垂直于弦的直徑(3)

1、甕安第三中學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)垂徑定理蔡邦琴2016 年 11月 14 日垂徑定理授課學(xué)科數(shù)學(xué) 授課班級 九（ 7）班 1 課時時數(shù)設(shè)計(jì)者蔡邦琴所屬學(xué)校甕安第三中學(xué)本節(jié)（課）教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課要研究的是圓的軸對稱性與垂徑定理及簡單應(yīng)用，垂徑定理既是前面圓的性質(zhì)的重要體現(xiàn)，是圓的軸對稱性的具體化，也是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時也是為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)，所以它在教材中處于非常重要的位置。本節(jié)（課）教學(xué)目標(biāo)知識和技能：通過觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對稱性；掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問題；掌握輔助線的作法過圓心作一條與弦垂直的線段。過程

2、和方法：通過定理探究，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力；向?qū)W生滲透 “由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。情感態(tài)度和價值觀：激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣和欲望，以及對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育學(xué)習(xí)者特征分析一般特征：學(xué)生是農(nóng)村校的九年級學(xué)生，班級學(xué)生在學(xué)習(xí)方面之間存在一定的差異；但學(xué)生對生活中隱含的數(shù)學(xué)問題興趣濃厚。初始能力：學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí) “圓的認(rèn)識 ”和 “軸對稱圖形 ”時，已經(jīng)對圓的軸對稱性有了基本的認(rèn)識與了解。但對對稱軸及軸對稱的性質(zhì)應(yīng)用理解不足。2信息素養(yǎng)：大部分學(xué)生的信息素養(yǎng)一般。知識點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)描述知識點(diǎn)編學(xué)習(xí)號目標(biāo)1感知2理解3理解4應(yīng)用5應(yīng)用6理解教學(xué)重點(diǎn)和難

3、點(diǎn)具體描述語句讓學(xué)生從一些簡單實(shí)例中不斷體會從現(xiàn)實(shí)世界中尋找數(shù)學(xué)模型,建立數(shù)學(xué)關(guān)系的方法.學(xué)生通過線段AB 的運(yùn)動變換很自然地渡到垂直于弦的直徑，經(jīng)歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實(shí)驗(yàn)- 觀察 - 分析 - 猜想，主動地探索垂徑定理的知識能通過教師的引導(dǎo)對上述的猜想進(jìn)行證明，并通過觀察定理的變式圖形加深對定理的理解和掌握通過題組訓(xùn)練使學(xué)生對垂徑定理有了更進(jìn)一步認(rèn)識，并掌握了有關(guān)計(jì)算、證明等方面的簡單應(yīng)用引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識加以解決，注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力師生共同回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，有助于學(xué)生將知識系統(tǒng)化，條理化，幫助學(xué)生全面理解、掌握所學(xué)知識項(xiàng)目內(nèi)容解決措施通過動手操作，對比已有的知識，從

4、一般到特殊的方法讓教學(xué)重點(diǎn)垂徑定理及其應(yīng)用學(xué)生經(jīng)歷了動手操作、觀察、猜想、歸納等方法垂徑定理的證明與垂徑通過學(xué)生動手做“找圓心 ”的游戲再利用多媒體播放整個折教學(xué)難點(diǎn)定理的理解及靈活應(yīng)疊過程用 .3教學(xué)環(huán)境要求1每個學(xué)生準(zhǔn)備若干張圓形紙片；2教師自制的多媒體課件；3 上課環(huán)境為多媒體大屏幕環(huán)境。教學(xué)媒體（資源）選擇知識點(diǎn)編學(xué)習(xí)媒體媒體內(nèi)容要點(diǎn)號目標(biāo)類型1感知圖片欣賞圖片動手折疊圓形2理解 紙片及教師提紙片出的問題圖片的折圖片3理解 疊演示得出定文本理的猜想教學(xué)使用方占用媒體所得結(jié)論作用式時間來源IG感知趙州橋1 分鐘下載圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線A F 3分鐘自制（或直徑所在的直線）

5、都是它的對稱軸CF得出定理3 分鐘自制媒體在教學(xué)中的作用分為：A. 提供事實(shí)，建立經(jīng)驗(yàn)；B.創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)動機(jī)；C.舉例驗(yàn)證，建立概念；D.提供示范，正確操作；E.呈現(xiàn)過程，形成表象；F.演繹原理，啟發(fā)思維；G.設(shè)難置疑，引起思辨；H.展示事例，開闊視野；I. 欣賞審美，陶冶情操；J.歸納總結(jié)，復(fù)習(xí)鞏固；K.自定義。媒體的使用方式包括：A.設(shè)疑 播放 講解； B.設(shè)疑 播放 討論； C.講解 播放 概括； D. 講解 播放 舉例； E.播放 提問 講解； F.播放 討論 總結(jié)； G.邊播放、邊講解；H. 邊播放、邊議論； I. 學(xué)習(xí)者自己操作媒體進(jìn)行學(xué)習(xí)；J.自定義。板書設(shè)計(jì)課題：垂徑定理4垂

