求二面角平面角的方法精編版

1、最新資料推薦尋找二面角的平面角的方法二面角是高中立體幾何中的一個重要內(nèi)容，也是一個難點對于二面角方面的問題，學(xué)生往往無從下手，他們 并不是不會構(gòu)造三角形或解三角形，而是沒有掌握尋找二面角的平面角的方法.我們試將尋找二面角的平面角的方法歸納為以下六種類型.1.1二面角的相關(guān)概念新教材在二面角中給出的定義如下：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角定義只給出二面角的定性描述，關(guān)于二面角的定量刻畫還必須放到二面角的 平面角中去研究教材如下給出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角:的棱上任取一點 0,分別在兩個半平面內(nèi)作射線 AO _ I, B0 _丨，則.A0B為二面角:-的

2、平面角2.二面角的求解方法對二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，從而將三維空間中的求角問題轉(zhuǎn)化為二維空間并可以通過三角形的邊角問題加以解決定位出二面角為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，下面就二面角求解的步驟做初步介紹：一、“找”：找出圖形中二面角，若不能直接找到可以通過作輔助線補全圖形定位二面角的平面角二、“證”：證明所找出的二面角就是該二面角的平面角三、“算”：計算出該平面角由于定位二面角的難度較大，對于求解二面角還有一種思路就是繞開定位二面角這一環(huán)節(jié)，通過一些等價的結(jié)論或公式或用空間向量等方法來直接求出二面角的大小.本文將根據(jù)這兩種解題思路對二面角的解題方法做一一介紹2.1定位二面角的平面角，求解二面

3、角二面角常見題型中根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角.對于前者的二面角的定位通常采用找點、連線或平移等手段來定位出二面角的平面角；而對于無棱二面角我們還必須通過構(gòu)造圖形如延展 平面或找公垂面等方法使其有“無棱”而“現(xiàn)棱”再進一步定位二面角的平面角一、根據(jù)平面角的定義找出二面角的平面角例1 在60的二面角:-a -'的兩個面內(nèi)，分別有 A和B兩點已知 A和B到棱的距離分別為2和4,且a線段AB =10，試求：(1) 直線AB與棱a所構(gòu)成的角的正弦值；(2) 直線AB與平面所構(gòu)成的角的正弦值.分析：求解這道題，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪兒.如果解

4、決了這個問題，這道題也就解決了一半.根據(jù)題意，在平面'內(nèi)作AD 一 a ；在平面內(nèi)作BE 一，CD/EB AC 可以證明CD a,則由二面角的平面角的定義，可知 ADC為二面角 的平面角.以下求解略.例1 正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，求二面角 A-BD-C1的大小為 E11最新資料推薦COS-PDA =、根據(jù)三垂線定理找出二面角的平面角例2(2006年江蘇試題)如圖2(1)，在正三角形 ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC上的點，滿足 AE :EB=CF : FA=CP : BP=1 : 2如圖 2(2),將厶 AEF 折起到厶A1EF的位置，使二面角 A1-EF-B

5、成直二面角，連 接 A1B、A1P.(I )與(H )略；(川)求二面角B-A1P-F的余弦值tan/ COCi= . 2分析與略解：在例1中，圖形的對稱和諧狀態(tài)對解題產(chǎn)生了很好的啟迪作用，在這里更離不開圖形的這種對稱和諧性 若取BP的中點Q,連接EQ，則在正三角形 ABC中，很容易證得 BEQPEQBA PEFA AEF ,那么在圖 2(2)中，有 AiQ=AiF作 FM 丄 AiP 于 M ,連接 QH、QF ,則易得 AiQPA AiFP, QMP FMP，所以/ PMQ= / PMF=90o,/ QMF為二面角 B-A iP-F的平面角，使題解取得了突破性的進展.設(shè)正三角形的邊長為 3

6、,依次可求得 AiP= 5 , QM=FM= 空，在 QMF中，由余弦定理得 cos/ QMF= 一丄。582011廣東高考理18.(本小題滿分13分)如圖5在錐體P-ABCD中，ABCD是邊長為1的菱形，且/ DAB=60 , PA = PD = 2 ,pb=2, e,F 分別是 BC,PC 的中點(1)證明：AD 一平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由(1)知.PGB為二面角P-AD-B的平面角,在 Rt PGA中，PG2LT W24；在 R t B G中 ,2 2 1BG2 =1 2-（丄）=23二.24PG2 BG2 - PB242在 PGB中，cos PGB

