誤差方程與法方程ppt課件

1、1 一、一、 間接平差原理間接平差原理間接平差不直接列出觀測值平差值應滿足的條件（條件方程），而是將所有觀測值平差值間接平差不直接列出觀測值平差值應滿足的條件（條件方程），而是將所有觀測值平差值均表示為均表示為t個參數(shù)的函數(shù)（誤差方程），觀測值通過個參數(shù)的函數(shù)（誤差方程），觀測值通過t個參數(shù)聯(lián)系起來，誤差方程實際上是個參數(shù)聯(lián)系起來，誤差方程實際上是參數(shù)形式的條件方程。誤差方程矩陣形式為參數(shù)形式的條件方程。誤差方程矩陣形式為：ntnnnnttlxtxbxavlxtxbxavlxtxbxav2122221221121111 111nttnnlXBV其純量形式為其純量形式為2由于方程個數(shù)為由于方程個

2、數(shù)為n n個，而未知參數(shù)為個，而未知參數(shù)為 大于方程數(shù)，故誤差方程沒有唯一解，大于方程數(shù)，故誤差方程沒有唯一解，需要求滿足最小二乘條件的特解，即滿足需要求滿足最小二乘條件的特解，即滿足 的一組特殊解。的一組特殊解。于是根據(jù)求自由極值的原理及列矩陣對列矩陣的微分規(guī)則得到于是根據(jù)求自由極值的原理及列矩陣對列矩陣的微分規(guī)則得到這樣通過引用最小二乘準則得出了這樣通過引用最小二乘準則得出了t t個方程，將其與個方程，將其與n n個誤差方程聯(lián)立，得到間接個誤差方程聯(lián)立，得到間接平差的基礎方程組平差的基礎方程組minPVVTtn,VPB即：,PBVXXPBVXl)(BXPVXVPVXPVVnnnntTTTT

3、TT00222213111110tnnnTntnttnnVPBlXBV將第一式代入第二式，得到法方程將第一式代入第二式，得到法方程0)(PlBxPBBTT由法方程，可以求得未知參數(shù)的最小二乘解由法方程，可以求得未知參數(shù)的最小二乘解4000212121ptlxpttxpbtxpatpblxpbtxpbbxpabpalxpatxpabxpaattt5二、按方向值列誤差方程二、按方向值列誤差方程N N零方向零方向 jkpjkLjpLjXjYkXkYjZ設設j j、k k的坐標為未知參數(shù)：零的坐標為未知參數(shù)：零方向坐標方位角方向坐標方位角Z Zj j 為定向角未為定向角未知數(shù)知數(shù),Jk,Jk方向坐標方

4、位角表示為方向坐標方位角表示為未知參數(shù)和定向角未知數(shù)的函未知參數(shù)和定向角未知數(shù)的函數(shù)：數(shù)：)(jkjkjkjjkXXYYarctgLZ600000)(yjZXXYYarctgYfxXfyYfxXfzVLjkjkkkkkjjjjjjkjk)(jjkjkjkZXXYYarctgL線性化：線性化：即：即：722)(1)() 1)(jkjkjkjkjXXYYXXYYXf22)()()(jkjkjkYYXXYYjkjkjkjkSSYsin2其中其中8jkjkkSXfsinjkjkjSyfcosjkjkkSyfcos 同樣地同樣地9kjkksinjjSajkjkjkSbcosjkjkjjkLzl令令方向值

5、誤差方程：方向值誤差方程：jkkjkkjkjjkjjkjjklybxaybxazv問題：正反方向方向值誤差方程之間有什么聯(lián)系？問題：正反方向方向值誤差方程之間有什么聯(lián)系？10三、史萊伯法則三、史萊伯法則以方向觀測值組誤差方程及法方程，由于增加了定向角未知數(shù)，未知數(shù)的總數(shù)比以角以方向觀測值組誤差方程及法方程，由于增加了定向角未知數(shù)，未知數(shù)的總數(shù)比以角度為觀測值大約要增加度為觀測值大約要增加5050。由于引入定向角未知數(shù)是為了建立數(shù)學模型的需要，定向。由于引入定向角未知數(shù)是為了建立數(shù)學模型的需要，定向角未知數(shù)屬于多余參數(shù)，不是平差所需要的。角未知數(shù)屬于多余參數(shù)，不是平差所需要的。史萊伯法則是這樣的