6、徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（ 1 ）CD 過圓心（ 2） CD AB 于 E ，則（ a） AE=BE （b ） AD=BD （c）AC=BC垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（ 1 ）CD 過圓心（ 2） AE=BE （ AB 不是直徑）則（a ）CD AB 于 E (b ）AD=BD （ c）AC=BC2）垂徑定理的應(yīng)用：（ 1 ）解決有關(guān)弦、弧、半徑等問題的計(jì)算、證明（和作圖）（ 2 ）解決某些實(shí)際問題（如拱橋等）強(qiáng)化應(yīng)用意識。（ 3）常用的輔助線：（ 1）作半徑； （ 2）過圓心作弦的垂線段。（ 4）常

7、用解法：（ 1）勾股定理 ；（ 2）解直角三角形教學(xué)策略闡述1.情景創(chuàng)設(shè)策略：通過生活中的圖片，有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和求知欲，創(chuàng)設(shè)寬松活潑的課堂教學(xué)氣氛，維持學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)。2類比啟發(fā)策略：在完成教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，通過設(shè)置與生活實(shí)際緊密聯(lián)系的問題情境，鞏固提高學(xué)生運(yùn)用知識解決生活問題的能力。3引導(dǎo)探究策略：學(xué)生通過小組合作，探索出垂徑定理，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。課堂教學(xué)過程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教學(xué)教學(xué)教師的活動學(xué)生的活動設(shè)計(jì)意圖、依據(jù)環(huán)節(jié)媒體1 介紹和展示中國石聆聽背掛圖以同學(xué)們所熟知的趙州橋入拱橋中由隋代工匠李春建景介紹和欣賞手 , 并從該實(shí)例中建立與本課題密一情景導(dǎo)造的趙州橋（如掛圖）。石拱橋的圖

8、切有關(guān)的數(shù)學(xué)問題 .這樣既能激發(fā)入，激疑2 該實(shí)例中建立與本形，并思考教學(xué)生的興趣 ,又能引發(fā)學(xué)生更深層引趣課題密切有關(guān)的數(shù)學(xué)問題師提出的問題次的思考 .使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)總是與現(xiàn)實(shí)問題密不可分 , 將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化 , 可讓學(xué)生從一些簡單實(shí)例5（二嘗試誘導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理1、活動 1：讓學(xué)生學(xué)生通拿出事先準(zhǔn)備好的圓形紙過找圓心的游片，想想能否通過折疊的戲復(fù)習(xí)了圓的方法找到該圓的圓心？為軸對稱性什么？學(xué)生通2、教師演示線段 AB過線段 AB 的的運(yùn)動變換。運(yùn)動變換很自3、讓學(xué)生大膽提出然地渡到垂直猜想。于弦的直徑，經(jīng)歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實(shí)驗(yàn) - 觀察 -分析 - 猜想，主動地探索垂徑定理

9、的知識中不斷體會從現(xiàn)實(shí)世界中尋找數(shù)學(xué)模型 , 建立數(shù)學(xué)關(guān)系的方法 .利教學(xué)內(nèi)容重新整合，將圓的用多軸對稱性的學(xué)習(xí)變成了操作性強(qiáng)，媒體又具有趣味性的 “找圓心 ”問題，激播放發(fā)了學(xué)生的求知欲望，調(diào)動了學(xué)生折疊學(xué)習(xí)的積極性，通過線段AB 的運(yùn)過程動變換很自然地渡到垂直于弦的直和線徑，讓學(xué)生經(jīng)歷了由特殊到一般的段 AB 探索過程，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)的運(yùn) 律，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn) - 觀察 -分動變 析 - 猜想，主動地探索垂徑定理的換過 知識。這一過程突出知識地產(chǎn)生過程程，教會學(xué)生動眼看、動手做、動腦想、動口說，主動參與到教學(xué)活動中，這樣做有利于發(fā)揮學(xué)生的主動性，發(fā)展他們的創(chuàng)造性，為達(dá)到本課的教學(xué)目標(biāo)奠

10、定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)教師板書出已知、求學(xué)生在1、在學(xué)生動手操作 折紙和證并引導(dǎo)學(xué)生從以下兩方教師的引導(dǎo)下課件演示的基礎(chǔ)上，利用圓的軸對面尋找證明思路，然后利進(jìn)行定理的證稱性，采用疊合法證明垂徑定理是用疊合法即可證出。明學(xué)生容易接受的，根據(jù)上面的證明，請根據(jù)上目的是既使學(xué)生重視證明表學(xué)生自己用文字語言和符面的證明，學(xué)述，又加深對它的發(fā)現(xiàn)與理解。三引導(dǎo)探號語言進(jìn)行歸納，并將其生自己用文字2、讓學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn) 觀察究，證明命名為 “垂徑定理 ”。語言和符號語猜想 證明，學(xué)生的思維逐步被定理讓學(xué)生觀察圖形（如言進(jìn)行定理歸展開，現(xiàn)在可以引導(dǎo)學(xué)生證明并歸6圖 4(a)(d)）中， AB 是納O 的弦， CD 是