7、=2PG BG7例 2 在如圖 3 所示的三棱錐 P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=2,BC2=、2 ,PA= 2 .求二面角 P-BC-A 的大小.解：作 BC 中點 D,連接 PD,AD.因 PB=PC=AB=AC知 PQBC,AdBC,又有面 PBC與面 ABC共棱可得/ PDA為二面角P-BC-A的平面角而AB=2,BC=2,2 ,易知 AD=PD= 2 ,在 RT?PAD中,2 2 2PD AD - PA2PD AD所以二面角P-BC-A的大小為60 .此法最基本的一個模型為：如圖3，設(shè)銳二面角-：，過面3圖3最新資料推薦內(nèi)一點P作PA -于A,作AB丄I于B,連接PB,由三垂

8、線定理得 PB 丄I，則/ PBA為二面角-1 - ：的平面角，故稱此法為三垂線法 .例2如圖，在平面：內(nèi)有一條直線AC與平面成30 , AC與棱BD成45 ,求平面與平面：的二面 角的大小.分析：找二面角的平面角，可過 A作AF _ BD ； AE _平面，連結(jié)FE .由三垂線定理可證BD _ EF，則一 AFE為二面角的平面角.總結(jié)：（1）如果兩個平面相交，有過一個平面內(nèi)的一點與另一個平面垂直的垂線，可過這一點向棱作垂線，連 結(jié)兩個垂足.應(yīng)用三垂線定理可證明兩個垂足的連線與棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角（2）在應(yīng)用三垂線定理尋找二面角的平面角時，注意“作”、“連”、“證”，即“作AF

9、丄BD ”、“連結(jié)EF ”、“證明 EF _ BD ”.例3（2006年陜西試題）如圖4，平面丄平面1Q直線I上的射影為Ai,點B在I的射影為Bi,已知AB=2 ,' =l, A ： , B AA i=i , BBi= .2,圖4（I ）略；（H ）二面角Ai-AB Bi的大小.分析與略解：所求二面角的棱為AB，不像圖3的那樣一看就明白的狀態(tài)，但本質(zhì)卻是一樣的，對本質(zhì)的觀察能力反映的是思維的深刻性作AiE丄ABi于ABi于E,則可證 AiE丄平面 ABiB.過E作EF丄AB交AB于F，連接 AiF，則得 AiF丄AB ,/ AiFE就是所求二面角的平面角依次可求得 ABi=BiB= 2

10、, AiB= 3 ,、2AiE= 23AiF=，則在 Rt AiEF 中,2sin/ AiFE=A|=申A iF 35例2.（2009山東卷理）如圖，在直四棱柱 ABCD-A iBiCiDi中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD , AB=4, BC=CD=2,AA i =2, E、Ei、F 分別是棱 AD、AA i、AB 的中點。（1）證明：直線EEi/平面FCCi ；（2）求二面角B-FCi-C的余弦值。證（i）略解（2）因為 AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱 AB 的中點，所以 BF=BC=CF, BCF 為 正三角形 取CF的中點O,則OB丄CF,又因為直四棱柱 ABCD-A

11、iBiCiDi中,CCi丄平面ABCD,所以CCi丄BO,所以O(shè)B丄平面CCiF,過O在平面CCiF內(nèi)作OP丄CiF,垂足為P連接BP則/ OPB為二 面角B-FC i -C的一個平面角，在厶BCF為正三角形中，OB =咅3，在 Rt CCiF 中， OPFs CCiF,vOPCCi OFCiFAFB最新資料推薦B1圖711OP122=22在 Rt OPF中，BP = ,OP2 OB2OPcos._ OPB 二BP=二，所以二7面角B-FC 1-C的余弦值為練習(xí)2 （2008天津）如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形.已知 AB =3, AD =2,PA =2, PD =2、.

