數(shù)學思維方法教學的實踐與認識

1、數(shù)學思維方法教學的實踐與認識上海奉賢曙光中學 宋寶國數(shù)學思維方法的教學屬于數(shù)學教學范疇，蘊含著數(shù)學中的思維規(guī)律，是數(shù)學的靈魂，在數(shù)學教學中，適當?shù)匕雅囵B(yǎng)學生思維能力作為教學的組成部分，數(shù)學教學只有兼顧到數(shù)學知識和數(shù)學思維方法兩個方面，才是真正體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，真正教給學生對其今后的學習、生活和工作長期起作用，并做其終生受益的人類數(shù)學遺產，然而數(shù)學思維方法的教學是一項長期細致的工作。在教學中往往表現(xiàn)為“教者有心，學者無意，日積月累，潛移默化”，必須有目的地使數(shù)學思維方法反映在教學內容和教學之中，本文以筆者多年在教學中數(shù)學思維方法教學的實踐與認識，談幾點看法和做法。一、提供類比 教學中提供類比，

2、猶如搭橋引渡，使學生溫故而知新。因為類比是特殊到特殊的邏輯推理方法，所以選題時要因人因題而異，切合學生的實際，承上啟下、合乎邏輯，才能引導學生展開思維活動，舉例如下： 例1用“乘法原理”確定有幾種抽題的方法：（1） 從6個試題中，3個學生分別抽出一題。（2） 從6個試題中，一個學生抽出3題完卷。 這兩個題，外形相似，性質不同，前者是排列問題，后者是組合問題。學生往往分辨不清，這里由（1）類比地轉入（2），兩相對照，涇渭分明，這是形同質異的類比。 例2將6個人分成2列排隊，有幾種排法。（1） 若一列2人，另一列4人：（2） 一列3人，另一列也是3人。 這兩題形式不同，實質上都是6個人在六個不同位

3、置上的排列問題，排法都是種，這種外形不同，性質相同的問題，是行異質同的類比。 例3將6個人分成2組，有幾種方法。（1）若一組2人，另一組4人：（2）一組3人，另一組也是3人。 （1）有種分法，而（2）中因為兩組人數(shù)相同所以有中分法。這兩個題，外形不同，性質也不同，是形異質異的類比。 如果將例2例3加以比較，他們的外形相似，解法各異，為行同質異的類比。例4（1）已知（t為參數(shù)），求復數(shù)z在復平面上所對應的點的軌跡；（2）若z在1+i，1-i間線段上移動，求復數(shù)z2在復平面上所對應的點的軌跡。（1）令,由故消去參數(shù)是雙曲線。（2）令，按條件，即，則再令，則，因為b,x,y都是實數(shù)，故消去b，得是拋

4、物線的一部分。 這2個題，（1）未附條件比較簡單；（2）附有條件，需經兩次置換，才能求得軌跡，這是由淺入深的類比。 常見類比還有二維空間與三維空間類比；將平面幾何的許多概念和判斷證明方法，從思想上把二維空間移到立體幾何的三維空間，數(shù)與形的類比，也是一種非常有益的類比，這是因為數(shù)學是研究客觀世界數(shù)量關系與空間形式及其和統(tǒng)一的科學。注意把無限問題類比有限問題中去，常是一種有害的類比例求，誤比：.正確：.以上舉數(shù)例，可見類比不是千篇一律、固定不移的，問題的條件與需要不同，類比的出發(fā)點就不同。 二、啟發(fā)分想分想：是將大腦貯藏在內部形形色色的正確經驗、知識，根據問題分離出一種或若干種加以創(chuàng)造想象方法，開

5、始訓練時，要求學生記錄分想過程。例5若x,y是關于m的方程：的二個實根，求的最小值。分想：（1）x、y為一元二次方程的兩個根，由韋達定理得 （2）有實根，由判別式解得或 （3）求二元二次函數(shù)最值，常歸宿為一元函數(shù)求最值， 由于求得當時，例6求函數(shù)的值域.分想：（1）研究任何函數(shù)，首先必須考慮其定義域，令顯然有： 則 （2）最小值是什么？進一步明確自變量取值范圍： 由得有實數(shù)根， 則或（舍）. （3）當時， （4）確定值域，分想是一種比較簡便有用想象訓練方法，只要在平時教學中，要求學生對問題進行認真細微分想，形成一種思維習慣，思維能力是會迅速提高的。 三、展開聯(lián)想聯(lián)想：主要借助于時間和空間上的接

6、近而產生，根據心理的條件反射，教學運用它，猶如穿針引線，根據教學內容，聯(lián)系條件相近有關內容，使學生的知識前后連貫，由新憶舊，認舊引新，提高學生的思維能力，舉例如下：例7解方程：解：據復數(shù)相等的定義，得原方程的解是這是在復數(shù)集由一個二元方程求得兩個未知數(shù)的確定實數(shù)的例題。引導學生聯(lián)想在實數(shù)集內的類似情況。于是得下面的例8例9例10例8解方程解：根據實數(shù)的偶次方非負數(shù)，得的原方程的解是原方程的解是 例9解方程解按對數(shù)的性質，有整理，得 原方程的解是例10解方程解配方：得原方程的解是例11求證： 證明：通常用數(shù)學歸納法證明，從式子結構可聯(lián)想函數(shù)設曲線上有兩點a bg為作軸交于n，交曲線與m，因為線段

