8.5冪級(jí)數(shù)及其收斂性

1、§ 8.5幕級(jí)數(shù)及其收斂性8.5.1幕級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間QO形如 n(x-x0) = a0 +a1(x-x0) + «2(x-x0)2 十n=0 + an(x-x0)n 十的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為賽級(jí)數(shù)，其中數(shù)列an ( = 0,1,)稱(chēng) 為賽級(jí)數(shù)的系數(shù).當(dāng)我們令X = x-x0,上述級(jí)數(shù)變?yōu)镺O+ GX + 碣戈以 + + dnXn + n=0200定理8.16( Abel第一定理諾幕級(jí)數(shù)anxtl在f豐0處收斂，71=0則對(duì)滿足不等式|劃<|歹|的一切兀舉級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂. 反之，若當(dāng)70處彖級(jí)數(shù)發(fā)散，則對(duì)滿足不等式x>rj0O證：設(shè)工皺了n=0的_切X,該幕級(jí)

2、數(shù)也發(fā)散 收斂，則必有l(wèi)im ann = 0,于是存在ms "常數(shù)M>0,使 <M (w = l,2, )收舉冬散 收d 斂 '公3n當(dāng)I劃 <園時(shí),xmi j r 收斂，二工| anxn |也收斂，n=0Gn=0故原幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.反之，若當(dāng)X = 7J時(shí)該矩級(jí)數(shù)發(fā)散，下面用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)Xo滿足| Xo |> | T 且使級(jí)數(shù)收斂，則由前面的證明可知，級(jí)數(shù)在點(diǎn)7也應(yīng)收斂，與所設(shè)矛盾, 故假設(shè)不真.所以若當(dāng)X = T時(shí)幕級(jí)數(shù)發(fā)散，則對(duì)一切 滿足不等式|x|>|7|的原賽級(jí)數(shù)也發(fā)散 證畢5由Abel定理可以看出，丫?！柏?quot;的收斂

3、域是以原點(diǎn)為 中心的區(qū)間.心用土 R表示舉級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn)，則R = 0時(shí)，幕級(jí)數(shù)僅在x = 0收斂;時(shí),幕級(jí)數(shù)在(00, +oo)收斂；0<<賽級(jí)數(shù)在(-«,«)收斂；在-心人外發(fā)散；在X±R可能收斂也可能發(fā)散. 人稱(chēng)為收斂半徑，(-R,R )稱(chēng)為收斂區(qū)間. (-R,R)加上收斂的端點(diǎn)稱(chēng)為收斂域.收斂發(fā)散OO-OO發(fā) 散收o 斂發(fā)散 X推論設(shè)幕級(jí)數(shù)$衛(wèi)"在某些點(diǎn)曲）收斂，但不w=0.在整個(gè)數(shù)軸收斂.則必存在一個(gè)正數(shù)人，使這幕級(jí)數(shù)在 區(qū)間（-心?）內(nèi)部收斂，而在|劃«處發(fā)散.00任何一個(gè)幕級(jí)數(shù)5“兀"必有一個(gè)收斂半徑

4、&這里m=0Kt8852收斂半徑的求法9的系數(shù)滿足lim=A則證:lim"Too= limW>00X =p XOO定理817若IX*n=01）當(dāng)Q徂）時(shí)，R =2）當(dāng) p =0 時(shí),/?=3）當(dāng) Q =00時(shí)，R = o.1）若°刮，則根據(jù)比值判別法可知:當(dāng)x|<1,即劃v；時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)川劃>1，即兀 > 丄時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散.P因此級(jí)數(shù)的收斂半徑R = lP2）若Q二0,則根據(jù)比值判別法可知，對(duì)任意x原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，因此7? = oo ;3）若° = 8,則對(duì)除x = 0以外的一切兀原級(jí)發(fā)散,因此R = 0說(shuō)明：據(jù)此定理0O工

