2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試卷(全國Ⅱ卷)(含解析)

1、絕密啟用前192020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國H卷）（含解析）1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2. 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案 標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮疬x擇 題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. 已知集合 A= Xlx 3,x Z ， B= Xlx 1,x Z，則 Ap|B =A.B.3, 2,2,3 C.2,0,2

2、D.2,22. （1 i）4 =A.-4B.4C.-4iD.4i3. 如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為a1, a2,a12.設(shè) 1 i j k 12 .若 k j 3 且 j i 則稱ai, aj, ak為原位大三和弦；若k j 4且 j i 3，則稱ai, aj, ak為原位小三和弦.用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和 弦的個(gè)數(shù)之和為A.5B.8C.10D.154. 在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓，為解決困難，許多志愿者踴躍 報(bào)名參加配貨工作，已知該超市某日積壓 500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂

3、 單超過1600份的概率為0.05。志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二 天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A.10 名 B.18 名C.24名D.32名5. 已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是A. a 2b B. 2a b C. a 2bD. 2a b6.記Sn為等比數(shù)列 g的前n項(xiàng)和.若a5-a3=12,- a4=24，則Sn =A. 2n-1B2-2t nC. 2-2“-1D . 2t-n -17.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的k=0, a=0, 則輸出的k為：A. 2B. 3C. 4D. 5y 30的距離為

4、8.若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線2xB.2 . '55C.3、5D.4.5529.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x a與雙曲線C:篤a(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于D, E兩點(diǎn)，若 ODE的面積為A.4B.810.設(shè)函數(shù)f(x) x3C.16D.32，貝U f(x)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞減)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+)單調(diào)遞減1的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球？?勺球面上，若球8,則C的焦距的最小值為11.已知 ABC是面積為A.是奇函數(shù)，且在(0,+C.是偶函數(shù)，且在(0,+1x?的表面積為16 n,則到平面ABC的距離為A.3

5、B.3C.1D.2212.若2x 2y3 x 3 y，則A.ln( y x 1)0B.ln (yx 1)0C.In | x y | 0D.In | xy| 0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。213.若sinx-，則 cos2x .3 14記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3!2 , 32 36 2，則x y 1,15. 若x，y滿足約束條件 x y1,則z x 2y的最大值是.2x y 1,16. 設(shè)有下列4個(gè)命題：R :兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)P2 :過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面P3 :若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行p4 :若直線I平面，直線m

6、 平面，則m l .則下述命題中所有真命題的序號(hào)是 p1p4 p1p2p2p3p3p4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求 作答。（一）必考題，共60分。17. （12分）ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知cos2 A cosA -，24（1）求 A;（2）若b c a，證明：ABC是直角三角形.318. （12分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所 增加，為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量， 將其分為面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽

7、樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)（x“ y）（ i=1,2，0）,其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得202020Xj =60, yi=1200,i=1i=1i=1_ 2 20xi-x =80,i=1_ 2 20yi-y =9000,i=1xi-xyi-y =800.(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2) 求樣本 冷“ I人2，20的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01 )；(3) 根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的 代表性以獲得該地區(qū)這

8、種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理X219. (12分)已知橢圓。：飛ab21(a b 0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重的抽樣方法，并說明理由。Xi X yi yi 1r fJ n_ 2 n 2附:JXi Xyiy相關(guān)系數(shù)i 1，2 1.414n2合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合過F且與x軸垂直的直線交C1于A, B兩點(diǎn),交C2于C, D兩點(diǎn)，且CD|4 AB .3(1)求G的離心率;(2)若G的四個(gè)頂點(diǎn)到C2的準(zhǔn)線距離之和為12,求G與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.20.如圖，已知三棱柱 ABC AEG的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M , N分別為BC , B1C1的中點(diǎn)，P為

9、AM上一點(diǎn)，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F .(1)證明：AA1 MN，且平面AAMN 平面EBGF ；(2)設(shè) O為 A1B1C1 的中心，若 AO AB 6，AO | 平面 EB1C1F，且MPN3，求四棱錐B EB1C1F的體積21. （12 分）已知函數(shù)f x 2lnx 1.(1)若f X 2x c，求c的取值范圍;(2)設(shè)a>0，討論函數(shù)g x的單調(diào)性.(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆在 答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑。 按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均 按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分。22. 選修4 4:坐標(biāo)系

10、與參數(shù)方程(10分)已知曲線G , C2的參數(shù)方程分別為xG：y4cos24sin 2'(為參數(shù)),C 2t (t為參數(shù)).1t(1) 將g,C2的參數(shù)方程化為普通方程：(2) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)G, C2的交 點(diǎn)為P，求圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)和 P的圓的極坐標(biāo)方程.23. 選修4 5:不等式選講(10分)已知函數(shù) f(x) x-a2| |x-2a+1 .(1) 當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x) > 4的解集；(2) 若f(x) >4,求a的取值范圍.2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國新課標(biāo)II）一、選擇題：本題共12小題"

