簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)載荷作用下的最大剪力和最大彎矩

1、第 1 期 (總第 102 期)1999 年 3 月山 西 機(jī) 械sha n x i m a ch in er yn o 11m a r1簡(jiǎn)支梁在移動(dòng)載荷作用下的最大剪力和最大彎矩李英華1)摘要應(yīng)用剪力圖、彎矩圖和代數(shù)二次函數(shù)極值的知識(shí), 對(duì)簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)載荷作用時(shí)的最大剪力和最大彎矩的計(jì)算方法進(jìn)行了論證。關(guān)鍵詞: 材料力學(xué) 剪應(yīng)力 彎矩中國(guó)圖書(shū)資料分類號(hào): tb 301載荷平面彎曲的內(nèi)力計(jì)算是材料力學(xué)非常重要的一部分內(nèi)容。 計(jì)算梁橫截面的剪力 和彎矩時(shí), 梁上載荷的位置都假設(shè)是固定的, 這在很多情況下是不符合實(shí)際的。 例如: 載 重卡車或火車過(guò)橋、 橋式起重機(jī)或龍門起重 機(jī)的起重小車在橫梁上運(yùn)

2、動(dòng), 就是典型的移 動(dòng)載荷的例子, 它們通過(guò)等距離的輪子傳遞 著載荷。 當(dāng)載荷移動(dòng)著經(jīng)過(guò)梁時(shí), 梁每一橫 截面上的剪力和彎矩的大小將發(fā)生變化。 那 么, 梁的最大剪力和最大彎矩的數(shù)值是多少, 移動(dòng)載荷運(yùn)行到梁上什么位置會(huì)產(chǎn)生最大剪件下, 將載荷向右或向左任一方向移動(dòng), 把兩邊的載荷輪換放到支座上計(jì)算反力大小,最大支座反力即為簡(jiǎn)支梁截面的最大剪力,而此時(shí)移動(dòng)載荷在梁上的位置即是產(chǎn)生最大 剪力的位置。2最大彎矩由彎矩圖可知, 簡(jiǎn)支梁在集中載荷作用下的最大彎矩發(fā)生在集中載荷作用的載面。只需計(jì)算出每一個(gè)載荷下的最大彎矩值, 即可找到簡(jiǎn)支梁的最大彎矩。 但由于載荷是移 動(dòng)的, 載荷作用截面的彎矩在發(fā)生變

3、化, 下 面以簡(jiǎn)支梁上承受三個(gè)距離不變的移動(dòng)載荷 為例進(jìn)行論證。簡(jiǎn)支梁上的移動(dòng)載荷見(jiàn)圖 1。力和最大彎矩,上的情況較多,作一敘述。1最大剪力由于移動(dòng)載荷作用在簡(jiǎn)支梁下面僅對(duì)簡(jiǎn)支梁的上述問(wèn)題由于簡(jiǎn)支梁的截面最大剪力等于最大支座反力。 因此, 要確定最大剪力, 只需求出 最大支座反力即可。 但反力的大小是隨載荷 在梁上移動(dòng)而發(fā)生變化的, 為確定支座反力, 必須考慮載荷的不同位置。 我們知道, 當(dāng)載 荷作用在支座上時(shí), 支座反力最大。 對(duì)于移 動(dòng)載荷, 在保證載荷間的距離不能改變的條圖 1 簡(jiǎn)支梁上的移動(dòng)載荷f 為其合力。支座反力r a =f 2 到梁中點(diǎn)的距離 d 1 為f (l - x - l)

4、l l - l- s 1l ,(x + s 1 ) = 2 -d 1 = 2 -lf (x + l)2l- s 1。r b =s 1 =,l2211f 1 作用截面的彎矩考慮 f 1 左邊梁的截面, 其彎矩為f 到梁中點(diǎn)的距離 d 2 為l - l- s 1l l d 2 = ( l+ x )-=l +-=222 (l - x - l)m 1 = r a ·x = ff x = -·l- s 1。ll2即當(dāng) f 2 作用截面處有最大彎矩時(shí), f 2和 f 到梁中點(diǎn)的距離相等。(l - l)x 。x 2 + f(1)l由于l 、f、 l 是常數(shù), 所以, 這是一個(gè)二次函數(shù)。由

