冀教版初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初三上冊(cè)23 章數(shù)據(jù)分析23.1 平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)1、一般地，我們把n 個(gè)數(shù) x1, x2 ,., xn 的和與 n 的比，叫做這n 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平均數(shù)，記作x ，讀作 “x拔”，即x1 (x1.xn ).n2、已知 n 個(gè)數(shù) x1, x2 ,., xn ，若 w1 , w2 ,., wn 為一組正數(shù)，則把x1w1x2 w2. xn wnn 個(gè) 數(shù) x1 , x2 ,., xn 的 加 權(quán) 平 均 數(shù) ，w1w2叫 做.wnw1 , w2 ,., wn 分別叫做這 n 個(gè)數(shù)的權(quán)重，簡(jiǎn)稱權(quán)。23.2 中位數(shù)和眾數(shù)1、一般地，將 n 個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果 n 為奇

2、數(shù)，那么把處于中間位置的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的 中位數(shù)；如果 n 為偶數(shù)，那么把處于中間位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。2、一般地，把一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做 眾數(shù) 。一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一個(gè)，也可能沒有眾數(shù)。23.3 方差設(shè) n 個(gè)數(shù)據(jù) x1 , x2 ,., xn 的平均數(shù)為 x ，各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)偏差的平方分別是( x1x)2 ,( x2x)2 ,., ( xnx) 2 。偏差平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，用 s2 表示，即學(xué)習(xí)必備歡迎下載s21(x1 x)2 ( x2 x) 2. (xn x) 2n當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較分散時(shí)，方差較大；當(dāng)數(shù)據(jù)分布比較集中時(shí)，方差較小。

3、因此，方差的大小反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)（或離散程度）的大小。23.4 用樣本估計(jì)總體由于抽樣的任意性， 即使是相同的樣本容量， 不同樣本的平均數(shù)一般也不同； 當(dāng)樣本容量較小時(shí)， 差異可能還較大。 但是當(dāng)樣本容量增大時(shí)， 樣本的平均數(shù)的波動(dòng)變小，逐漸趨于穩(wěn)定，且與總體的平均數(shù)比較接近。因此，在實(shí)際中經(jīng)常用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)。 同樣的道理， 我們也用樣本的方差估計(jì)總體的方差。24 章 一元二次方程24.1 一元二次方程1、只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2 的整式方程，叫做 一元二次方程 。一元二次方程的一般形式為 ax 2 bx c 0( a 0). 其中， ax2 是二次項(xiàng)， a 是

4、二次項(xiàng)系數(shù)， bx 是一次項(xiàng)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)。一元二次方程的解也叫做這個(gè)方程的根。24.2 解一元二次方程1、配方法：通過(guò)配方，把一元二次方程變形為一邊為含未知數(shù)的一次式的平方，另一邊為常數(shù)， 當(dāng)常數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)， 利用開平方， 將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，從而求出原方程的根。配方時(shí)，先將常數(shù)項(xiàng)移至等號(hào)右邊，然后將二次項(xiàng)系數(shù)化為 1，再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。2、對(duì)于一元二次方程ax2bxc0 ：學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b2 4ac 0 時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)

5、根。我們把 b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0 的根的判別式。3、當(dāng) b24ac0 時(shí) ， 一 元 二 次 方 程 ax 2bxc0 的 兩 實(shí) 數(shù) 根 可 以 用2xbb4ac 求出。這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式。利用求根公2a式解一元二次方程的方法叫做公式法。4、因式分解法：把一元二次方程的 一邊化為 0，另一邊分解成兩個(gè)一次因式的乘積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，從而求出原方程的根。24.3 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系如 果 一 元 二 次 方 程 ax 2bx c0 的 兩 根 分 別 為 x1, x2， 那 么bcx1 x2, x1 x2。aa24.4 一元二次方程的應(yīng)用

6、25章 圖形的相似25.1 比例線段1、如果選用同一度量單位， 量得線段a 和 b 的長(zhǎng)度分別為 m 和 n ，我們就把 m 和n 的比叫做線段 a 和 b 的比，記作 a : bm: n ，或 am 。bn學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、在四條線段 a, b,c, d 中，如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比，即 ac ，我們就把bd這四條線段叫做 成比例線段 ，簡(jiǎn)稱比例線段。此時(shí)也稱這四條線段成比例。3、比例的基本性質(zhì)如果 ac ，那么 adbc 。bd如果 adbc，那么 ac （ b, d0 ）bd特別地，如果 ab ，即 b2ac ，就把 b 叫做 a,c 的比例中項(xiàng)。bc如果 ac.m