11、每小題5分，共60分。在每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng) 中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的口I.已知集合川=匕|咔車可，B = xix>ixeZr則JClB-2 0B+ -X-2,2,3U -xo,2D* 2,2【答案】：D【解析】：/flB = x|l<|x|<lxZ = -Z2n 故選 D.2- （t-i）4 =為” -AB. 4C. riIX 4t【答案】：A【解析】：（l-iy=（-2i/ =-4故選A3.如圖.將鋼琴上的12個(gè)鍵俄抉記為樂知叫設(shè)若廠3且/-j = 4,則稱如勺，礙為澤柱大三和盥若k-j = 4且J *齊則稱如幻何為原位小三和弦用2 12個(gè)醴可以構(gòu)成的JR檢大三和確與

12、原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為A. 5B- 8C, 10D 15珂 仏 令 詠 引氐I tff li 原位大三和弦 r i = L / = 5*A- - 8 j r = 2. / = 6. = 9 ! j - 3.y - lfk -10 :上lli=久丿*9朮12共5個(gè)i加位小三和弦-Lj»4,i-8： /Z=3,/ = 6.i=10； ; = 4,; = 7,Jt = ll : r = 5,/-M,Jt = l25 個(gè)；總計(jì) 10 個(gè).4.在新冠肺炎疫犧防捋期間.榮超市開通網(wǎng)匕銷售業(yè)務(wù).廚天能完成1200份訂單的配貨.由于訂單量大幅增加* .為解決困虛，許賽志愿居加躍報(bào)名裁加死貨工 也

13、已知該超市某口枳壓5M附訂單未出貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單趙過M加符憫制率 為0.0志愿者每人每天能完成50份訂甲的配賃，為便第二天完成和壓訂單反當(dāng)H訂單的配貨的嘅辜不小于0.95(幻至少窯韭志總者2 I0 名B, IS-SC. 24D* 32【答案】；B【解析】：相圧份訂即未配咒.次日產(chǎn)咗題訂樂超過【600俏的呀率為0乳其中 1200 不需爰忘區(qū)者血貴.志黑普只需負(fù)4(X1 W配貨*崔就是需雀志虧者遛貨的為90。 吩.岬蒂妾18名志愿者.?.已知單也向覽細(xì)&的夾謝淘砂旳下列向靈中.與占垂直的是A- fl + 2bB > 2d + iC r 口 一：占D* 2s b【答黨】:D解析”

14、 (2rt-Z>) 2ah-b: = 2 I 1 1 - I 0.敘選 D26.記片為等比敎刖的曲”項(xiàng)和.若叫=12込一町一 d W【蠱A, r-lB.工-寸C” 2-2'D” - I【答案' B【解析h設(shè)等土裁勺何的逋頊公式為斗=科嚴(yán).根據(jù)碼-見-1氛 耳-眄-24,Q蟬再嗎二】，y = 2.敷叫二乞二y 頁聞二嚴(yán)，故選氐 7.機(jī)行右而的珂磅申圖，若笹入£0.門-Q趾囁出的總為【笞秦】：C【餌析】：A = o.盤三0運(yùn)訂后Fiil* k 1*再空運(yùn)行后：開購/輸天片曲/ci-3 出2 »再次運(yùn)行后：= 7s片=3，再次運(yùn)懺后：k - 4.此對(duì)達(dá)到輸呂

15、殺件.甲以輸出出_4,故i£C.8.若紂點(diǎn)(2.1)】勺31與嗎堡標(biāo)軸和相忸，燈刮心到£1找2x y-y 0笛比離為4/=2tf-*-iA,B.5WsD,?rL B【解軒】；號(hào)趙意下為點(diǎn)(2,)mnZv y 3 0 h，結(jié)合理意可i殳可心聲標(biāo)12-1-31 25為（絨時(shí)，則（2 +（1 疔尸=¥ ,即沖&J+XD*所以由=】*或創(chuàng)=】（害九所以圓心坐標(biāo)向（L1）,所以圓心到直線2x-y-3 = 0的距喜為故選皮9.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與刃曲線二-4=>a*>o）的兩條漸近統(tǒng)分別交于 « bDE兩點(diǎn)，.若ACJDE的面積為則&

