球的體積和表面積附規(guī)范標準答案

1、球的體積和表面積學習目標1記準球的表面積和體積公式，會計算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計算問題.戸知識梳理自主學習知識點一球的體積公式與表面積公式41. 球的體積公式 v=3泯3(其中R為球的半徑).2. 球的表面積公式 S= 4 nR2.思考 球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？答球沒有底面，球的表面不能展開成平面知識點二球體的截面的特點1. 球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓，它的三視圖也都 是圓.2. 利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題的主要途徑.題型探究重點突破題型一球的表面積和體積例1(1)

2、已知球的表面積為 64 n求它的體積；500(2)已知球的體積為 丁n求它的表面積.解 設(shè)球的半徑為 R,則4nR2= 64n解得R= 4, 所以球的體積V = 3 nR3 = 4 u-34 256 n.設(shè)球的半徑為R,則4nR3= 500n解得R= 5,所以球的表面積 S= 4tR2= 4 nX 52= 100 n.跟蹤訓練1 一個球的表面積是16 n則它的體積是()A.64 n64 nB.6?C.32 nD.32 n3答案 D4解析 設(shè)球的半徑為 R,則由題意可知4冗R2 = 16n,故R= 2所以球的半徑為 2,體積V= 3 n332=3 n.題型二球的截面問題例2平面a截球0的球面所得

3、圓的半徑為1球心0到平面a的距離為'2,則此球的體積為()A.、;6 n B.4 '3 n C.4 '6 n D6$3 n答案 B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為 0 ',M為截面圓上任一點，則 00' = 2, 0 ' M = 1.0M = ： ：2 2+ 1 = 3即球的半徑為'3.- V = 4n(3)3 = 4 '3 n.跟蹤訓練2已知長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為'3, '5, J5,則它的外接球表面積為答案 9n解析 如圖，是過長方體的一條體對角線AB的截面，設(shè)長方體有公共頂點的三條棱的長分別為x, y,乙

4、則由已知，xy= .'3,x= .3得 yz=5,解得 y = 1,zx= . 15,z= .5.1 1 3所以球的半徑R=抑=2 .x2+ y2 + z2= 2,所以S球=4冗R2 = 9 n.題型三球的組合體與三視圖例3某個幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積k-2-IffttUEl解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為的表面積為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體1s= 2 X 4nX 12 + 6 X 22 - nX 12 = 24+ n.該幾何體的體積為V= 23+ 舟 X 4nX 13= 8 + ¥跟蹤訓練3有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體，第二個球

5、與這個正方體各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比解設(shè)正方體的棱長為 a. 正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心, 切點是正方體六個面的中心， 經(jīng)過四個切點及球心作截面， 如圖所示，則有2ri= a,即 ri = 2，所以 Si = 4 n2 = na2. 球與正方體的的各棱的切點在每條棱的中點，過球心作正方體的對角面得截面, 如圖所示，則2r2='. 2a,即r2=¥a,所以 S2= 4 n2= 2 7a2. 正方體的各個頂點在球面上，過球心作正方體的對角面得截面,如圖所示,則有23=所以 S3= 4 n3= 3 7a2.綜上可得 Si : S2 :

6、 S3= 1 : 2 : 3.例4有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)部放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面沒過鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度分析 分別表示出取出鐵球前后水的體積t由水的體積不變建立等式 t求出所求量解 如圖，OO是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC，球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在MN 處，MN 與 CD 交于點 E.則 DO = r, AD = 3r, AB = AC= BC = 2 3r,1 1 CD = 3r.由圖形知 V 圓錐 ce : V 圓錐cd = nME2 CE : §nAD2CD = CE3 : CD3.又

7、/ V圓錐CD =M 3r)2 3= 3 n3,34 355 n33V 圓錐 ce= V 圓錐 cd 一 V 球 o = 3 n 3 n = 3 n3n3 = CE3 : (3r)3, CE = 3 15r.球從容器中取出后，水的深度為3 15r.自査自糾1. 直徑為6的球的表面積和體積分別是()A.36 n 144 nB.36 n 36 nC.144 n 36 nD.144 n 144 n2若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于A.2B.1C.2D.33兩個半徑為1的實心鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑是 倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為4.若球的半徑由

8、 R增加為2R，則這個球的體積變?yōu)樵瓉淼腍-2-H 正視團藥課時精練、選擇題1.設(shè)正方體的表面積為 24，那么其外接球的體積是（）4A.§ n8 nB.8TC.4 3 nD.32 ,'3 n2. 個正方體的八個頂點都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為 （A.8B.8 .'2C.8 .'3D.4 ,;23.兩個球的半徑之比為1 : 3,那么兩個球的表面積之比為（）A.1 : 9B.1 : 27C.1 : 3D.1 : 1A. , 6 n 品32383B.y n cmc.3 n cmD.4 n 品5.若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r,R,則球的表面積為

9、（)A.4 nr(+ R)2B.4 n2R2C.4 iRrD. nR+ r)224 cm2, 個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是4.設(shè)正方體的表面積為6.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為戀2的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為 （ ）32 n4A._3B.4 n C.2 nD.§n8 cm，將一個7.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高6 cm，如果不計容器球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為 厚度，則球的體積為（）500 n 3A. 3 cm31 372 n 3 C.cm3866 n 3B.-3cm2 048 n 3D.cm3、填空題