7、k ，那么 ac .mkbdnbd .n4、黃金分割在線段 AB 上有一點(diǎn) C，如果點(diǎn) C 把 AB 分成的兩條線段 AC 和 BC 滿足 ACBC ，ABAC那么稱線段 AB 被點(diǎn) C 黃金分割 ，點(diǎn) C 稱為線段 AB 的黃金分割點(diǎn)， AC 稱為黃AB金比。黃金比 AC5 10.618AB2每條線段上的黃金分割點(diǎn)都有兩個(gè)。25.2 平行線分線段成比例（ 1) 基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。ADl 1BEl 2CFl 3對(duì)應(yīng)線段是指兩條直線被一組平行線所截得的線段（AB與DE、BC 與 EF、AC 與 DF)，對(duì)應(yīng)線段成比例是指同一直線上的兩條線段的比，等于另一條直

8、線上與它們對(duì)應(yīng)的線段的比。學(xué)習(xí)必備歡迎下載ABDE,ABDE,BCEFBCEFACDFACDF（ 2）推論 1AEDDEABCBC平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。ADAE,ADAE,BDCEABACDBECABACADEBC（3） 推論 2平行于三角形的一邊， 并且和其他兩邊相交的直線， 所截得的三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。在 ABC 中， DE BC， ADAEDEABACBC學(xué)習(xí)必備歡迎下載25.3 相似三角形（ 1）對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做 相似三角形 ，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的 相似比。如果兩個(gè)三角形相似， 那么它們的

9、對(duì)應(yīng)角相等， 對(duì)應(yīng)邊成比例。（ 2）利用平行線分線段成比例判定兩個(gè)三角形相似平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 （或兩邊的延長(zhǎng)線） 相交，所截得的三角形與原三角形相似。25.4 相似三角形的判定相似三角形的判定定理(1) 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。(2) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。(3) 三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。(4) 直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似。25.5 相似三角形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)定理（ 1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比，都等于相似比。（ 2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。（ 3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。2

10、5.6 相似三角形的應(yīng)用25.7 相似多邊形和圖形的位似學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 1）形狀相同的圖形稱為 相似圖形 。一般地，如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例， 那么這兩個(gè)多邊形就叫做 相似多邊形 。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比。（ 2）兩個(gè)圖形不僅相似，而且經(jīng)過(guò)每對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的直線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或重合），我們把這樣的兩個(gè)圖形稱為 位似圖形 ，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)稱為 位似中心 ，這時(shí)的相似比又稱 位似比。（ 3）位似圖形的畫法確定位似中心（位似中心可以在圖形外部、圖形內(nèi)部或圖形的邊上） ；選取圖形的關(guān)鍵點(diǎn)（一般是頂點(diǎn)）并分別連接各關(guān)鍵點(diǎn)與位似中心，并延長(zhǎng)成射線；根據(jù)位

11、似比在射線上取點(diǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；順次連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到相應(yīng)的位似圖形。26章 解直角三角形26.1 銳角三角函數(shù)1、如圖，在 RtABC 中， C=90° A 的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作 tanA，即A的對(duì)邊atan AA的鄰邊b A 的對(duì)邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作 sinA，即sin AA的對(duì)邊a斜邊cA的鄰邊b A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記作 cosA，即 cos A斜邊c學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、一些特殊角的三角函數(shù)值30°45°60°sin 123222cos321222tan 31333、在直角三角形中，銳角 的對(duì)邊

12、與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比以及對(duì)邊與鄰邊的比，都是唯一確定的；當(dāng)銳角 變化時(shí)，相應(yīng)的比值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。我們把銳角 的正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為的三角函數(shù)。為方便起見，今后將sin2 , cos2 , tan2 分別記作 sin 2, cos2, tan2。26.2 銳角三角函數(shù)的計(jì)算26.3 解直角三角形1、在直角三角形中，除直角外，還有三條邊和兩個(gè)銳角共五個(gè)元素。由這五個(gè)元素中的已知元素求出其余未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形。學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、在 RtABC 中， C=90°三邊之間的關(guān)系是a 2b2c2 ；兩銳角之間的關(guān)系是AB90；邊角之間的關(guān)系是A的對(duì)邊asin A斜邊