12、 2,. PAB = 60（I）證明AD _平面PAB ;（n）求異面直線 PC與AD所成的角的大?。唬ùǎ┣蠖娼?P - BD - A的大小.分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD丄平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面 PABL平面ABCD點P就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面 ABCD勺垂線，于是可形成垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角 P - BD - A的大小為arctan）4例3在正方體 ABCD -AB1C1D1中，O1為面A1B1C1D1中心，求二面角O1 - AC1 - D1 的大小.解：在正方體

13、 ABCD - A1B1C1D1 中 B1D1 一 A1C1,且 AQ1 一 B1D1, B1D1 面 A1B1C1D1,故 B1D1 _ AC1, B1 D _ A1C1又 A1C1, AG 面 AC 1A1,可知 B1D1 _ AC1A過D1作D1 _AC1于M，連接O1 M則由三垂線（逆）定理可知D1MO1為二面角01 - AC1 - D1的平面角.不妨令A(yù)A（ = 2 ,2 lL于是，有 D1M6 , OO - 2 , O1M3/O1M 1co D1MO11D1M 2.6可得C1所以二面角。1 - AC1 - D1的大小為60三、作二面角棱的垂面，垂面與二面角的兩個面的兩條交線所構(gòu)成的

14、角，即為二面角的平面角例3如圖1，已知P為-CD- 內(nèi)的一點，PA 于A點,8例4空間的點P到二面角-丨- 一：的面、-及棱I的距離分別為4、3、2 39，求二面角:-I -:的大小.3分析與略解：如圖 5，分別作PA丄于A , PB丄于B，則易知I丄平面PAB，設(shè)I門平面PAB=C，連接PC,貝U I丄PC.分別在 Rt PAC、Rt PBC 中，PC=2 393PA=4, PB=3，貝U AC=2、33BC=3PA 丄 a 二 PA丄 CD二 CD _1_ PB丄P于B點，如果NAPB =n 試求二面角°-CD-P的平面角分析：PB丄P=PB丄CD平面 PAB 因此只要把平面PA

15、B與平面、：的交線畫出來即可證明.AEB為-CD -：的平面角，ZAEB =180 -n （如圖 2）.注意：這種類型的題，如果過A作AE CD ,垂足為E ,連結(jié)EB ,我們還必須證明EB CD，及AEBP為 平面圖形，這樣做起來比較麻煩.例4 已知斜三棱柱ABC -Aibici中，平面ABi與平面ACi構(gòu)成的二面角的平面角為30，平面ABi與平面BC1構(gòu)成的二面角為7° .試求平面ACl與平面BC1構(gòu)成的二面角的大小.分析：作三棱柱的直截面，可得 DEF，其三個內(nèi)角分別為斜三棱柱的三個側(cè)面兩 兩構(gòu)成的二面角的平面角.總結(jié)：對棱柱而言，其直截面與各個側(cè)棱的交點所形成的多邊形的各個內(nèi)

16、角，分別 為棱柱相鄰側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角.A1因為P、A、C、B四點共圓，且 PC為直徑，設(shè)PC=2R，二面角-丨- 1的大小為-.分別在 PAB、 ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2 AC BCcos J =PA2+PB2-2 PA PBcos（二-）, 則可解得cosn= -1，二=120°,二面角二- - 的大小為120o.2例5 如圖7,在正三棱柱 ABC -A1B1C1中,截面A1 EC 側(cè)面AC1,若AA A1B1,求平面A1EC與平面A B1C1所成二面角（銳角）的大小 解：設(shè)A1C AC1 =G .因為面A1C1G與面AC1重合，由題意面AGG 面

17、AEC ,而A為面A1EC與面ABG相交于棱上一點且A 面AGG，所以面A1C1G為所求二面角的一垂面，.GA1C1為所求二面角的平面角在正三棱柱 ABC - AiBiG 中，AAi 二 ABi,可知.GAiCi = 45 故所求二面角的大小為 45 .四、平移平面法（無棱的一種）例5如圖，正方體ABCD - ABCQ中，e為AAi的中點，H為CCi上的點，且CH : CiH "2 .設(shè) 正方體的棱長為a ,求平面DiEH與底面AiBiCiDi構(gòu)成的銳角的正切.分析：本題中，僅僅知道二面角棱上的一點Di，在這種情況下，尋找二面角的平面角較困難.根據(jù)平面平移不改變它與另一個平面構(gòu)成的角

18、的大小的原理，如果 能把二面角中的一個平面平移，找出輔助平面與另一個平面的交線，就可以作出二面 角的平面角有了平面角之后，只需要進行常規(guī)構(gòu)造三角形和解三角形的計算，就可 以解決問題了.如圖，過點E作EM / AiDi與DiD相交于M點，過M點作MN _ CP，與DiH相交于N點.可證平面EMN /平面AiBiCiDi .這樣，求平面DiEH與平面ABiCiDi的二面角的平面角就轉(zhuǎn)化為求平面DiEH與平面EMN的二面角的平面角.顯然EN為這兩個平面的交線，過點M 作MF 一 EN , F為垂足，連結(jié)DiF，可證。汀一 EN .則.DM為本題要尋找的二 面角.圖8例6 （本題關(guān)鍵在利用平移棱的垂線