16、;的焦距的最小值.為A. 4B, 8C. 16D. 32【答案I C【祥析】：易知6込臥因厲-的、則也芒二:口功二 所以肋二齊所以焦距= 2J? = 2-TTP"-zjy + 2 <816當(dāng)且僅當(dāng)"2近時(shí).等號(hào)成立.故選e10.設(shè)函f（x）= / - * 則/it氐是奇函數(shù).且在佩*）單凋遙誡D.是偶函劭.衛(wèi)在（0嚴(yán)3）單洞邀減A.是奇函敎.且在（0. +or.）單調(diào)遞増C.是隅函數(shù)且在+渙）單調(diào)遞舞【答案】：A【解析】因?yàn)?所以加十心）“-占+"-（£所以函S /（X）是話函故又爲(wèi)為由函數(shù)為+力）增函血加上函數(shù)堆二-;（芮如切 才X增函數(shù)J得到&

17、#39;所以函數(shù)/（力二丘-；為十對(duì)增函數(shù)，故選A 一JT判斷單調(diào)性時(shí)也可嘆這樣處理：因?yàn)楫?dāng)蟲衛(wèi)卜 fx） = + - >0 .V所以/（鬥在也+4）上足單調(diào)遜灣的一1U己如ZvlBC'杲向積為痙的等邊三棺形.冃.苴頂點(diǎn)都在球口的球面上.若球。的表而 4積対1缸.卿。到平面月放？的距離為A.C* 1D.T牛A 【答案h c解析h=斯以恥".44設(shè)球。的半輕為尺則42 = 16jt .解得R = 2.做O在ZVUSD芮的射影為C/, </是厶政的董右.故orA=- =32從而到平面電的距離h = -3 = ,故選C*12,若 r -2V < y1 - yr +

18、 則A+ ln(.v -x + 1) > 0B+ ln(v- x +1)< 0 C* ln|rv-j| >0D+ ln|x- <0菩案】：A【解析】；r -r <rx-rr -rx -ry =2x-<2y.y y枚f(x)=2x-.易知擔(dān)小是定義在尺上的增甬?dāng)?shù)3韭由于一丄w廠一寺可得耳V y ,所及F X A On y JC 4 IAI *iJ從而 ln(_V - a +1) > 0 + 故選 A.二，填空題；本題共4滬題，每小題5分，共20分"212* sin x = - j * 則 cos2x =.答案】；+【解析L直接應(yīng)用二倍箱的余弦公

19、式，cofi2x = l-2sin2x = l-2f-=1- = -I 3丿 9914.記$為等差數(shù)列礙的前用頊和，若=-2+ = 2.則S10=+答案】：25【賀肓】:可得珥*£ +兔+站一 2,匡為耳一 2 .可求匕抒1 .由數(shù)列的前沖項(xiàng)和公式 51< = -2k10+1°X(101)x1 = -204-45=2515*若兀，Ix + y>-L2-v-y<ljr + y-l 疋一尸1、 2r - v<l則3 = A k2v的最犬值是當(dāng) x= 2 . > = 38寸* 2 = 8方法二：聯(lián)立廣$7 駅7叭聯(lián)立尸尸得聯(lián)立F'j.得yx-

20、 y= -12jc - v - 12x->'= 1代入驗(yàn)證可得x=2, y= 3時(shí).嚴(yán)816.設(shè)育下和四個(gè)命題“；兩兩相交且不過屁一點(diǎn)的三殺直縷必在冋一習(xí)面內(nèi).少過空間中任童三點(diǎn)有且僅有一一個(gè)平面一婦 若空間兩條直線不相交，則這兩條直線F廳一旳；若直線！U平面tr,直線協(xié)丄平面厲，則m 11則下注命題中祈育真命題的序號(hào)是.阿八松Pi A Pz迪v盡*【答案】：®【解析】由公理2可得円為克.旳為假：因?yàn)榭胀袃蒚1線位宜關(guān)系為平It. fflx和 異面*所以戸為假,由線面垂育的定楚可得p為真.所以咸立.三*解答題：共70分召解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程観演算步驟。第門21

21、題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選孝題，考生根據(jù)要求 作答。(一)必考題：共60分“17.分X4BC的內(nèi)角4的對(duì)邊分別為口上尹己知切&-A H-cos/1 =-丿4(1) 求且-(2) b-c = a.證明；AABC是直角三席形,【答峯糸1)-； (2證明過視見解析【解折】：(1)由 cos2(+ J)+cos- =可潯：sin ' zl+cos.l- 2444 cos' A - cos .4 +1 = 0(2 cos J -1=On cos .4 =-Ae=彳.1 h 2(2)解法 1；由 b-c = a 可鋁又 conA= +C =-.即32bc