5、X%"的收斂半徑為Z? = limn=0Too13定理818設(shè)幕級(jí)數(shù)£%兀71=0lim /TaJ =w>00則該幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為1）當(dāng)0工0時(shí)，R= 1 3）當(dāng)/?= oo時(shí)，R = 02）當(dāng)£ = 0時(shí)，人="系數(shù)滿足p/. p10兀2 兀3畀仞J1求曜級(jí)數(shù)比一乞十+(_1)顯一1 土十23n的收斂半徑及收斂域.解：/? = lim| 仏 | =lim = 1"Too| % |“T8n + 1QO對(duì)端點(diǎn)X = 1,級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)(-1)" 1收斂;n=lOOT對(duì)端點(diǎn)a*二-1，級(jí)數(shù)為,發(fā)散 Z1 «故收斂域?yàn)?-

6、1,111例2.求下列賽級(jí)數(shù)的收斂域:規(guī)定:0 ! = 112OO 予皤;GO(2)工心.n=0#解：(1)n=lim = lim(n + 1) =>oo丄me(n + 1)!t R = limw>00所以收斂域?yàn)?一8，+ 8) limW>005 + 1)!所以級(jí)數(shù)僅在x = 0處收斂lim譏 fg n + 1=01314例3求摹級(jí)數(shù)£也£ x2K的收斂半徑幺（加）解：級(jí)數(shù)缺少奇次幕項(xiàng),不能直接應(yīng)用8.17,故直接由 比值判別法求收斂半徑.lim7l->0025 + 1)! 2(n+l) r (h + 1)!22n! xin nTF= lim&qu

7、ot;Too= lim（2 + l）（2：+2）宀心71->005+1）2當(dāng)4/vl即&時(shí)級(jí)數(shù)收斂1r 2故收斂半徑為R=.當(dāng)4兀> IIP | x | > 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散J2例4求幕級(jí)數(shù)廠的收斂域.00解:令e X -1，級(jí)數(shù)變?yōu)楣=l= im 頁(yè)n>oo/. R = lim/i>oo1弘叫譏2 2叫市）f 25QO 當(dāng)t = 2時(shí),級(jí)數(shù)為工,此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)2 - 2時(shí)，級(jí)數(shù)為，此級(jí)數(shù)條件收斂； 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi) 2 < r V 2,故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2<x 1<2,即一l<xv3.8.5.3需級(jí)數(shù)的性質(zhì)定理&19 （

8、阿貝爾第二定理）設(shè)壽級(jí)數(shù)00工a 兀"=aQ + 00 + ©兀"+（8.23）72=0的收斂半徑為Q0,則0“（0蟲(chóng)），幕級(jí)數(shù)（823）在閉區(qū)間 -y上一致收斂（稱(chēng)級(jí)數(shù)（8.23）在（-人蟲(chóng)）中內(nèi)閉一致收斂）.18oo定理 若幕級(jí)數(shù)XX1的收斂半徑7?>0,則其和函n=Q數(shù)£(x)在(-心0上連續(xù)，且在(_人蟲(chóng))內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與 逐項(xiàng)求積分，運(yùn)算前后收斂半徑相同：S'(兀)=Xa”兀")=x g (-R, R)71=0H=100°oJ：s吩刃仏汕藝/嚴(yán)，n=Qw=0 "丁丄x g (R 9 R)結(jié)論：若幕級(jí)數(shù)(

9、8.23)在*倫處收斂，則它的和函數(shù)5(兀) 在區(qū)間0,他上連續(xù).例5求幕級(jí)數(shù)£*的和函數(shù).n=0 力.解：由例2可知級(jí)數(shù)的收斂半徑7? = +oo設(shè)00<X< +21#則故有00W-18 kS，M =乞Sj7= S(x) W ：)"(_8<%<+O0) (e_xS(x) )=0因此得 S(x) = Cex°°由S(0) = 1得S(兀)=/，故得工"=/n=0co例6求幕級(jí)數(shù) nxn的和函數(shù)S(x). n=l解：易求出幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為1 , X = ± 1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,故當(dāng)coQO£(兀)-nx，t