13、cA的鄰邊bcos A斜邊cA的對(duì)邊atan AA的鄰邊b在邊角之間的關(guān)系中，將A 換成 B，同時(shí)將 a,b 交換，即可得到 B 與邊之間的關(guān)系式。根據(jù)以上關(guān)系，如果知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出其他三個(gè)元素。26.4 解直角三角形的應(yīng)用我們通常把坡面的垂直高度h 和水平寬度 l 的比 h 叫做坡面的坡度（或坡比） ，坡面與水平面的夾角叫做坡角。顯然，tan27章 反比例函數(shù)27.1 反比例函數(shù)lhl一 般 地 ， 如 果 變 量y和 變 量x之 間 的 函 數(shù) 關(guān) 系 可 以 表 示 成y k (k為常數(shù)，且 k 0) 的形式，那么稱 y 為 x 的反比例函數(shù)，k 稱

14、為比例系數(shù)， x學(xué)習(xí)必備歡迎下載自變量 x 的取值范圍是不等于0 的實(shí)數(shù)。27.2 反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)反比例函數(shù)yk ( k為常數(shù)，且 k 0) 的圖像由分別位于兩個(gè)象限內(nèi)的兩條曲線x組成，這樣的曲線叫做雙曲線。對(duì)于反比例函數(shù)yk ，當(dāng) k>0 時(shí)，它的圖像位于第一、 三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，xy 的值隨 x 的值增大而減??；當(dāng)k<0 時(shí)，它的圖像位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)， y 的值隨 x 的值增大而增大。27.3 反比例函數(shù)的應(yīng)用28章 圓28.1 圓的概念及性質(zhì)（ 1）平面上，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形，叫做圓，這個(gè)定點(diǎn)叫做圓心，這條定長(zhǎng)叫做圓的半徑。（ 2

15、）圓是軸對(duì)稱圖形，過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。圓也是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心。（ 3）圓上任意兩點(diǎn)間的線段叫做這個(gè)圓的一條弦。過(guò)圓心的弦叫做這個(gè)圓的直徑。（ 4）圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。圓的直徑將這個(gè)圓分成能夠完全重合的兩條弧，這樣的一條弧叫做半圓。（ 5）大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。（ 6）能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓。能夠完全重合的兩條弧叫做等弧。28.2 過(guò)三點(diǎn)的圓（ 1）不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）我們把經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心。28.3 圓心角和圓周角（ 1)頂點(diǎn)

16、在圓心的的角叫做圓心角。圓的每一個(gè)圓心角都對(duì)應(yīng)一條弦和一條弧。（ 2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧也相等。（ 3)在同圓或等圓中， 兩個(gè)圓心角及其所對(duì)應(yīng)的兩條弦和所對(duì)應(yīng)的兩條弧這三組量中，只要有一組量相等，其他兩組量就分別相等。（ 4)頂點(diǎn)在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。（ 5)圓周角定理圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。（ 6）直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。（ 7）同弧所對(duì)的圓周角相等。（ 8）四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。（ 9）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。28.4 垂徑定理垂

17、直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。28.5 弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算（ 1）計(jì)算公式設(shè) n 圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l ，所對(duì)扇形的面積為S ，則 ln r ， Sn r 2或180360學(xué)習(xí)必備歡迎下載S 1 lr2（ 2）圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線。圓錐的頂點(diǎn)與底面圓心之間的線段叫做圓錐的高。（ 3）將圓錐的側(cè)面沿母線展開成平面圖形，該圖形為一個(gè)扇形，扇形的半徑長(zhǎng)等于圓錐的母線長(zhǎng)。反過(guò)來(lái)，扇形也可以圍成一個(gè)圓錐。29 章直線與圓的位置關(guān)系1、在同一個(gè)平面內(nèi)， 點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系： 點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)。設(shè)圓 O 的半徑為 r，點(diǎn) P 到圓心的距離

18、OP=d，則有：（ 1）點(diǎn) P 在圓外， d>r（ 2）點(diǎn) P 在圓上， d=r（ 3）點(diǎn) P 在圓內(nèi)， d<r2、直線與圓的位置關(guān)系一條直線與一個(gè)圓的位置關(guān)系， 根據(jù)它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可分為三種情況： 兩個(gè)公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)。當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們稱直線與圓相交；當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與圓相切，此時(shí)這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)，這條直線叫做圓的切線；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱直線與圓相離。3、切線的性質(zhì)和判定（ 1）圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。4、切線長(zhǎng)定理（ 1）過(guò)圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條