22、 2b ¥c a1 beZr +e: -3(b-cY - be(b-2c2b-c)-0:tb = 2cic-2b (舍)T .g = J3c即故三角形為直用三掲形.解法 2：因b-c = a + 由正筈定理sin sin(. = sin.4 = > 由于332川+ * + C二打.于是shc+-sinC = -T 乂困為sin C+ -sinC 3丿十址+£曲_或心當(dāng)叔、心也任i又宀-Cef于-C = -. C = -.斫= 故三角3 I 3 3j 3662形冷FT甬三角形，18- g 分)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加為調(diào)査該地區(qū) 某

23、種野生動(dòng)枸的數(shù)邑.將祐分成面祝相近的200豐地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣 的方法抽取卻個(gè)作為樣區(qū)，闔杳得到樣本數(shù)據(jù)估 J) (i = L2,20)，其中毎和為分 別表嚇第個(gè)樣區(qū)的植物彊蓋面積£迪公曲秋g種野生動(dòng)物的數(shù)氐并汁算得20 » £0 _ 120 _工舛=別，工>嚴(yán)1加0 (a;-x); = 80 2L(y-y)z =9000 .工& -欣丫廠刃=800.2-1(打求謹(jǐn)?shù)貐^(qū)這神野生動(dòng)物毀量的估計(jì)值(迖種野生動(dòng)物蠶量的估計(jì)值尊于曄區(qū)這神 野主動(dòng)拎數(shù)竜的平均敎艱以地塊敵” 求樣本(xiryc)(i = KZ - ,20)的相關(guān)器數(shù)(精確到0.0

24、1 >(3J根據(jù)現(xiàn)右統(tǒng):1噴料，客地地何植物橫蓋面枳差異祖大為提髙啟本的代表哇以茯得 該地區(qū)這種野生動(dòng)物議量更帶確的偉計(jì)+請(qǐng)給出一村你認(rèn)為更合理的抽樣方法.井說明 理由一<1) 12000； (2> 094； (3)分層捕樣.【解折】：(1) 1200-5-20x200 = 12(X)0；70x9000600V23(3) 分層抽樣醫(yī)為8地塊間植物覆蓋面祝差異很大.為提高樣本的代表性應(yīng)從頊物覆 蓋面枕不I-1的各地塊創(chuàng)進(jìn)行抽取.19. 【12分)已知橢圓c1：|r+- = i（£7>5>o）右傘點(diǎn)f與拋物線qsi焦點(diǎn)重合 q的中心與G的取點(diǎn)里合.過尸且與誥

25、軸垂直為直線交G于？L/?兩點(diǎn).交于匚;d兩點(diǎn)，且門）求G的離毛率；3）若q的四個(gè)頂點(diǎn)到q的準(zhǔn)線距離之和淘12.求q c2的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析h （I）由題意抵k二M+3e2二 D.e s£ = 22* 0 < e < 1即G的離心率為*12）設(shè)G的四個(gè)頂點(diǎn)到G的準(zhǔn)線距離為心 g 右 町則豐d = a y+ C心二 c 二一I 2乂叮d、+巧+心+必二12二:pI 2二訃十c = 6C 1"一=it 2j.2c+c = 6/. a1 = 16.c = 4 p = 4r- =12/. C： + = LjC.: y' = 8x1 16 12 120, (12如

26、亂 已知三校壯血T-堆呼：的底聞足正三勵(lì)療*側(cè)直和皐；是矩旳，.訂/V弁弘 為RC、gi的中點(diǎn).P為上一點(diǎn).過打G和戶的平而交于E,交HC7于F證明：沁力A/.V 且平直芻八冊(cè)丄平直卜:隔F;(2)設(shè)心為Af,的屮心.若AO = AB=£jiOM半直唇CFKZA/PAr = y.求四唆惟必_星匯屮的燉職+丹【解析山(I朋明1由題總知九專/BB, / CL； T乂因?yàn)閯澝婵?&是疣瞻且M,W分別捷BC、4G的中點(diǎn).斯以倔#碼，眄丄膽所嘆4斗甘皿施丄§匚乂蔗面iE =角瑋f所以JM I丄坊q頁因?yàn)镸Vri/U/三悴所以耳q丄平面AMN,只國為平面碼GFD平面珂嗎G=耳G

27、，平直碼GF"平直初芒=四,¥面.血(J "平血J,饒C；.所嘆Ei '"圻G .所以EF丄平匱斗站H EF u T £GF .所以平直碼口尸丄爭面囤GF(2)固詢AO /平面史邱：F ( AOa平血出V.Y/.1平面A 平面=所以AO /NP又因?yàn)镹O / AP所以 AO = NP = 6, ON = .4P = 4過AT做入打/垂克于XP .垂足為刃因?yàn)槠矫媲賮A平面AAMN ,平面EBFf平面«HMV = NP,MH u平面&AMN斫以MH丄平面ERfFJTJT因?yàn)?ZMPN = 朗XhfH = NP0n- =

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