物體在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析(畢業(yè)論文)

1、本科畢業(yè)論文題目：物體在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析 目 錄1.引 言 1 2.有心力基本概念及它的性質(zhì)： 1 3.推出動(dòng)力學(xué)方程 2 4.用開(kāi)普勒定律推出引力公式 6 5.兩體問(wèn)題 7 6.結(jié)論 9 7.參考文獻(xiàn) 10 8.致謝 11 物體在有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析摘 要 有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是經(jīng)典力學(xué)和天體力學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題.本文概括地介紹了有心力及其有關(guān)它的一些重要結(jié)論.首先研究質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)，有心力的基本性質(zhì).用動(dòng)力學(xué)方法推導(dǎo)關(guān)于有心力的公式,及在開(kāi)普勒三定律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)萬(wàn)有引力方程.,介紹有心力場(chǎng)在物理學(xué)中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 有心力；動(dòng)力學(xué)；開(kāi)普勒定律；兩體問(wèn)題。本科畢業(yè)生畢業(yè)論文1

2、.引 言經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展是與對(duì)天體運(yùn)行的觀察和研究分不開(kāi)的.早在17世紀(jì)初葉，開(kāi)普勒（J.Kepler）通過(guò)對(duì)太陽(yáng)系各行星運(yùn)動(dòng)的觀察，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)的三個(gè)定律，于1620年發(fā)表在論天體之協(xié)調(diào)（On Celestial Harmonics）一書中.在此基礎(chǔ)上，牛頓建立了著名的萬(wàn)有引力定律.行星繞恒星的運(yùn)動(dòng)屬于所謂“有心運(yùn)動(dòng)”一類的運(yùn)動(dòng).有心運(yùn)動(dòng)是一類常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)，天體的運(yùn)行，原子核外的電子運(yùn)動(dòng)都屬于這類運(yùn)動(dòng).火箭和人造衛(wèi)星的發(fā)射和運(yùn)行都離不開(kāi)對(duì)有心運(yùn)動(dòng)的研究.首先我們介紹有心力的基本概念及它的性質(zhì)，然后利用開(kāi)氏三定律推導(dǎo)出引力公式并對(duì)公式進(jìn)行分析.2.有心力基本概念及它的性質(zhì)： 一般來(lái)講，如果運(yùn)動(dòng)質(zhì)

3、點(diǎn)所受力的作用線始終通過(guò)慣性系中某一個(gè)固定點(diǎn)，則我們就說(shuō)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力是有心力，此固定點(diǎn)稱為力心.有心力的量值，一般是矢徑（即質(zhì)點(diǎn)和力心之間的距離）r的函數(shù)，而力的方向則始終沿著質(zhì)點(diǎn)和力心的連線，凡是趨向定點(diǎn)的是引力，離開(kāi)定點(diǎn)的是斥力。行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的力，電子饒?jiān)雍宿D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的庫(kù)侖引力，近似看做有心力.有心力場(chǎng)是自然界中最普遍、最重要的力場(chǎng)之一.有心力構(gòu)成的力場(chǎng)稱為有心力場(chǎng).我們平時(shí)假定力心不動(dòng)研究有心力場(chǎng)問(wèn)題.這時(shí)以力心作為坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn),變成一個(gè)平面問(wèn)題.質(zhì)點(diǎn)受變力作用而沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，變力所作的總功為 （1） 在平面極坐標(biāo)系中，力所做的功為 （2） 因?yàn)橛行牧χ痪哂袕绞阜较虻姆至?而橫