7、ab在曲線的上方，g當然也在曲線的上方，故即.可推廣為 四、組合串聯(lián)串聯(lián)：按照某一種思路為“軸”，將若干想象活動組合起來，形成一個有層次、有過程，呈“動態(tài)”的想象活動，體現(xiàn)出邏輯遞進。例如，在新授“兩角和與差的三角函數(shù)”一章時，用單位圓與解析幾何中兩點間距離公式導出兩角和的余弦公式后，抓住“角的變化”這一軸串想，比較容易記住三角學的一系列基本公式。再將各自分別相加減，得到三角函數(shù)的積化和差公式，又通過角的變換推出和差化積公式。 五、問題質疑 問題質疑就是提出疑難問題來討論。 在教學中提出的問題有時學生得出了錯誤的結論而且全體學生都信以為真，這時必有概念模糊，推理不嚴等問題存在，應就學生解題的過

8、程，層層剖析，通過問題質疑，揭露其要害之所在，對疑難之處，要耐心啟發(fā)，循循善誘，不可越俎代庖，才能較好地解決學生的問題。 例12在項數(shù)為的等差數(shù)列中，求所有奇數(shù)項的和與所有偶數(shù)項是和之比。 給出如下解答，設等差數(shù)列的公差為d，則所有奇數(shù)項和所有偶數(shù)項之和 例13一個等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)之和為305，偶數(shù)項之和為276，試求第項。 給出了如下解答： 由 以上例12例13的解法是否正確？命題是否正確？師生展開討論，通過舉例，最后得出了構造2n+1項等差數(shù)列命題應注意的問題創(chuàng)造性的結論，培養(yǎng)了學生的思維能力，分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力，下面給出個創(chuàng)新的結論與證明。 下面討論2

9、n+1項等差數(shù)列命題的存在性問題，我們先看2n+1項等差數(shù)列的一個性質。在項數(shù)為 2n+1的等差數(shù)列中，奇數(shù)項之和設為p，偶數(shù)項之和設為q，p和q有如下關系：（1） 若p=q，則必有p=q=0。（2） 若p，q中有一個為零，則p=q=0。（3） 若p0，且q0，則p，q必滿足證明：等差數(shù)列的奇數(shù)項及偶數(shù)項分別組成公差為2d的等差數(shù)列。 即 （1） 同理 （2）（） （1）-（2）代入（1） （2）且q=0 （）不妨設p=0 （）不妨設p0由（2）可知q0，pq 由（1）（2） 證畢 上述的性質說明了如下事實，當我們構造一個項數(shù)為2n+1的等差列的有關命題時（）奇數(shù)項的和p與偶數(shù)項和q皆不為零時

10、結論為真命題（）若p=q或pq且這樣的等差數(shù)列是不存在的，故以此為條件構造的任一命題均假命題。例12中，若奇數(shù)項和p與偶數(shù)項的和q為零時，命題不成立，例13中，p=305，q=276，故為假命題。 六、分析綜合分析，是把思維對象分成片段，逐段加以考察、綜合，是把分解的片段再聯(lián)合起來，對整體加以認識?？梢娪蟹治龆鵁o綜合，就得不到完整的認識，有綜合而無分析，就難說明認識的步驟，分析與綜合是相輔相成的統(tǒng)一過程。在教學中，無論確立論點、進行推理、作出判斷，都不不開分析與綜合。經常地，反復地闡明這一思維方法，對提高學生的思維能力與解決問題的能力，是大有裨益的。舉例如下：例14且e，f分別在ab、ac上，

11、求證（如圖）分析分別作、的高fh、eg 若 或 推得的條件符合知己，且每步可逆，綜合起來，命題得正。這個題設有給出三角形的邊或角，如果考慮用三角法或解析法，就很難解決，這是分析與綜合的典型方法。例15證明分析分別考察左邊三個分式，它們有如下的性質。 第一個分式： 當時，其值為1，當或時，其值為0. 第二個分式：當時，其值為1，當或時，其值為0. 第三個分式：當時，其值為1，當或時，其值為0.綜合以上分析，當，時，都適合這個關于的二次式的等式，因此它不是方程而是恒定式，于是命題得證，這個題先抓住一個分式進行考察，逐個擊破，然后再綜合起來，也是分析與綜合常用的方法。通過平時教學經常注意學生思維方法培養(yǎng)，大多數(shù)學生形成了良好思維習慣，遇到問題首先必須善于分想，在分想基礎上按接近、類比、否定關系進行聯(lián)想，對挫折失敗及時否定，分析綜合，改換思維方向再聯(lián)想，最后又把各種聯(lián)想有機地串起來，揭示更深刻邏輯關系。教學中應充分利用數(shù)學的現(xiàn)實原型作為反映數(shù)學思維