正向思維與逆向思維

1、數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)系列談?wù)蛩季S與逆向思維廈門第一中學(xué)鄭輝龍姚麗萍一、正向思維與逆向思維正向思維是指按常規(guī)習(xí)慣去分析問題，按常規(guī)進(jìn)程進(jìn)行思考、推測，是一種從已知進(jìn)到未知的邏輯順序來揭示問題本質(zhì)的思維方法。正向思維與逆向思維只是相對而言的，逆向思維是指背逆人們的習(xí)慣路線行進(jìn)的思維。聽過“1美元”的故事嗎？ 一天，猶太富翁哈德走進(jìn)紐約花旗銀行的貸款部?？吹竭@位氣度非凡的紳士，貸款部的經(jīng)理不敢怠慢， 趕緊招呼：“先生，您有什么事情需要我?guī)兔Φ膯?？”“哦，我想借些錢?！焙冒?，你要借多少？” 1美元?！敝恍枰?美元？”不錯，只借1美元，可以 嗎？”當(dāng)然可以，像您這樣的紳士，只要有擔(dān)保多借點也可以。1那這些

2、擔(dān)?？梢詥?？”猶太人說著，從豪華的皮包里取出一大堆珠寶堆在寫字臺上?！斑?，這是價值50萬美元的珠寶，夠嗎？”當(dāng)然，當(dāng)然！不過，你只要借1美元？”是的?！豹q太人接過了 1美元和抵押憑證，就準(zhǔn)備離開銀行。在旁觀看的分行行長十分納悶，他急忙追上前去，對猶太人說：”先生，請等一下，假如您想借30萬、40萬美元的話，我們也會考慮的?！弊x者朋友，您知道哈德先生如何回答的嗎？答案見本文結(jié)尾。正逆向思維起源于事物的方向性，客觀世界存在著互為逆向的事物，由于事物的正反向，才產(chǎn)生思維的正反向，兩者是密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)知識本身就充滿著正反兩方面的轉(zhuǎn)換。例如加減、乘除、乘方開方等運(yùn)算與逆運(yùn)算；最大值與最小值、函數(shù)與反函

3、數(shù)、性質(zhì)定理與判定 定理等。兩種思維的培養(yǎng)同樣重要。事實上，一方面由于正向思維符合人們的常規(guī)習(xí)慣，顯得親切自然，大眾化，因此只要開動腦筋，正向思維即自動成為默認(rèn)的第一選擇，教師的課堂教學(xué)及學(xué)生的問題思考同樣習(xí)慣于正向思維，相對而言，逆向思維培養(yǎng)明顯弱化。另一方面，事實證明，運(yùn)用逆向思維，常常會取得意想不到的功效， 這說明反向思維是擺脫常規(guī)思維羈絆的一種具有創(chuàng)造性的思維 方式。因此，本文重點談?wù)勀嫦蛩季S的培養(yǎng)。二、逆向思維培養(yǎng)示例1. 新授課中的培養(yǎng)方式。(1) 逆用定義。在概念教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生明白：所有定義都是“充分且必要”的，也就是說定義都具備“可逆性”，可以正反兩用。x2 _x _2案例1

4、:解方程二1的結(jié)果是()x2點評：人教版數(shù)學(xué)課本七年級（上）P81 “解方程”的定義是：解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解。筆者曾經(jīng)統(tǒng)計過，超過一半的學(xué)生是按照解方程的定義“求出”結(jié)果，僅有少數(shù)“偷懶”的學(xué)生逆用定義帶入驗證-觀察口算即可獲解。（2）逆用公式。在公式教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生明白：所有公式都是恒等式，都可以逆用。案例 2 :簡便計算（1）19992 -1（ 2）19992 -2000 1998。點評：兩道類型題擺在一起，明顯結(jié)果是：學(xué)生做題（1）很順，做題（2）困難，原因在于對平方差公式 a2-b2=（a+b）（a-b）的逆用感覺“不習(xí)慣”。（3）逆用法