11、 O 的學(xué)生觀弦，它們是否適用于“垂察教師給出的徑定理 ”？若不適用，說定理的變式圖明理由；若適用，能得到形，以強(qiáng)化對什么結(jié)論。定理基本圖形的理解1、教師出示例題：在教師例 1 如圖，已知在 O的分析引導(dǎo)下中，弦 AB 的長 8cm ，圓學(xué)會利用垂徑心 O到 AB的距離為定理解決相關(guān)3cm ，求 O 的半徑 .的數(shù)學(xué)問題講完例 1 后，教師把握解總結(jié)：半徑、圓心到弦的決此類問題的距離及弦長三者有何關(guān)關(guān)鍵點(diǎn)四例題示系？范，變式2、例 2 在例 1圖形練習(xí)的基礎(chǔ)上，以 O 的圓心再畫一個圓交弦 AB 于C、 D，則 AB 與 CD 可能存在的關(guān)系？試證明教師總結(jié)：在圓中，解弦的有關(guān)問題時，常常需要

12、作 “垂直于弦的直徑 ”作為輔助線，實(shí)際上，往往只須從圓心作一條與弦納定理，歸納定理時采用了文字語言和符號語言兩種形式3、強(qiáng)化對基本圖形的理解，從特殊到一般，培養(yǎng)學(xué)對幾何圖形的化歸思維能力。幾何定理中文字語言、符號語言，圖形語言的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)換也是學(xué)生應(yīng)具備的能力。將例 2 作為例 1 的延伸，滲透了從 “特殊 ”到 “一般 ”解題思想方法，使學(xué)生體會到由淺到深，由表及里的學(xué)習(xí)過程 ，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生的解法要突出“七字口訣 ”的重要性及垂徑定理的優(yōu)越性， .通過題組訓(xùn)練使學(xué)生對垂徑定理有了更進(jìn)一步認(rèn)識，并掌握了有關(guān)計(jì)算、證明等方面的簡單應(yīng)用，教師教學(xué)時應(yīng)突出作圓心到弦的垂線段，是應(yīng)

13、用垂徑定理時常用的添加輔助線方法。7垂直的線段。教師出示課前所留的學(xué)生獨(dú)數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，又應(yīng)用于有關(guān)趙州橋橋拱半徑的問立思考，當(dāng)堂實(shí)踐。在例題中，老師把新課引入題。練習(xí)的實(shí)際問題，在結(jié)束前引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)趙州橋的橋拱呈圓弧用所學(xué)知識加以解決，注重培養(yǎng)學(xué)五鞏固練形的（如圖 1 ），它的跨生解決實(shí)際問題的能力。首尾呼習(xí) 化疑度（弧所對的弦長）為應(yīng)，形成一個課堂教學(xué)的整體。解難37.4 米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦 AB 的距離，也叫弓高）為 7.2 米。請問：橋拱的半徑（即 AB 所在圓的半徑）是多少？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你小組討師生共同回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，有有哪些想法和收獲？論后師生共同助于學(xué)生將知識系統(tǒng)化，條理化，

14、六課堂回小結(jié)幫助學(xué)生全面理解、掌握所學(xué)知顧 畫龍識，同時可說明弦的中點(diǎn)、弧的中點(diǎn)睛點(diǎn)都集中在垂直于弦的直徑上，對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美育教育。結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情及時鞏固知識，達(dá)到課堂內(nèi)容的延（七況，為了更好地因材施伸，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)課后作業(yè)教，我的作業(yè)題分為必做生思維的廣度，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)題與選做題，習(xí)習(xí)慣及思維品質(zhì)。個性化教學(xué)為學(xué)有余力的學(xué)生所做的調(diào)整:為了更好地因材施教，我的作業(yè)題分為必做題與選做題，選做題：有一石拱橋是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m ，水面到拱頂距離CD=18m ，當(dāng)洪水泛濫時，水面寬MN=32m 是否需要采取緊急措施？請說明問題8為需要幫助的學(xué)生所做

15、的調(diào)整:教師參與到討論當(dāng)中，做弱勢小組的組織者和指導(dǎo)者形成性檢測知識點(diǎn)編學(xué)習(xí)檢測題 的內(nèi) 容號目標(biāo)讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的圓形紙片，想想能否通過折疊的方法找到該圓1理解的圓心？為什么？根據(jù)上面的證明，請學(xué)生自己用文字語言和符號語言進(jìn)行歸納，并將其2應(yīng)用命名為 “垂徑定理 ”與.同伴交流。思考、探究趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為3遷移37.4 米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦AB 的距離，也叫弓高）為7.2 米。請問：橋拱的半徑（即AB 所在圓的半徑）是多少？形成性評價形成性練習(xí)題中的基礎(chǔ)題完成得很好，但對于知識遷移的思考題，部分學(xué)生解答得不是特別好。通過課堂教學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的知識點(diǎn)掌握較好，學(xué)習(xí)中投入性與主動性非常高，也樂于發(fā)表自己的見解，取得了很好的教學(xué)效果。多媒體課件能較好的解決教學(xué)的重難點(diǎn)，