4、向分量為，故質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)有心力作的功是 (3)這個(gè)頂積分的值只取決于起點(diǎn)和終點(diǎn)的矢徑，與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)，這就證明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐標(biāo)相互平行且應(yīng)滿足,那么角動(dòng)量守恒.這是有心力場(chǎng)的一個(gè)特點(diǎn)，根據(jù)有心力場(chǎng)的特點(diǎn)，下面推導(dǎo)有心力場(chǎng)的動(dòng)力學(xué)方程及加討論。3.推出動(dòng)力學(xué)方程關(guān)于有心運(yùn)動(dòng)我們可以通過(guò)求解角動(dòng)量方程，先得到以時(shí)間t為參量的軌道參量方程，然后削去t得出軌道曲線方程。但也可以一開(kāi)始就在運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間參量t得到軌道微分方程，然后得到軌道曲線方程。由式： 得： (4)令 ，則 (5)并(5)式代入(1)式 對(duì)再求導(dǎo)及整理得： （6）因 （7）這個(gè)方程就是我們要

5、推導(dǎo)出的動(dòng)力學(xué)方程，是二階非線性微分方程。對(duì)此求解可得，從而得到質(zhì)點(diǎn)的軌道方程下面用動(dòng)力學(xué)方程（7）來(lái)研究行星的運(yùn)動(dòng).近似處理：行星只受到太陽(yáng)引力的作用，而忽略行星之間的相互作用. 行星的運(yùn)動(dòng)是在平方反比引力作用下的運(yùn)動(dòng)，則 （8）令，將 （9）其中代入（7）式 又令，則 （10） 可以看以上運(yùn)動(dòng)方程為諧振動(dòng)方程, 其解為 （11）（其中 積分常數(shù)）則 （12）比較,并令,及,.則以上關(guān)系的方程表示行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)作圓錐線曲線運(yùn)動(dòng).如圖所示.有 （13） 離心率e決定軌道形狀,下面我們進(jìn)行定量分析.（1） B點(diǎn)：近日點(diǎn)則對(duì)點(diǎn) 軌道是橢圓（2）, , , 軌道是拋物線（3） 對(duì)B點(diǎn) 故 軌道是雙

6、曲線如何判別圓錐線的類型？下面再進(jìn)一步研究運(yùn)動(dòng)軌道，用能量E來(lái)判據(jù)軌道的類別.利用下面式 （14）其中因 又,此關(guān)系代入以上能量方程得 （15）又考慮和常量,及令求導(dǎo) （16）把（16）代入（15）得： 即 （17）可以看，通過(guò)能量來(lái)判斷軌道的形狀。 符合橢圓軌道（束縛運(yùn)動(dòng)） 符合拋物線軌道（無(wú)限運(yùn)動(dòng)） 符合雙曲線軌道（無(wú)限運(yùn)動(dòng)）可見(jiàn)，能量E是軌道類別的判據(jù).以上討論以為太陽(yáng)靜止不動(dòng)，實(shí)際上太陽(yáng)也有運(yùn)動(dòng)，那么這種情況下引力公式的表達(dá)式如何？下面進(jìn)一步討論此問(wèn)題。4.用開(kāi)普勒定律推出引力公式下面我們從開(kāi)普勒定律推出萬(wàn)有引力定律.開(kāi)普勒以太陽(yáng)為中心的說(shuō)法,提出了下列三條關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的定律.第一定律

7、：行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.第二定律：行星和太陽(yáng)之間的聯(lián)線（矢徑），在相等時(shí)間所掃過(guò)面積相等.第三定律：行星公轉(zhuǎn)的周期的平方和軌道半長(zhǎng)軸的立方成正比.1）由第二定律常量 (18)質(zhì)點(diǎn)掃過(guò)的面積為,兩邊除得 (19)常量，表示行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量,角動(dòng)量是守恒.可以看出行星所受力對(duì)太陽(yáng)的力矩為零.結(jié)論1：行星所受力是有心力，太陽(yáng)在力心.（2）由第一定律，軌道為橢圓,則行星軌道方程為或 求導(dǎo) 代入比耐公式 有心力為 (20)(負(fù)號(hào)說(shuō)明是引力 )這既然說(shuō)明行星所受引力與距離平方成反比,但是與引力公式相比較,式(9)中的和都與行星有關(guān),而是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)的常數(shù).為了說(shuō)明的物理