19、進行解題）在正三棱柱ABC - Ai BiCi中，D是AC的中點，ABi _ BC求二面角 D - BCi -C的大小.解：作AE _ BC于E且交BD于F,則AE_平面BBiCiC ,連接BiE , CiB ,并記它們的交點為0連接OF,由0E0BiBE EF衛(wèi)皂二竺，知OF/B/.Bi CiFA由 ABi _ BCi知 OF_BCi,OE_BCi，而 BBiE =/CBCi =90 - BEO ,RT? BBiE RT? BCCi,BBiBEBEBCCCiBiBBiE2BiB2BE因此故有 BBiBC BE22用（匹）心BC2224可得 EOF =/EBiA = 45最新資料推薦C1B1故

20、二面角D -BC1 -C的大小為45例7 在棱長為1的正方體 ABCD - ABjCjDj中，E是BC的中點，試求面B1ED與平面ABB1A1所成二面角的大小解：取AD1中點F,連FD,FB;取AD中點K連接A?<,BK,A応.顯然,DE応F為平行四邊形.因為A?K/FD,KBDE,知平面 AXB/ 平面 DEBF。取A?3中點0,連接0K,0A,由 A?K=BK,AA=BA知，0K_A?3,0A_A?3故/ AOK為二面角的平面角.OAOB.OK BKOB324可得 cos/AOK故平面B1ED與平面ABB1A1所成二面角的大小為 arccos .3五、找垂面，作垂線BGCB和平面BC

21、1M所構(gòu)成的銳二面角的正切.例6如圖，正方體ABCD - AjBGD中，m為棱AD的中點，求平面分析：平面AC與二面角M - BC1 -C的一個面BQ垂直，與另一個平面MBC1相交，過M點作MP 一 BC，垂足為P，過P作PN BC，交BC1于N點，連結(jié)MN，由三垂線定理可證MN _ BO，則.MNP為二面角M-BC1-C的平面角.總結(jié)：當(dāng)一個平面與二面角的一個平面垂直，與另一個平面相交時，往往過這個面上的一點作這兩個垂直平面交線的垂線，再過垂足作二面角棱的垂線根據(jù)三垂線定理即可證明，并找出二面角的平面角.再如圖，要找：-a-：所構(gòu)成的二面角的平面角，可找平面-'，且 '二b

22、,： =1，過b上任何一點A作AB _ I，垂足為B，過B作BC _，垂足為C ,連結(jié)AC ,可證一 ACB為'-a- -的平面角.六、根據(jù)特殊圖形的性質(zhì)找二面角的平面角例7 如圖，空間四邊形 ABCD中，AB = AD = 3 , BC = CD = 4 ,BD =2 , AC =5 .試求A-BD-C二面角的余弦值.分析：如圖1, AB=AD , BC二CD，則 ABD和厶BDC為等腰三角形過 A作AE _ BD，垂足為E，連結(jié)CE .根據(jù)三線合一，且E為BD中點，可證CE 一 BD，則一 AEC為二面角A- BD-C的平面角.2. 全等三角形例8如圖，已知空間四邊形 ABCD ,

23、 AB = BC = 6 , AD = DC = 4 ,BD = 8 , AC =6 .試求A- BD -C的余弦值.分析：過A作AE _ BD，垂足為E，連結(jié)CE .根據(jù)已知條件， AED和 CED全等，可證CE _ BD，則/AEC為二面角A- BD - C的平面角.3. 二面角的棱蛻化成一點例9如圖，四棱錐A-BCED中，DB和EC與面ABC垂直， ABC為正三角形.(1) 若BC二EC = BD時，求面ADE與面ABC的夾角；(2) 若BC =EC =2BD時，求面ADE與面ABC的夾角.分析：如圖，面ADE與面ABC的交線蛻化成一點，但面ADE與面ABC與面DC相交.如果三個平面兩兩

24、相交，它們可能有三種情況：(1)交線為一點；(2) 一條交線；(3)三條交線互相平行.在圖 1中，兩條交線BC與DE互相平行，所以肯定有過 A且平行于DE 的一條交線.可過A作AM / DE，平面ADE與平面ABC的交線即為AM .過A作AN DE于N，過A作AF BC于F .可證AN _ AM , AF _ AM，則乙NAF為面ADE與面ABC的夾角.如圖，DE與BC不平行且相交.根據(jù)三個平面兩兩相交可能出現(xiàn)的三種情況，這 三個面的交線為一點.延長 ED、CB相交于G點，連結(jié)AG . AG即為平面ADE與平面ABC的交線，通過一些關(guān)系可證CAE為平面ADE與平面ABC的夾角.通過以上分析和舉