5、則。法則就是規(guī)律，中學(xué)數(shù)學(xué)法則大多數(shù)是可以用等式表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律，同樣關(guān)注其逆用。例如幕的運(yùn)算法則用數(shù)學(xué)符號語言可表示為四個恒等式：a m an= a m+: a mn m-n / m.n mn,.、 mm.ma =a , （a ） =a , （ab） =a - b。案例 3 : （ 1）計算：（0.25 ） 100 -2） 200 ; （2）已知 2m=a , 32 n=b，求 23m+10n ;(3)已知 xa =4 , xb =6，求 x2a 。點評：這里的三道小題， 需要學(xué)生熟練地逆用上述四個法則。在試題命制中，經(jīng)驗告訴 我們，凡僅僅順用這些法則就夠的題肯定是普遍都會的“送分題”，反之，

6、只要涉及逆用這些法則的題都會成為有一定區(qū)分度的“中檔題”。事實上，只要適度的訓(xùn)練，提升逆向思維能力，所謂中檔題也是可以轉(zhuǎn)化為送分題的。（4）注重逆命題教學(xué)。在逆定理教學(xué)中，首先讓學(xué)生明白：不是每個定理都有逆定理 的。最經(jīng)典的是“對頂角相等”就沒有逆定理。在此基礎(chǔ)上，采用“矯枉過正”策略-偏重逆定理的應(yīng)用。在定理（包括其他命題）的教學(xué)中，可經(jīng)常設(shè)置逆命題類的問題，有助于 提升學(xué)生逆向思維的意識。案例4:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形中位線定理，如果將定理中的部分條件和結(jié)論對調(diào)后成 為逆命題，是否還成立呢？請分別判斷以下兩題的結(jié)論是否正確，如果正確，證明之；如果不正確，舉一個反例說明。逆命題（1）:如圖1

7、, ABC中，如果點 D是AB中點,1AC于E, DE /BC,那么點 E是AC中點，且 DE= BC。2逆命題（2 ）： AABC中，如果點 D是AB中點,1DE交AC于E, DE= BC，那么點E2是AC中點，且DE /BC。點評：這是開放題，沒有明確結(jié)論，需要學(xué)生自己判斷；這是初中幾何核心定理的逆命 題；這是類型相同而結(jié)論不同的“題組題”，題（1）為真，可以證明，題（2）為假，可以舉反例。同時，舉反例訓(xùn)練也是培養(yǎng)逆向思維的重要手段。2. 習(xí)題講評課中的培養(yǎng)方式。習(xí)題講評，應(yīng)該給學(xué)生展示思維的過程。在此，重點向?qū)W生講清楚分析與綜合的兩種思 維過程。所謂綜合，是從“已知”看“可知”，逐步推向

8、“未知”，即由因?qū)Ч?，是正向思維; 所謂分析，是從“未知”看“須知”，逐步靠近“已知”，即執(zhí)果索因，是逆向思維。圖2案例5 :如圖2,AABC中，/B=2 ZA, a、b、c分別是/A、/B、ZC 的對邊，求證：b2=a2+ac。點評：已知中只有角的關(guān)系，沒有任何邊的關(guān)系，如何由“角”推向“邊”？感覺很困難，正向的綜合思維路難行。不 妨用逆向的分析思維：要證：b2=a2+ac,只需：b2=a (a+c),只需：b : a= (a+c)： b,易知，線段比問題找相似，聯(lián)想含b為公共邊的“基本圖形”(詳見系列談),故延長CB至D,使BD=BA連DA 因此，只需： ABCA DAC因/ C已是公共角

