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1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題培訓(xùn)第十四講中位線及其應(yīng)用中位線是三角形與梯形中的一條重要線段,由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連,因此,它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用例 1 如圖 2-53 所示 ABC中, ADBC于 D,E, F,ABC的面積分析由條件知, EF, EG分別是三角形ABD和三角形 ABC的中位線利用中位線的性質(zhì)及條件中所給出的數(shù)量關(guān)系,不難求出ABC的高 AD及底邊 BC的長(zhǎng)解由已知, E,F(xiàn) 分別是 AB,BD的中點(diǎn),所以,EF 是 ABD的一條中位線,所以由條件 AD+EF=12(厘米 ) 得EF=4(厘米 ) ,從而 AD=8( 厘米 ) ,由于 E

2、,G分別是 AB,AC的中點(diǎn),所以EG是 ABC的一條中位線,所以BC=2EG=2× 6=12( 厘米 ) ,顯然, AD是 BC上的高,所以例 2 如圖 2 -54 所示 ABC中, B, C 的平分線 BE, CF相交于 O, AG BE于 G, AH CF于 H(1) 求證: GHBC;學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2) 若 AB=9厘米, AC=14厘米, BC=18厘米,求GH分析 若延長(zhǎng) AG,設(shè)延長(zhǎng)線交 BC于 M由角平分線的對(duì)稱性可以證明 ABG MBG,從而 G是是 AN的中點(diǎn),從而 GH就是 AMN的中位線,所以 GH BC,進(jìn)而,利用 ABC的三邊長(zhǎng)可求出AM的中點(diǎn);同樣,

3、延長(zhǎng)GH的長(zhǎng)度AH交 BC于 N,H(1) 證 分別延長(zhǎng) AG, AH交 BC于 M,N,在 ABM中,由已知, BG平分 ABM,BGAM,所以 ABG MBG(ASA)從而, G是 AM的中點(diǎn)同理可證 ACH NCH(ASA),從而, H 是 AN的中點(diǎn)所以 GH是 AMN的中位線,從而, HGMN,即HG BC(2) 解 由 (1) 知, ABG MBG及 ACH NCH,所以AB=BM=9厘米, AC=CN=14厘米又 BC=18厘米,所以BN=BC-CN=18-14=4( 厘米 ) ,MC=BC-BM=18-9=9( 厘米 ) 從而MN=18-4-9=5( 厘米 ) ,說(shuō)明 (1)

4、在本題證明過(guò)程中,我們事實(shí)上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一( 即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質(zhì)定理的逆定理:“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的垂線,則這條平分線也是對(duì)邊的中線,這個(gè)三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的:“若三角形一個(gè)角的平分線也是該角對(duì)邊的中線,則這個(gè)三角形是等腰三角形,這條平分線垂直于對(duì)邊”同學(xué)們不妨自己證明(3) 從本題的證明過(guò)程中,我們得到啟發(fā):若將條件“B, C的平分線”改為“B(或 C)及 C(或 B)的外角平分線”( 如圖2- 55所示 ) ,或改為“B, C 的外角平分線”( 如圖2-56 所示 )

5、 ,其余條件不變,那么,結(jié)論GH BC仍然成立同學(xué)們也不妨試證學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 3 如圖 2-57 所示 P 是矩形 ABCD內(nèi)的一點(diǎn),四邊形BCPQ是平行四邊形,A,B,C, D分別是AP,PB,BQ,QA的中點(diǎn)求證:A C=BD分析由于 A, B, C, D分別是四邊形A C與 BD則是它的對(duì)角線,從而四邊形APBQ的四條邊 AP,PB,BQ,QA的中點(diǎn),有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)知道ABC D是平行四邊形,A BCD應(yīng)該是矩形利用ABCD是矩形的條件,不難證明這一點(diǎn)證連接 A B, B C, C D, D A,這四條線段依次是APB, BPQ, AQB, APQ的中位線從而A B AB, B C P