10、8.個幾何體的三視圖（單位：m）如圖所示，則該幾何體的體積為m3.9 n9. 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上.若球的體積為"2",則正方體的棱長為10. 正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2,則該球的表面積是11. 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為 8 cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的 底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球 （如圖所示），則球的半徑是 cm.三、解答題12. 如圖所示，半徑為 R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積.（其中/ BAC = 30°）13. 一個高為16的

11、圓錐內(nèi)接于一個體積為972 n的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球，求:（1）圓錐的側(cè)面積；（2）圓錐的內(nèi)切球的體積.當堂檢測答案1答案 B4解析 球的半徑為3,表面積S= 4 n 牛36 n,體積V = §n 齊36n.2答案 D解析 設(shè)球的半徑為R,則4kR2= fnR3,所以R= 3.33答案3 244解析 設(shè)大球的半徑為 R,則有-tR3= 2X 32的體積為 V2= 3 n (R)3= n3,表面積為 S2 = 4n (R)2= 16 %R2. nX 13,3 3R3= 2, R= 3 2.4答案8 44所以V232332nR316 R2,存=4,解析 球的半徑為R時，球的體積為

12、Vi= 3 nR3,表面積為Si = 4 nR2,半徑增加為2R后，球即體積變?yōu)樵瓉淼?8倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍.5答案 3 n解析由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為 1的半球，其表面積為半個球面面積與截面面1積的和，即X 4 n+ n= 3 n.課時精練一、選擇題1答案 C解析由題意可知，6a_.;i + I + 2 2 = 2.又正四棱柱的頂點在同一球面上，正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，球的半徑R= i. 故球的體積為V = 4 tR3=彳n.= 24,a= 2.設(shè)正方體外接球的半徑為R,則4J3a= 2R，R= 3， . V球=3 nR37. 答案 A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直

13、角三角形求解.i i如圖，作出球的一個截面，則MC = 8 6 = 2(cm), BM = 2aB = 2X 8= 4(cm).設(shè)球的半徑為 R cm，貝U R2= 0M2+ MB2= (R 2)2 + 42, R= 5,= 4；'3兀.2答案 A解析球的半徑為1且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對角線，即正方體的對角線長為2不妨設(shè)正方體的棱長為 a,則有3a2 = 4，即 a2= 3.4正方體的表面積為 6a2= 6X 3= 8.33. 答案 A解析 由表面積公式知，兩球的表面積之比為R2 : Ri= 1 : 9.4. 答案D解析 由正方體的表面積為 24 cm2,得正方體的棱長

14、為 2 cm，故這個球的直徑為 2cm，故4這個球的體積為3 n cm5. 答案 C解析 方法一 如圖，設(shè)球的半徑為ri,則在Rt CDE中，DE = 2ri，CE = R r，DC = R+ r.由勾股定理得 4吊=(R+ r)2 (R r)2,解得 ri= Rr.故球的表面積為 S球=4 ni = 4 jRr.方法二 如圖，設(shè)球心為 0,球的半徑為 ri，連接 0A, OB,則在RtA A0B中，0F是斜邊AB上的高.由相似三角形的性質(zhì)得0F2=BF AF = Rr，即r1= Rr，故ri = ；：Rr，故球的表面積為 S球=4 jRr.6. 答案D解析正四棱柱 的底面 邊長為I ,側(cè)棱

15、長為：'2 , 正四棱 柱的體 對角線 的長為二、填空題8. 答案 9 n+ 18 解析將三視圖還原為實物圖后求解由三視圖知，幾何體下面是兩個球，球半徑為上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、427所以 V = nx x 2+ 1 x 3x 6= 9n+ 18.389.答案.3解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對角線等于球的直徑求棱長.設(shè)正方體棱長為a,球半徑為R，493-_則3肩= R=2 -pa = 3, a=/3.8110.答案亍n解析 由已知條件可知，球心在正四棱錐的高所在的直線上.設(shè)球的半徑為 R,球心為 0,9正四棱錐底面中心為 E,則0E = |4-R|,所以(4 R

16、)2 + (.'2)2= R2,解得R = 4.所以球的表面11.答案 4解析 設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為 n2x 6r =8 cm的水的體積為8 n2,3個球的體積和為 3x 4 n3= 4n3，由題意得34 n3,解得 r = 4(cm).三、解答題12解如圖所示,過C作COAB于01.在半圓中可得 / BCA = 90° / BAC = 30° AB = 2R,AC = , 3R, BC = R, CO1 = "23r,二 S 球=4 tR2,尙錐人。 = n 寧Rx3R= 2 nR2,尙錐 bo1« =說 2rx r=2 nR2，二S幾何體表=S球+ 尙錐人0側(cè)+ S圓錐BO=獲=存nR22 2 2故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為弋=n213解(1)如圖作軸截面，則等腰三角形CAB內(nèi)接于O O, O Oi內(nèi)切于 ABC.設(shè)O O的半徑為R,由題意，得4 nR3= 972 n,所以 R3= 729, R= 9,所以 CE = 18.已知CD = 16,所以ED = 2.連接AE,因為CE是直徑，所以 CA丄AE,所以 CA2= C