10、- xnxn ln=lh=1oooon)=兀£(兀")=兀(£兀w=ln=l=xfe=0例7求級(jí)數(shù)的和函數(shù)$（兀）島+ 1解：易求出幕級(jí)數(shù)的收斂半徑為1,且x = -l時(shí)級(jí)數(shù) 收斂，則當(dāng)?shù)芄?時(shí)，有V 00.+1簾 co 兀=1=1 9血8 丫死S(兀)=71=0 + 1 亠 =01 x 00 1 x 1=j(刃"血=/口曲人071=0兒0鼻 11=_ In(l-x) (0< x <1 Ax = -1)xxti n + loS(兀)=ln(l-x), (0v 兀 vl 及兀二 _)x而£(0) = 1，也可以由和函數(shù)的連續(xù)性得S(0

11、) = limS(x) = limf- ln(1X)l = 1,兀一0兀一01xJ因此由和函數(shù)的連續(xù)性得：r-iln(l-x), XG-l,0)U(0,l) S(x)= x1,x = 026例8求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1 1)2"的和27#00解:設(shè) S(x) = Y71=2#S(x)=V 00X11n + lj(xO)煜厶n=228s(x) =X 12 2x亍)(5)29#oo n oox oox1-tEr = Zjr 1( =J(Lf, _1) =1n=l " n=l oo 7i=lo= -ln(l-x)#s(x) =1-x22xln(l -x) +("0)故30例9 證明

12、= l- + -d.43 5 7證問(wèn)題是求級(jí)數(shù)3 5 7 臺(tái) 2 + 1的和，這個(gè)和又可看成是幕級(jí)數(shù)00Z(-DHw=0x2w+12n + lx3=x3x x+5731#的和函數(shù)S(Q在21點(diǎn)的值首先求出這個(gè)壽級(jí)數(shù)的收斂 域?yàn)閰^(qū)間11. VXG (11),有op2/1+14予j0000嗆=(£(-1)"嚴(yán))曲/1=071=0oo工(-1)“71=000吃(-DW)"t< 1，最后得=arctan p = arctanx.5厳/i=0設(shè)有幕級(jí)數(shù)00anxn =aQ +。1兀 + + a兀"+/1=0oo"=方0 +blx-bnxn H71=

13、0它們的收斂區(qū)間分別為(-RR)秋-人；R')000000加法刃“兀"+£乞兀"=£(+仇)兀",71=0n=0n=000 000071=0n=0n=Q350000（丫0“兀"）（仇兀"）=必0+（心方1 +0上0）兀n=0n=0+ （aQb2 +aAb1 +a2bQ）x + oo + （吸+ «A_i +叭）兀"+14 冒=Co + ctx + c2x2 + + cnxn + 工bnJC“n=Qoo這里假設(shè)0工0,系數(shù)Co,Ci，C2,Cn，可如下確定：將遲仇兀" oon=0與“兀&q

14、uot;相乘，并令乘積中各項(xiàng)的系數(shù)分別等于級(jí)數(shù)中 w=0同次幕的系數(shù)，即得。0 =方0。0，。=方C。+ 方 °C，伉 2 =方 2“0 + “任+ 方 0C2, ， 由這些方程可以依次求出C°,Ci，C2,內(nèi)容小結(jié)1.求賽級(jí)數(shù)收斂域的方法001）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型賽級(jí)數(shù)兀"（叫#0）n=0先求收斂半徑,再討論端點(diǎn)的收斂性.2）對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)型賽級(jí)數(shù)（缺項(xiàng)或通項(xiàng)為復(fù)合式）求收斂半徑時(shí)直接用比值法或扌艮值法, 也可通過(guò)換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求.2幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)1）兩個(gè)舉級(jí)數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與 乘法運(yùn)算.282）在收斂區(qū)間內(nèi)賽級(jí)數(shù)的和函數(shù)連續(xù)；3）幕級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)0O1.已知anxn在兀處條件收斂，問(wèn)該級(jí)數(shù)收斂n=0半徑是多少？答：根據(jù)Abel定理可知,級(jí)數(shù)在|x|<|*o|收斂， 尤| > 1% |時(shí)發(fā)散.故收斂半徑為= x02 在幕級(jí)數(shù)£字»川n=02%】_ 12 + (-1 嚴(yán)二 f 務(wù)，5 "2 2+(-ir1/.n為奇數(shù)n為偶數(shù)能否確定它的收斂半徑不存在?答：不能