qn 1）(1q)Sna1a1 q na1(1 qn )q1Sn1qna1q1aaaa方法三：根據(jù)等比數(shù)列的定

12、義又有2=3=4=n= q ，能否聯(lián)想到等比定理從123n-1aaaa而求出 sn 呢？即：利用等比定理a2a3a4anqa1a2a3a n1a 2a3anqSna1a1a2an 1Snan(1q)Sna1anqa1an q1qSn1qna1q1設計意圖：以疑導思，激發(fā)學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍 .以上兩種方法都可以化歸到sna1qsn 1 ,這其實就是關于 sn 的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用。6、例題講解，形成技能例 1、口答下列各題：(1) 求等比數(shù)列 1, 1

13、, 1, 1, 的前 10 項的和；248(2) 已知等比數(shù)列 an 中， a1 2 ， q 3，求 s3 ；(3) 請利用第 (2) 題的數(shù)據(jù)，自己編題，改求 a1 或求 q，并求解( 自己擬題能鞏固和深化所學的知識)11 ( 1)10 1023生： ( 口答 ) （ 1） s1021151222(133 )（2） s32613(3) 生甲：已知： q=3， s326 求 a1 解：a1 (133 )a12 。s3326 ，1生乙：已知： a12 ， s326。求 q。解：s3 2(1q3 )26 ，q2q 12 0q 3或q=-4 。1q例 2、已知 an 為等比數(shù)列，且 sna ， s2

14、nb ， (ab 0) ，求 s3n 。師：要求 s3n ，需知 a1 ，q，而已知條件為sn 和 s2n 能否進一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？生甲： sna1 (1qn )a(1)1qs2 na1 (1q2 n )a1 (1qn )(1qn )b(2)1q1 q（1）式除以（ 2）式得： 1qnb ，即 qnb1(3)aaa11( b1)a12將（ 3）式代入（ 1）式得： aa，則a，1 q1q2a bs3na1 (1 q3n )a21 ( b 1)3 1 q2aba以下再化簡即可師：這位同學處理問題很巧妙他沒有分別求得a1 與 q 的值，而改為求 qn 與 a1的1 q值，這

15、樣使問題變得簡單些，請問同學們，這樣解這個題目是否有問題呢？生乙：我認為第（ 1）式就有問題，他附加了條件q 1 ，而對 q 1 情況沒有考慮師：對！使用等比數(shù)列前 n 項和公式時， 要特別注意適用條件， 即 q 1時， sn na1 ；q 1時， sn a1 (1 qn ) a1an q 。1 q1q( 含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學生常忽略q=1 情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學生思維的嚴密性 )( 學生演算習題，教師投影出正確答案)解：設數(shù)列的公比為q 。若 q1 ( 此時數(shù)列為常數(shù)列 ) ，則 snna 1 a，s2n2na1b ，此時， 2ab ，則 s3 nsna1 (1 qn

16、)1qs2 na1 (1q2n )1q3na13a(或 s3n3 b) 。若 q 1 ，即 2a b ，則由已知2a(1)b(2)又因為 ab0 ，所以由（ 2）式除以（ 1）式得：1q2 nb ，即 1 qnb ，所以1qnaaqn b 1(3)a將（1）式式變形后代入（ 3）式得： a1aa2，于是數(shù)列的前 3n 項的和1 q 1qn2ab為： s3na1(1 q3n )a2b3a2ab b2.1q1(1) xa2a ba師：( 小結 ) 這節(jié)課我們從已有的知識出發(fā)，用多種方法 ( 迭加法、運用等比性質、錯位相減法 ) 推導出了等比數(shù)列的前 n 項和公式，并在應用中加深了對公式的認識如已知

17、 a1，n，q，則選擇a1 (1 qn )1qSn1qna1q1已知 a1，q，an，則選擇a1an q1qSn1qna1q1對含字母的題目一般要分別考慮q=1 和 q1 兩種情況，不能附加條件，統(tǒng)一按sna1an qa1 (1 qn ) 去解題。1q1 q小結：等比數(shù)列的通項公式 ana1qn 1 和前 n 項和公式 sna1anqa1(1 qn ) 中，從1q1 qa1 , q, n, an , sn 這五個量中，只要知道任意三個量，均可求得其余兩個量。7、加強練習，深化認識（1）求 11,21,31,41,51的前 n 項和2481632（2）求 1,2,3,4,5的前 n 項和2481

18、632（ 3）求數(shù)列 1aa 2a3an 1(a 0) 的前 n 項和。（ 4）畫一個邊長為2cm的正方形 ,再將這個正方形各邊的中點相連得到第2 個正方形 ,依此類推 , 這樣一共畫了10 個正方形 ,求這 10 個正方形的面積的和。8、總結歸納，加深理解以問題的形式出現(xiàn)，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法方面總結：(1) 等比數(shù)列的前 n 項和公式(2) 公式的推導方法錯位相減法(3) 求和思路構造常數(shù)列或部分常數(shù)列。通過師生的共同小結，發(fā)揮學生的主體作用，有利于學生鞏固所學知識，也能培養(yǎng)學生的歸納和概括能力。進一步完成認知目標和素質目標。設計意圖：以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。9、故事結束，首尾呼應最后我們回到故事中的問題，我們可以計算出國王獎賞的小麥約為1.84 ×1019 粒，大約7000 億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10 米、厚 8 米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459 倍，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾。設計