9、，所以，只需：/ CAB=/ D,貼近已知的“角”了。由于 BD=BA故/ DABZ D,所以，1只需：/ CAB / CBA其實，這就是已知條件 -思路接通了。2如果不細(xì)細(xì)展示分析思維，最關(guān)鍵的輔助項的添法學(xué)生會覺得莫名其妙。不過書寫建 議還是以綜合法表達(dá)妥當(dāng)。對于解題思維中分析與綜合的程序，牛頓說得好：“在自然科學(xué)里，應(yīng)該像在數(shù)學(xué)里一O請看幾道樣，在研究困難的事物時，都是應(yīng)當(dāng)先用分析的方法，然后才用綜合的方法”前文指出，僅數(shù)學(xué)運(yùn)算就有許多正反兩向的互逆運(yùn)算，現(xiàn)以“通分”為例， 逆向思維訓(xùn)練示例。案例6:計算:- 1 。1 22 32012 2013這個過程是通分，逆過來n n 1 n (n

10、 1)n (n 1)1這過程n n 1不妨稱之為“裂項”，于是原式=1 一1 1 一-2232012 20131 _ 201220132013 ，這就是“逆通分”的裂項相消法。類似的例子還有，化簡:76 +4 后 +3 丘(原式 _(J6 +J5)+3(J5+J2)_(.6. 3)( . 3. 2)八 C，63)( . 3. 2)3)、3、2.63案例7 :將分?jǐn)?shù)6 10 12 15 2011'17'19'23' 3360按從小到大的順序排列好。點評：分子的最小公倍數(shù)為較小的數(shù)60,故本題另辟蹊徑“不通分母通分子”，輕松地比出大小。類似的例子還有，比大?。? -

11、門與.6 - 5 ,采用的策略是與“分母有理化”相反的“分子有理化”_ _1 _ _ 1,8-.7=1, 6 5 = 一'，兩數(shù)大小一目了然。1124案例&化簡：24。1 X 1 +x 1 +x 1 + x點評：不用通常的整體通分，而是分三次“逐步通分”簡便多了。類似的例子還有,2 112化簡：。采用的策略則是“分組通分”。x -1 x -2 x +2 x +13. 復(fù)習(xí)課中的培養(yǎng)方式。利用復(fù)習(xí)課，綜合各種知識，介紹采用逆向思維的多種解題方法和策略。案例9 :求證： 2 是無理數(shù)。點評：采用反證法，證明-.2不是有理數(shù)。案例10 :如圖3，已知E是正方形 ABCD內(nèi)部一點， /

12、ECD =ZEDC =15 ° ,求證： ABE是等邊三角形。點評：采用同一法：如圖，在正方形 ABCD內(nèi)部取一點E/,使厶ABE是等邊三角形,連D EC C E/,證點E/與點E重合。類似例子還有 勾股定理逆定理的證明 等。案例11 :求使得關(guān)于x的方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0 至少有一個整數(shù)解的正整數(shù)a的值。點評：本題的主元無疑是x，正向思維則很容易走向求根公式或韋達(dá)定理，由于不確定有兩個整數(shù)解，所以，盡管絞盡腦汁也是徒勞的。逆向思維，聚焦于所求的是a值！應(yīng)用“不2x +7求主兀求輔?！钡牟呗裕阂椎胊=，由正整數(shù) a > 1得-3 < x < 1，

13、依題意取整數(shù)(x+2)x=-3,-1,0,1 ，所以正整數(shù) a=1或5。111案例12:設(shè)x、y、z為互不相等的非零實數(shù)，且=y -=z ,yzx求證：x2y2z2 = 1。點評：看到已知條件中等量關(guān)系不少，大多數(shù)學(xué)生從正向思維出發(fā)，將連等式列成含三個方程的方程組，認(rèn)為肯定可以直接求出x、y、z的值，結(jié)果總是以失敗告終。事實上，連等式是一個輪換對稱式，只能列成含兩個方程的不定方程組，在此，永遠(yuǎn)無法直接求出X、y、z的值。采用華羅庚教授教給青少年學(xué)生的一種解題策略：“退，退到不能退為止”。11 2 2先退為二元問題： 設(shè)x、y為互不相等的非零實數(shù)，且 x - = y -，求證：x2y2二1。y

