中考復(fù)習(xí)：“將軍飲馬”類題型大全

1、“將軍飲馬”類題型大全一求線段和最值1（一）兩定一動(dòng)型例1：如圖， AMEF，BNEF，垂足為M、N，MN12m，AM5m，BN4m， P是EF上任意一點(diǎn)，則PAPB的最小值是_m分析：這是最基本的將軍飲馬問題，A，B是定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定一動(dòng)將軍飲馬型，根據(jù)常見的“定點(diǎn)定線作對稱”，可作點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AB，此時(shí)APPB即為AB，最短而要求AB，則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決解答：作點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，過點(diǎn)A作ACBN的延長線于C易知AMAMNC5m，BC9m，ACMN12m，在RtABC中，AB15m，即PAPB的最小值是15m變式：如圖

2、，在邊長為2的正三角形ABC中，E，F(xiàn)，G為各邊中點(diǎn)，P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則BPG周長的最小值為_分析：考慮到BG為定值是1，則BPG的周長最小轉(zhuǎn)化為求BPPG的最小值，又是兩定一動(dòng)的將軍飲馬型，考慮作點(diǎn)G關(guān)于EF的對稱點(diǎn)，這里有些同學(xué)可能看不出來到底是哪個(gè)點(diǎn)，我們不妨連接AG，則AGBC，再連接EG，根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AEEG，則點(diǎn)A就是點(diǎn)G關(guān)于EF的對稱點(diǎn)最后計(jì)算周長時(shí)，別忘了加上BG的長度解答：連接AG，易知PGPA，BPPGBPPA，當(dāng)B，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，BPPGBA，此時(shí)最短，BA2，BG1，即BPG周長最短為3.2（二）一定兩動(dòng)型例2：如圖，在ABC

3、中，ABAC5，D為BC中點(diǎn)，AD5，P為AD上任意一點(diǎn)，E為AC上任意一點(diǎn)，求PCPE的最小值分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，P，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，由于ABC是等腰三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC，點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B，PCPEPBPE，顯然當(dāng)B，P，E三點(diǎn)共線時(shí)，BE更短但此時(shí)還不是最短，根據(jù)“垂線段最短” 只有當(dāng)BEAC時(shí)，BE最短求BE時(shí)，用面積法即可解答：作BEAC交于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)P，易知ADBC，BD3，BC6，則AD·BCBE·AC，4×6BE·5，BE4.8變式：如圖，BD平分ABC，E，F(xiàn)分別為線段BC，

4、BD上的動(dòng)點(diǎn)，AB8，ABC的周長為20，求EFCF的最小值_分析：這里的點(diǎn)C是定點(diǎn)，F(xiàn)，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于一定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點(diǎn)定線作對稱”，但這題這樣做，會(huì)出現(xiàn)問題因?yàn)辄c(diǎn)C的對稱點(diǎn)C必然在AB上，但由于BC長度未知，BC長度也未知，則C相對的也是不確定點(diǎn)，因此我們這里可以嘗試作動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)解答：如圖，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E，連接EF，則EFCFEFCF，當(dāng)E，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線時(shí)，EFCFEC，此時(shí)較短過點(diǎn)C作CEAB于E，當(dāng)點(diǎn)E 與點(diǎn)E重合時(shí)，EC最短，EC為AB邊上的高，EC5.（三）兩定兩動(dòng)型例3：如圖，AOB30°，OC5，OD12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是射

5、線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，求CFEFDE的最小值.分析：這里的點(diǎn)C，點(diǎn)D是定點(diǎn)，F(xiàn)，E是動(dòng)點(diǎn)，屬于兩定兩動(dòng)的將軍飲馬模型，依舊可以用“定點(diǎn)定線作對稱”來考慮作點(diǎn)C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)解答：作點(diǎn)C關(guān)于OB的對稱點(diǎn)C，點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D，連接CD CFEFDE CF EF DE，當(dāng)C，F(xiàn)， E，D四點(diǎn)共線時(shí)，CFEFDE CD最短易知DOC90°，OD12，OC5，CD13，CFEFDE最小值為13變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面AB寬1.78m，白球E距AD邊0.22m，距CD邊1.4m，有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD邊0.1m，若要使白球E經(jīng)過邊AD，DC，

6、兩次反彈擊中紅球F，求白球E運(yùn)動(dòng)路線的總長度分析：本題中，點(diǎn)E和點(diǎn)F是定點(diǎn)，兩次反彈的點(diǎn)雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗(yàn)作出，即分別作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對稱點(diǎn)E，作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對稱點(diǎn)F，即可畫出白球E的運(yùn)動(dòng)路線，化歸為兩定兩動(dòng)將軍飲馬型解答：作點(diǎn)E關(guān)于AD邊的對稱點(diǎn)E，作點(diǎn)F關(guān)于CD邊的對稱點(diǎn)F，連接EF，交AD于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H，則運(yùn)動(dòng)路線長為EGGHHF長度之和，即EF長，延長EE交BC于N，交AD于M，易知EMEM0.22m，EN1.780.222m，NFNCCF1.40.11.5m，則RtENF中，EF2.5m，即白球運(yùn)動(dòng)路線的總長度為2.5m小結(jié)：以上求線段和最值問題，幾乎都

7、可以歸結(jié)為“兩定一動(dòng)”“一定兩動(dòng)”“兩定兩動(dòng)”類的將軍飲馬型問題，基本方法還是“定點(diǎn)定線作對稱”，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來求解當(dāng)然，有時(shí)候，我們也需學(xué)會(huì)靈活變通，定點(diǎn)對稱行不通時(shí)，嘗試作動(dòng)點(diǎn)對稱（二）求角度例1:P為AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別為射線OA，OB上一點(diǎn)，當(dāng)PMN周長最小時(shí)，MPN80°（1）AOB_°（2）求證：OP平分MPN分析：這又是一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先將M，N的位置找到，再來思考AOB的度數(shù)，顯然作點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P

8、，連接PP，其與OA交點(diǎn)即為M，OB交點(diǎn)即為N，如下圖，易知DPC與AOB互補(bǔ)，則求出DPC的度數(shù)即可解答：（1）法1：如圖，12100°，1P323，2P424，則3450°，DPC130°，AOB50°再分析：考慮到第二小問要證明OP平分MPN，我們就連接OP，則要證56，顯然很困難，這時(shí)候，考慮到對稱性，我們再連接OP，OP，則57，68，問題迎刃而解解答：（1）法2：易知OPOP，785680°，POP100°，由對稱性知，911，1012，AOB91050°（2）由OPOP，POP100°知，7840&#

9、176;，5640°，OP平分MPN變式：如圖，在五邊形ABCDE中，BAE136°，BE90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得AMN的周長最小時(shí)，則AMNANM的度數(shù)為_分析：這又是典型的一定兩動(dòng)型將軍飲馬問題，必然是作A點(diǎn)關(guān)于BC、DE的對稱點(diǎn)A、A，連接AA，與BC、DE的交點(diǎn)即為AMN周長最小時(shí)M、N的位置解答：如圖， BAE136°， MAANAA44°    由對稱性知，    MAAMAA，    NAANAA，   AMNANM 2MAA2NAA88°思考題：1.（2017·安順）如圖所示，正方形ABCD的邊長為6，ABE是等邊