6、一種方法，通過對誤差方程的處理，使組成的法方程不含定向角史萊伯法則是這樣的一種方法，通過對誤差方程的處理，使組成的法方程不含定向角未知數(shù)，而解出與不消除定向角未知數(shù)同解的坐標未知數(shù)。未知數(shù)，而解出與不消除定向角未知數(shù)同解的坐標未知數(shù)。11應用史萊伯法則具體步驟為：應用史萊伯法則具體步驟為：（1 1）直接去掉誤差方程中的定向角未知數(shù)，得到虛擬的誤差方程；）直接去掉誤差方程中的定向角未知數(shù)，得到虛擬的誤差方程；（2 2）將每一個測站的虛擬誤差方程分別相加，得到另一個虛擬的誤差方程，稱為和方）將每一個測站的虛擬誤差方程分別相加，得到另一個虛擬的誤差方程，稱為和方程，和方程的權定義程，和方程的權定義為

7、為 ，其中，其中nini是測站是測站i i的方向數(shù)的方向數(shù); ;（3 3）將虛擬誤差方程像一般的誤差方程一樣用于組法方程，則可以從中解出與原始誤）將虛擬誤差方程像一般的誤差方程一樣用于組法方程，則可以從中解出與原始誤差方程所組法方程同解的坐標未知數(shù)。差方程所組法方程同解的坐標未知數(shù)。inp112(4) 若定向角近似值采用下列計算公式計算若定向角近似值采用下列計算公式計算：inikikikinLZ1)(則計算公式則計算公式 tTxptlxpblxpalpllPVV.21iz仍然成立。原因是對應于定向角未知數(shù)仍然成立。原因是對應于定向角未知數(shù)的系數(shù)的系數(shù) 。 。0il13（5 5）若測站點和照準點

8、均是已知點，則該方向誤差方程應用史萊伯法則后不存）若測站點和照準點均是已知點，則該方向誤差方程應用史萊伯法則后不存在，但是其常數(shù)項加入了和方程常數(shù)項在，但是其常數(shù)項加入了和方程常數(shù)項。14 pdd.1pcd.1pbd.10pcd.1pcc.1pbc.10pbd.1pbc.1pbb.10padpacpabpaapddpcdpbdpadpcdpccpbcpacpbdpbcpbbpabpadpacpabpaa四、高斯約化原理四、高斯約化原理15 pdd.3000pcd.2pcc.200pbd.1pbc.1pbb.10padpacpabpaapdd.2pcd.200pcd.2pcc.200pbd.1p

9、bc.1pbb.10padpacpabpaa高斯高斯約化約化原理原理16歸納高斯約化過程，可以總結如下：歸納高斯約化過程，可以總結如下：1 1、設法方程階數(shù)為、設法方程階數(shù)為n n階，則首先對第階，則首先對第2 2行至第行至第n n行進行一次約化，然后對第行進行一次約化，然后對第3 3行至第行至第n n行行進行第二次約化，進行第二次約化，, ,直到對第直到對第n n行進行行進行n-1n-1次約化。約化完成后，法方程系數(shù)陣主對角次約化。約化完成后，法方程系數(shù)陣主對角線以下的元素為線以下的元素為0 0，系數(shù)矩陣變?yōu)樯先顷嚕瑥亩梢砸来位卮蠼馕粗獢?shù)。，系數(shù)矩陣變?yōu)樯先顷嚕瑥亩梢砸来位卮蠼馕?/p>