25、例說明，尋找二面角的平面角的方法就比較容易了.只要我們勤 動腦，善觀察，多總結(jié)，抓住問題的特征，找出適當(dāng)?shù)姆椒ǎP(guān)于二面角的平面角的問 題就會迎刃而解.七、面積法(不作二面角求法)如圖1 , 設(shè)二面角 C-BD-C 1的大小為二，15圖6最新資料推薦cos C2O例5如圖1-CO BD S1 = 一CB巳，在某些情況下用此法特別方便.2C2O BDSC1BD26，平面:-外的 AiBiCi在內(nèi)的射影是邊長為 1的正三角形ABC，且AAi=2, BBi=3, CCi=4,求厶AiBiCi所在的平面與平面:-所成銳二面角的大小分析與略解：問題的情境很容易使人想到用面積法，分別在BBi、CCi 取

26、BD=CE=AAi5則厶 AiBiCi AiDE，可求得 AiB 2 , AiCi=.、5 , BiCi= 2，所以等腰 AiBiCi 的面積為. ，又正4ABC的面積為 氾設(shè)所求二面角的大小為 則cosr=n45例4. (2008北京理)如圖，在三棱錐 P-ABC中，AC二BC=2 , ACB = 90；,AP 二 BP 二 AB , PC _ AC .(I)求證：PC _ AB ；(n)求二面角 B - AP -C的大小；分析：本題要求二面角 BAPC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面 對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：(I)證略(n) ： AC 二

27、BC, AP 二 BP , . APC BPC .又 PC AC , PC _ BC .又.ACB =90；，即 AC _BC，且 ACPC =C ,ABP與平面ACP中建立一BC _ 平面 PAC .取AP中點E 連結(jié)BE, CE .AB 二 BP , BE _ AP .7 EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CE _ AP . ACE> ABE在平面 ACP內(nèi)的射影,于是可求得： AB 二 BP = APAC2 CB=2 2 , BE 二AB2 - AE2SM = SaceAE CE J血 Z2 =i,22iiS原 = S ABE =AE EB = 2、2 、6 = ,3設(shè)二面角B -

28、AP -C的大小為二，則cos二=§射S原1 =_33 一 3J 3二面角B - AP -C的大小為二二arccos三3AECi練習(xí)4:如圖5，E為正方體ABCD AiBiCiDi的棱CCi的中點，求平面AB iE和底面 AiBiCiDi所成銳角的余弦值.21分析 平面ABiE與底面AiBiCiDi交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB iE在平面AiBiCiDi上的射影是三角形 AiBiCi，從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。2（答案：所求二面角的余弦值為cose上）.3例iO求正四面體任意兩個

29、面所成二面角的大小 解：如圖i3,正四面體 所成二面角的大小易知s-abc，由正四面體的對稱性，不妨求側(cè)面與底面S Abc-S.SAB = S.saB = S'SBC而S的射影為.abc的中心,所以S.AOB =S.BOC - S COA圖i3于是有cos“ S=魚仏-S S SBC S sab S SBC S SCA 3故正四面體任意兩面所成二面角的大小為iarccos 3例ii如圖i4,在正方體 ABCD - AiBiCiDi中,E為CC中點，F(xiàn)在iBB上,且BF=BB?求平面A?EF在底面ABCD所成二面角的余弦值3解：如圖i4所示，在正方體ABCDA, BiCiDi中，圖i4A

30、i ef在底面abcd內(nèi)的射影為 ACB .由射影面積公式知COST - 二S Abc 6 53故所求二面角的余弦S sA1ef 53值為6、5353八、將無棱二面角轉(zhuǎn)化為有棱二面角直接作出無棱二面角的棱， 將無棱二面角轉(zhuǎn)化為有棱二面角，按有棱二面角來處理，作棱有兩種常用的方法:作交線，由交點得棱；作平行線，即為棱.例3 （ 2008湖南）如圖所示，四棱錐 P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD的中點,PA丄底面 ABCD , PA = 2.（I）證明：平面 PBE丄平面PAB;（n）求平面 pad和平面pbe所成二面角（銳角）的大小 .分析：