19、切線的切線長(zhǎng)相等。（ 2）與三角形的三邊都相切的圓有且只有一個(gè)，我們稱這個(gè)圓為三角形的內(nèi)切圓，稱這個(gè)圓的圓心為三角形的內(nèi)心。5、正多邊形與圓（ 1）各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。（ 2）把一個(gè)圓 n（n3）等分，順次連接各等分點(diǎn)，就得到一個(gè)正 n 邊形。我們把這個(gè)正 n 邊形叫做圓的內(nèi)接正 n 邊形，這個(gè)圓叫做正 n 邊形的外接圓， 外接圓的圓心叫做正多邊形的中心， 外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑， 每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到邊的距離叫做正多邊形的邊心距。（ 3）通過(guò)等分圓心角，可以畫正多邊形。對(duì)于一些特殊情形，可以用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正多邊形（正方形和正六邊形）

20、。30 章二次函數(shù)30.1 二次函數(shù)的概念一般地，如果兩個(gè)變量x 和y 之間的函數(shù)關(guān)系可以表示成yax 2bxc(a,b, c是常數(shù)，且 a0) ，那么稱y 為x 的二次函數(shù).其中，a 叫做二次項(xiàng)系數(shù)，b 叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c 叫做30.2 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)二次函數(shù) yax2 的圖像和性質(zhì)學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線可以得到二次函數(shù)yax2 圖像（2）二次函數(shù)yax2 的圖像是一條關(guān)于y 軸對(duì)稱的曲線，這樣的曲線叫做的對(duì)稱軸叫做拋物線的對(duì)稱軸，拋物線與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做拋物線的拋物線 ，曲線頂點(diǎn) 。（3）二次函數(shù)yax 2 的圖像和性質(zhì)y 隨 x 的變化最大（或最表達(dá)式開口方

21、向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)情況?。┲祔ax2當(dāng) x 0 時(shí)，(a0)y 隨 x 的增大有最低點(diǎn)（ 0，原點(diǎn)而減?。划?dāng)0） .當(dāng) x0y 軸向上x 0 時(shí)， y時(shí)，（ 0,0）隨 x 的增大y最小0而增大當(dāng) x 0 時(shí)，ax2y 隨 x 的增大有最高點(diǎn)（ 0，y原點(diǎn)0） .當(dāng) x0(a0)而增大；當(dāng)向下y 軸x 0 時(shí)， y時(shí)，（ 0,0）隨 x 的增大y最大0而減小學(xué)習(xí)必備歡迎下載（4）為方便起見，我們把y 軸記為直線x0 ，把過(guò)點(diǎn)（ a ， 0）且垂直于 x 軸的直線記為直線 xa ；把 x 軸記為直線y0 ,把過(guò)點(diǎn)（ 0， b ）且垂直于y 軸的直線記為直線yb .二次函數(shù) yax2 也稱為拋物線y

22、ax2二次函數(shù) ya(xh)2 與 ya( xh)2k 的圖像和性質(zhì)（1） 二次函數(shù)ya( xh) 2 的圖像可以由yax2 的圖像作如下平移得到：當(dāng)h0 時(shí)，向右平移 h 個(gè)單位長(zhǎng)度；當(dāng)h0 時(shí)，向左平移h 個(gè)單位長(zhǎng)度。（2）二次函數(shù)ya(xh)2k 的圖像和性質(zhì)y 隨 x 的變化最大（或最表達(dá)式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)情況?。┲诞?dāng) x h 時(shí)，y 隨 x 的增大有最低點(diǎn)2而減?。划?dāng)(h, k) .當(dāng)y直線 x h(h, k )a(x h) k向上(a0)x h 時(shí)， yx h 時(shí)，隨 x 的增大y最小 k而增大當(dāng) xh 時(shí)，有最高點(diǎn)ya(x h) 2k向下(h, k )y 隨 x 的增大(h

23、, k) .當(dāng)直線 x h而增大；當(dāng)x h 時(shí)，(a0)xh 時(shí)， yy最大 k隨 x 的增大學(xué)習(xí)必備歡迎下載而減小二次函數(shù)yax 2bxc 的圖像和性質(zhì)（1）每個(gè)二次函數(shù)yax 2bxc 都可以通過(guò)配方化成ya(xh)2k 的形式（2）二次函數(shù) yax2bx c 的圖像是一條拋物線，它的對(duì)稱軸是xb2a若 a0，則拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(b , 4acb2) 。當(dāng) xb時(shí)， y 隨 x 的增2a4a2a大而減??；當(dāng)xb時(shí)， y 隨 x 的增大而增大；當(dāng)xb2a時(shí)， y 取得最小值，且2ay最小4acb24a若 a0 ，則拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(b , 4acb2) 。當(dāng) xb時(shí)， y 隨