10、知數(shù)。2 2、一次約化時，各行元素均減去第一行同列元素乘一個因子，這個因子是第、一次約化時，各行元素均減去第一行同列元素乘一個因子，這個因子是第1 1行中列行中列數(shù)等于被約化行數(shù)的元素除以第數(shù)等于被約化行數(shù)的元素除以第1 1行自乘元素行自乘元素173 3、k k次約化時，被約化各行元素，減去次約化時，被約化各行元素，減去k k行同列元素乘一個因子，這個因子是行同列元素乘一個因子，這個因子是k k行中列數(shù)行中列數(shù)等于被約化行數(shù)的元素除以等于被約化行數(shù)的元素除以k k行自乘元素。行自乘元素。4 4、法方程常數(shù)項按照同樣的規(guī)則進行約化、法方程常數(shù)項按照同樣的規(guī)則進行約化18五、程序中組法方程的方法五

11、、程序中組法方程的方法根據(jù)法方程系數(shù)組成公式：根據(jù)法方程系數(shù)組成公式：可見，一個法方程系數(shù)元素單元可見，一個法方程系數(shù)元素單元pab ，是由各個誤差方程系數(shù)中第，是由各個誤差方程系數(shù)中第1 1和第和第2 2個未知數(shù)的個未知數(shù)的系數(shù)相乘的積累加而得的，因此程序中組法方程采用的算法是：依次列出觀測值誤差方系數(shù)相乘的積累加而得的，因此程序中組法方程采用的算法是：依次列出觀測值誤差方程，即求出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)，再將其兩兩相乘，存入相應的法方程系數(shù)、常數(shù)儲程，即求出誤差方程的系數(shù)和常數(shù)，再將其兩兩相乘，存入相應的法方程系數(shù)、常數(shù)儲存單元。就單元存單元。就單元pabpab 而言而言，程序代碼表示為：程

12、序代碼表示為： ibappabpabiitttbap.bapbapbappab33322211119 pddpcdpbdpadpcdpccpbcpacpbdpbcpbbpabpadpacpabpaaiiiiiilxdxcxbxav4321在示例程序之中，法方程系數(shù)元素采用數(shù)組變量在示例程序之中，法方程系數(shù)元素采用數(shù)組變量nx(i)nx(i)保存。所以問題歸結為如何根據(jù)保存。所以問題歸結為如何根據(jù)兩兩相乘的誤差方程系數(shù)，確定數(shù)組元素的下標兩兩相乘的誤差方程系數(shù)，確定數(shù)組元素的下標i i觀察誤差方程和法方程形式，可以看出兩兩相乘的誤差方程系數(shù)所對應的未知數(shù)序號，觀察誤差方程和法方程形式，可以看出兩

13、兩相乘的誤差方程系數(shù)所對應的未知數(shù)序號，就是法方程系數(shù)陣二維矩陣的行和列號。就是法方程系數(shù)陣二維矩陣的行和列號。20 1096853742144343324232214131211示例程序法方程系數(shù)陣采用上三角儲存，系數(shù)陣元數(shù)儲存在一維數(shù)組中，其一維下示例程序法方程系數(shù)陣采用上三角儲存，系數(shù)陣元數(shù)儲存在一維數(shù)組中，其一維下標和二維數(shù)組元素下標對應關系如下：標和二維數(shù)組元素下標對應關系如下：21iiiiiilxdxcxbxav4321要實現(xiàn)誤差方程系數(shù)兩兩相乘，可以通過二重循環(huán)：要實現(xiàn)誤差方程系數(shù)兩兩相乘，可以通過二重循環(huán)：for i=1 to nfor i=1 to n for j=i to n for j=i to n . .計算法方程系數(shù)數(shù)組元素序號，并類積法方程系數(shù)陣元素的語句計算法方程系數(shù)數(shù)組元素序號，并類積法方程系數(shù)陣元素的語句 next jnext j Next i Next ii i和和j j就是法方程系數(shù)陣二維儲存時的行號和列號。根據(jù)二維數(shù)組元素序號（就是法方程系數(shù)陣二維儲存時的行號和列號。根據(jù)二維數(shù)組元素序號（i,j)i,j)計算計算一位數(shù)組元素序號的公式為：一位數(shù)組元素序號的公式為：h= h= 22l 23思考題1、控制網(wǎng)平差時，可列出多少個誤差方程？未知參數(shù)應該是多少個，未知數(shù)之間應滿足什么