31、本題的平面 fad和平面pbe沒有明確的交線，依本法顯然要補充完 整（延長AD、BE相交于點F,連結(jié)PF.）再在完整圖形中的 PF上找一個 適合的點形成二面角的平面角解之。（I）證略解：（n）延長 ad、be相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AH丄PB于H，由（I）知a平面pbe丄平面 PAB所以ah丄平面 pbe.在 Rt ABF 中，因為/ BAF = 60°,所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt FAF中，取PF的中點G,連接 AG.則AG丄FF.連結(jié)HG,由三垂線定理的逆定理得，F(xiàn)F丄HG.所以/ AGH是平面FAD和平面FBE所成二面角的平面角（銳角）在等腰 Rt FAF中

32、,AG亠 PA.2在 Rt FAB 中,PBAP_AB一 AP2AB2所以，在Rt AHG中,sin. AGHAH AG2.55I圖12故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是練習(xí)3已知斜三棱柱 ABC AiBiCi的棱長都是a,側(cè)棱與底面成600的角, 側(cè)面BCCiBi丄底面ABC。（1）求證：AC1± bc ；（2）求平面ABQ1與平面ABC所成的二面角（銳角）的大小。提示：本題需要補棱，可過 A點作CB的平行線L（答案：所成的二面角為 45°）如圖11中只現(xiàn)出兩個局部半平面的一個公共點P,圖中沒有給出二面角的棱.此時,若在二面角的兩個半平面內(nèi)各存在一條直線且

33、相互平行，則過P分別作這兩條直線的垂線 PQ和 PR,則/ QPR就是二面角的平面角.例9如圖12,P-ABCD為正四棱錐，邊長為 a,求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值 解：如圖，過P點作I/AB,則I 面PAB.故在 P-ABCD中有 I / AB,I/CD .所以，1 面PCD,知面PCD 面PAB=I.作AB中點E,CD中點F.連接PE,PF.易知PE/B,PE_|,又 PF_CD,PF_| ,可知/ EPF為所求二面角的平面角.由條件PE=PFa, EF二a，得到2/PE2 +PF2 -EF 21cos-EPF = =_2PE PF61故平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦

34、值為6九、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解， 用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表最新資料推薦示的向量，進行向量計算解題。若二面角.-兩個半平面_：i,-的法向量分別為n 1,n2且知道二面角- 為銳角（鈍角），則,其中二為二面角. -的平面角27定理1設(shè)二面角一丨一:-為.A ： , A , B 二 BI; AE _ 丨于E, BF _ 丨于 F，則，有M圖19文5給出另一結(jié)論:定理2 如圖19,空間任一條直線 L,A,BT T AM AB 一；NM 二 AMA

35、B是直線L上的兩個點，M是空間任一點,MN_L 于 N,則TAB禾U用上述兩結(jié)論我們可以利用空間坐標(biāo)向量計算二面角, 二面角的 平面角與其法向量夾角的誤判，同時又避免了對垂足避免產(chǎn)生M,N坐標(biāo)的判斷.例145如圖20,已知正方形 ABCD和矩形ACEF坐在平面相垂直,AB ="'2,AF =1,M是線段EF中點，求二面角 A-DF-B的大小.圖20解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系C _ xyz， 則 A( 2八 2,0), B(0, .2,0),D( 20,0),F(、2 2,1).T T作AMDF于M,BIDF的延長線于N,則MA與NB所成的角二的大小與二面角 A-DF-B的大小

36、相等MA 二 DA - DM二 DA_“DFDFNB = MADB-DN 二 DBDBFdf DfCOS)=MANBMA NB故二面角A-DF-B的大小為60例12如圖15,在矩形ABCD外存在一點P,使卩蝕面ABCD PA=PB=1,BC=2求二面角 B-PC-D的大小.解：由題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系,貝U A(0,0,0) P(0,0,1) B(1,0,0) C(1,2,0) D(0,2,0)TT為 n (x-i, y1, z1),面 PCD的法向量 n2 =(x2,y2，z2)則有由*21 PB 一 0 = (1,0,1)n1 PC =0r*口n2 PD = 0- /c 彳 ox及 丿二一二 n2 =(0,1,2)n2 PC =0.10，設(shè)面PAC的法向量圖15TTn1門2T T n 1 n2注意到B-PC-D為鈍角，故B-PC-D的大小為V10 衣-arccos5例4: (2009天津卷理)如圖，在五面體 ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, A