8、含義實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行再進(jìn)一步討論。根據(jù)以上討論開(kāi)普勒的三定律具有近似性，但它的近似程度到底又多大？下面用兩體問(wèn)題來(lái)解釋。5.兩體問(wèn)題根據(jù)以上討論,開(kāi)普勒定律具有近似性,其中一個(gè)原因就是太陽(yáng)和行星相互吸引,兩者都有加速度,太陽(yáng)并不是靜止不動(dòng)的.太陽(yáng)和行星都有運(yùn)動(dòng),顯然屬于質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.我們現(xiàn)在就對(duì)這個(gè)問(wèn)題作進(jìn)一步的研究.太陽(yáng)對(duì)慣性坐標(biāo)系的動(dòng)力學(xué)方程為 (21)其中點(diǎn)代表某一行星,是行星對(duì)某一貫性坐標(biāo)系原點(diǎn)的位矢,而是太陽(yáng)對(duì)同一坐標(biāo)系原點(diǎn)的位矢.行星對(duì)同一坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程為 (22)為了求行星對(duì)太陽(yáng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,將式(21)乘以,式(22)乘以,然后由后者減去前者，得 （23）因，所以式（24）

9、變?yōu)橄サ?（24）式中, 是行星的質(zhì)量, 是行星對(duì)太陽(yáng)的位矢, 是行星相對(duì)于太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度,而右式則是行星所受的力.這時(shí)可認(rèn)為太陽(yáng)是不動(dòng)的,但它的質(zhì)量卻不等于,而增大為.所以對(duì)所有行星并不一樣.式(24)可寫為 (25)其中這時(shí)太陽(yáng)質(zhì)量仍為,但行星質(zhì)量則不等于m，而減小為或，我們通常把叫做折合質(zhì)量.從(25)式出發(fā),我們就可以對(duì)開(kāi)普勒第三定律進(jìn)行修改. 對(duì)行星: 對(duì)行星： 兩者相除，得 (26)根據(jù)開(kāi)普勒第三定律,式(26)的右方應(yīng)該等于1.故開(kāi)普勒第三定律只具有近似性質(zhì),只在及都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于時(shí)才是正確的.實(shí)際上，太陽(yáng)系中最大的行星是木星，它的質(zhì)量也不過(guò)是太陽(yáng)質(zhì)量的.故如今下角標(biāo)1代表木星，

10、下角標(biāo)2代表太陽(yáng)系中其他行星，因而之比不會(huì)超過(guò)，與1相差甚微。故開(kāi)普勒第三定律雖只具近似性質(zhì)，但是近似程度卻是相當(dāng)高的.，與1相差甚微。故開(kāi)普勒第三定律雖只具近似性質(zhì)6.結(jié)論以上討論可以看有心力是保守力，它主要特點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)所受的有心力場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒，在普通物理教學(xué)中推導(dǎo)出的萬(wàn)有引力公式是以太陽(yáng)靜止不動(dòng)而得出的公式，其中 ， k是對(duì)其它行星無(wú)關(guān)的常量，在本文中利用開(kāi)氏三定律推導(dǎo)出的引力公式中出現(xiàn)的 和 與行星有關(guān)的量，那么理論力學(xué)方法來(lái)推導(dǎo)的引力公式有所不同，在這里太陽(yáng)還是靜止不動(dòng)的，為解決以上差距而引入了兩體問(wèn)題來(lái)解釋近似性，雖然這樣但是近似性還是相當(dāng)高。7.參考文獻(xiàn)1周衍柏 理論力學(xué)教程 高等教育出版社 1986年 2陳世民  理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程 高等教育出版社 2001年3劉連壽 理論物理基礎(chǔ)教程 高等教育出版社 2003年4張建樹(shù)、孫秀泉，張正軍 理論力學(xué) 科學(xué)出版社 2005年5 郭士坤  理論力學(xué)（上，下） 高等教育出版社 1982年6 胡慧玲，林純鎮(zhèn)，吳惟敏  理論力學(xué)基礎(chǔ)教程 高等教育出版