5、代數(shù)二次函數(shù)可知, y = a x 2 + bx作用截面的彎矩213f 3b 處,+ c 中,大值。若 a < 0,則在 x = -函數(shù)有極考慮 f 3右邊梁的截面, 其彎矩為2a (x + l)fm 3 = r b (l -x - s 1 - s 2 ) =·lf < 0, 所以m 1在式 (1) 中, 因?yàn)?a = -有極大值存在, 且此時(shí)()經(jīng)化簡(jiǎn)得:l -x -s 1 - s 2 ,lff m 3 = -x 2 +(l - l-s 1 - s 2 ) x +lls 1 -f(l -l)= l -x = -b = -ll ,f l合力 f(l -s 2 )。(3)f

6、 < 0, 所以,2a2 f2l-l在式 (3) 中,m 3 有極大值存在,因?yàn)?a = -且此時(shí)l= l -l + l= l +l。l到 r a 的距離為 x +22很明顯, 當(dāng) f 1 作用截面處存在有最大彎矩時(shí), 梁的中點(diǎn)在載荷 f 1 和所有載荷的合力f 中間, 即 f 1 和 f 到梁中點(diǎn)的距離相等。f(l -l-2 )ss1blx =-= -=2af-2 lf 2 作用截面的彎矩考慮 f 2 左邊梁的截面,212l - l- s 1 -s 2。其彎矩為-f 1 · s 12f 3 到梁中點(diǎn)的距離 d 3 為( xs 1 )l)m 2 = r a+=l l - l-

7、s 1 - s 2f (l - x -d 3 =x + s 1 + s 2 -=+(x + s1 )-1 ,f s221ll s 1 + s 2 - l 。經(jīng)化簡(jiǎn)得:m 2 = -s 1 + s 2 -=22f x 2 +ff 到梁中點(diǎn)的距離 d 4 為(l -s 1 )l-x +lll - l- s 1 - s 2l l f l )。d 4 =2 -x - l=2 -s 1 (f - f 1 -(2)2ls 1 + s 2 - lf < 0,l=在式 (2) 中,因?yàn)?a = -所以,2l即當(dāng) f 3 作用截面存在最大彎矩時(shí), f 3 和 f到梁中點(diǎn)的距離相等。由以上論證可得, 當(dāng)載荷

8、作用處產(chǎn)生最 大彎矩時(shí), 梁的中點(diǎn)到該載荷和所有載荷的 合力的距離相等。盡管只考慮了三個(gè)載荷, 但b =m 2 有極大值存在,且此時(shí) x = -2af(l - l- s 1 )= l -l-ls 1。-22 f-l© 1994-2013 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved. ki.ne引出的結(jié)論是普遍的, 并能應(yīng)用于任何多個(gè)的移動(dòng)載荷中。該定理可敘述如下: 在一組移動(dòng)的集中 載荷的任一載荷下產(chǎn)生最大彎矩時(shí), 該載荷 到梁中點(diǎn)的距離等于所有載荷的合力到梁中 點(diǎn)的距離。計(jì)算梁的最大

9、彎矩時(shí), 應(yīng)將每一個(gè)移動(dòng) 載荷放置在產(chǎn)生最大彎矩的位置上來(lái)確定最 大彎矩, 所求出數(shù)值中的最大值, 即為整個(gè) 梁的最大彎矩。3應(yīng)用舉例已知: f 1 = 40kn , f 2 = 20kn , 兩個(gè)載荷 間隔為 3m , 滾過(guò) 10m 長(zhǎng)的梁, 產(chǎn)生最大剪力 和彎矩時(shí)載荷的位置見(jiàn)圖 2。試求: 最大剪力, 最大彎矩。311求最大剪力最大彎矩位置, 此時(shí), 梁中點(diǎn)到 f 和 f 2 的距離均為 1m 。由m b = 0,r a ×10+支座反力:-a40×7+ 20×4= 0, 得 r a = 36kn 。f 2 作用截面的最大彎矩 (kn ·m ) :m