6、Q,C D AB, D A PQ,所以, AB C D是平行四邊形由于ABCD是矩形, PCBQ是平行四邊形,所以AB BC, BC PQ從而AB PQ,所以 A B B C,所以四邊形A BCD是矩形,所以A C=BD說(shuō)明 在解題過(guò)程中,人們的經(jīng)驗(yàn)??善鸬揭l(fā)聯(lián)想、開(kāi)拓思路、擴(kuò)大已知的作用如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點(diǎn)連線是平行四邊形”這個(gè)經(jīng)驗(yàn),對(duì)尋求思路起了不小的作用因此注意歸納總結(jié),積累經(jīng)驗(yàn),對(duì)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是很有益處的例 4 如圖 2-58 所示在四邊形ABCD中, CDAB,E,F(xiàn) 分別是 AC,BD的中點(diǎn)求證:學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析在多邊形的不等關(guān)系中,容易引發(fā)人

7、們聯(lián)想三角形中的邊的不形中構(gòu)造中位線,為此,取AD中點(diǎn)證取 AD中點(diǎn) G,連接 EG,F(xiàn)G,在 ACD中, EG是它的中位線 ( 已知 E 是 AC的中點(diǎn) ) ,所以同理,由F,G分別是 BD和 AD的中點(diǎn),從而,F(xiàn)G是 ABD的中位線,所以在 EFG中,EFEG-FG 由,例 5 如圖 2-59 所示梯形 ABCD中, ABCD,E 為 BC的中點(diǎn), AD=DC+AB求證: DE AE分析本題等價(jià)于證明AED是直角三角形,其中AED=90°在 E 點(diǎn)( 即直角三角形的直角頂點(diǎn)) 是梯形一腰中點(diǎn)的啟發(fā)下,添梯形的中位線作為輔助線,若能證明, 該中位線是直角三角形AED的斜邊 ( 即梯

8、形另一腰 ) 的一半,則問(wèn)題獲解證取梯形另一腰AD的中點(diǎn) F,連接 EF,則 EF 是梯形 ABCD的中位線,所以因?yàn)?AD=AB+CD,所以從而學(xué)習(xí)必備歡迎下載 1=2, 3=4,所以 2+3=1+4=90°( ADE的內(nèi)角和等于 180° ) 從而 AED=2+3=90°,所以 DE AE例 6如圖2-60所示ABC外一條直線l ,D, E,F(xiàn) 分別是三邊的中點(diǎn),AA1 ,F(xiàn)F1,DD1, EE1 都垂直l 于A1, F1,D1 ,E1 求證:AA1 +EE1=FF1+DD1分析顯然 ADEF是平行四邊形,對(duì)角線的交點(diǎn)O平分這兩條對(duì)角線,OO1恰是兩個(gè)梯形的公

9、共中位線利用中位線定理可證證 連接 EF,EA,ED由中位線定理知, EFAD,DEAF,所以 ADEF是平行四邊形,它的對(duì)角線 AE, DF互相平分,設(shè)它們交于 O,作 OO1l 于 O1,則 OO1 是梯形 AA1 E1 E 及 FF1D1D的公共中位線,所以即 AA1 +EE1=FF1+DD1練習(xí)十四1 已知 ABC中, D 為 AB的中點(diǎn), E 為 AC上一點(diǎn), AE=2CE,CD,BE 交于 O點(diǎn), OE=2厘米求BO的長(zhǎng)2已知 ABC中, BD,CE分別是 ABC, ACB的平分線, AHBD于 H,AFCE于 F若 AB=14厘米, AC=8厘米, BC=18厘米,求 FH的長(zhǎng)學(xué)習(xí)必備歡迎下載3已知在 ABC中, ABAC, AD BC于 D, E, F,G分別是 AB,BC,AC的中點(diǎn)求證:BFE= EGD4如圖 2-61 所示在四邊形ABCD中, AD=BC,E,F(xiàn) 分別是 CD,AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)AD,BC,分別交FE 的延長(zhǎng)線于H,G求證: AHF= BGF5在 ABC中, AHBC于 H, D, E,F(xiàn) 分別是 BC,CA, AB的中

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