14、x、一 11減兀后容易多了 ：移項，得x y，去分母，得 xy(x - y) = y - x，由x y得x yxy = 一1，于是x2y2 =1。原命題與此結(jié)構(gòu)完全相同，用類似的方法“移項、去分母”就可得證。培養(yǎng)逆向思維的解題策略還有“直接不行改間接”。比如適合選擇、判斷、填空題型的特值排除法、極端值驗證法以及割補(bǔ)法、換元法等。4. 綜合與實踐課中的培養(yǎng)。逆向思維是反其道而行之的思考方式。反映了思維過程的間斷性、 突發(fā)性、反聯(lián)結(jié)性，是擺脫思維定勢，突破舊思想框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新問題的重要思維方式。 司馬光砸缸 -不能“讓人離水”就“讓水離人”，是典型的逆向思維案例， 曹沖稱象也有異曲同工之

15、妙。案例13 :第二次世界大戰(zhàn)后期，在攻打柏林的戰(zhàn)役中，一天晚上，蘇軍必須向德軍發(fā)起進(jìn)攻?？赡翘煲估锾焐掀行切?，大部隊出擊很難做到保持高度隱蔽而不被敵人察覺。蘇軍元帥朱可夫思索了許久，猛然想到并做出決定：把全軍所有的大型探照燈都集中起來。在向德軍發(fā)起進(jìn)攻的時刻，蘇軍的140臺大探照燈同時射向德軍陣地，極強(qiáng)的亮光把隱蔽在防御工事里的德軍照得睜不開眼，什么也看不見，只有挨打而無法還擊， 蘇軍很快突破了德軍的防線獲得勝利。點評：既然無法讓天色變暗， 朱可夫元帥反過來在“亮”上做文章，同樣達(dá)到讓敵軍“看不見”的目的。類似的案例有：問：讓你從一把椅子下通過，你打算怎樣過去？答：將椅子舉過頭頂后昂首挺

16、胸而過。逆向思維，出奇制勝。案例14 :聰明的豬。從前，有個叫二愣的養(yǎng)殖大戶，一天，二愣要殺豬了。哪知那頭豬剛被掀翻在地，就狠狠地咬了二愣一口，急急地跑進(jìn)豬圈了。這還了得！二愣氣呼呼地追進(jìn)豬圈里，可是圈里有 1000頭豬，怎么認(rèn)得出那頭豬呢！“殺!隨著二愣一聲吼，1000頭豬全部被強(qiáng)行趕進(jìn)屠宰場?！岸?xì)⒘藛?？”伙計們怯生生地問?！安?。二愣忽然想出個怪主意，“把 這1000頭豬排成一行，先殺第一頭，然后隔一頭殺一頭； 殺完第一遍后，還是原來的隊形,最后只留下一頭豬。再用同樣的方法殺第二遍；這樣一遍一遍地殺下去”二愣停了停說, 二愣心想， 1000 頭豬最后只留下一頭，看你還能活！哪里知道，這是一頭聰明的豬，趁著 混亂，它很快找到了避難的位置， 居然躲過了這一刀。 請問，這頭豬到底排在什么位置上呢？點評： 若正向思維，則寫 1000 個數(shù)字，一筆一筆一次一次地劃去奇數(shù)，夠繁夠亂的。 倒過來想，這只聰明的豬最后一輪必在 2 號位，倒數(shù)第二輪必在 4號位，倒數(shù)第三輪必在 8 號位，規(guī)律出來了，倒數(shù)n輪必在2n號位，由512=29<1000<210=1024,得，這只聰明的豬排在 512號位。類似的例子還有 “睡蓮滿池問題” ：池塘里的睡蓮面積每天長大一倍。 100 天長滿整個池塘，那么第 98 天長到（ ）個池塘？案例 15：95 名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行單淘汰賽 ,最后決出冠軍