10、 2 = 36×6- 40×3= 96。由 于 m 1 > m 2 , 故 梁 的 最 大 彎 矩 m m ax =12115kn ·m , 載荷作用位置如圖 2 (c) 所示。圖 2 (a) 為 f 1 作用在a 支座上, a支座反力具有最大值, 此時(shí)a 支座反力 (kn ) 為7×20= 54。r a = 40+10圖 2 (b ) 為 f 2 作用在b 支座上, b 支座反力具有最大值, 此時(shí)b 支座反力 (kn ) 為7×40= 48。由于 r a > r b ,因r b = 20+10此,梁的最大剪力q m ax = 54

11、kn ,載荷作用位置見(jiàn)圖 2(a)所示。312求最大彎矩求合力位置: 設(shè)合力到 f 1 作用點(diǎn)距離為則:f 2 ×3- f ·l= 0l,l= f 2 ×3= 20×3= 1(m )60f圖 2 (c) 為移動(dòng)載荷在 f 1 作用截面產(chǎn)生最大彎矩位置, 此時(shí), 梁中點(diǎn)到 f 1 和 f 的距 離均為 l2, 即 015m 。由m b = 0,r a ×10a 處支座反力:-+ 40×415+ 20×215= 0, 得: r a = 27kn 。f 1 作用截面的最大彎矩 (kn ·m ) :m 1 = 217

12、15;415= 12115。圖 2 (d) 為移動(dòng)載荷在 f 2 作用截面產(chǎn)生圖 2 產(chǎn)生最大剪力和彎矩時(shí)載荷的位置( 收稿日期: 1998210230; 英文摘要見(jiàn)第 23 頁(yè))3 結(jié)論本算法從原理上提高了解題精度, 降低 了計(jì)算機(jī)時(shí)。 當(dāng)問(wèn)題的邊界條件可用不多幾個(gè)付立葉項(xiàng)表示時(shí), 這種算法較三維算法有 較多的優(yōu)點(diǎn), 否則情況就不同了。 實(shí)際工程 中的拉、 彎、 扭問(wèn)題用本算法是非常好的。參 考 文 獻(xiàn)r izzo f j 1a n in teg ra l equa t io n app ro ach to1bo unda ryva lauep ro b lemo fc la ssica l

13、e la sto sta t ic s1q ua r te r ly o f a pp l m a th ,19671252 r b p e te r so n1 設(shè)計(jì)中的應(yīng)力集中系數(shù) 1 劉純仆譯 1 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 1965131 953 于 軍 1 用邊界元法進(jìn)行受彎回轉(zhuǎn)體形狀優(yōu)化 設(shè)計(jì) 1 碩士論文1 太原: 太原工業(yè)大學(xué), 1990( 收稿日期: 1998208220)圖 4 減速器軸分多鐘 cp u , 優(yōu)化完畢約 25 分鐘 cp u。shape o p t im iza t ion an d cad of a x isymm e tr icbod ie s un de

14、r ben d in g by m ean s ofboun dary e lem en t m e thod (bem )y u y on gq in g y u jun sh i d af ua bstrac t:3 -1 -d bo unda ry in teg ra l equa t io n fo r ax isymm e t r ic bo dy can be reduced tod in po la rcoo rd ina te s1t h is is benef ic ia l to cu t t ing dow n th e co st o f eng inee r ing

15、ca lcu la t io n1t h e b em fo rm u la t io n and num e r ica l im p lem e ta t io n fo r th e e la st ic st re ss ana ly sis o f an ax isymm e t r ic bo dy sub jec ted to bend ing a re g iven 1key words: bem stre ss ana ly s is ben d in g o p t im iza t ion d e s ign a x isymm e tr ic bod ie s(上接第

16、19 頁(yè))the m ax im um shear force an d them ax im um ben d in g m om en t of freebeam un der the fun c t ion of m ov in g l oadl i y in ghuaa bstrac t: b y m ak ing u se o f th e k now ledge o f sh ea r fo rce cu rve, bend ing m om en t cu rve, a lgeb ra, quad ra t icfunc t io n and ex t rem e va lue, th is a r t ic le m ak e s a d iscu ssio n o n ca lcu la t ing th e m ax im um sh ea r fo rce and th e m ax