微積分授課課件：第二型曲線積分和格林公式

1、2021-11-21 作業(yè)作業(yè) P158 習題習題 2 1(2)(4) (5). 2(1). 預習預習 P1561642021-11-22二、格林公式二、格林公式第十六講第十六講一、一、第二型曲線積分的計算第二型曲線積分的計算2021-11-23一、第二型曲線積分的計算一、第二型曲線積分的計算的的參參數數方方程程曲曲線線L)(),(),(tzztyytxx )( t dttzZtyYtxX)()()(終點終點起點起點化為定積分化為定積分 Ll dv Ldlv 222)()()()()()(tztytxktzjtyitx dtktzjtyitxkZjYiX)()()()(參數增加方向與曲線正向一

2、致參數增加方向與曲線正向一致如果參數增加方向與曲線方向相反如果參數增加方向與曲線方向相反, ,加一負號加一負號2021-11-24 Lxydzxzdyyzdx31計計算算例例的的一一段段直直線線到到是是從從)3 , 2, 1()1 , 1 , 0()1( BAL與與是是圓圓柱柱面面yyxL4)2(22 的的軸軸的的正正方方向向看看是是逆逆時時針針其其方方向向是是：從從 oz的的交交線線平平面面013 zyxyzAB:)1(參參數數方方程程, tx ,31ty tz21 ) 10( t Lxydzxzdyyzdx3 10)3)(21(3)21)(31(ttttdttt2)31( 102)1812

3、1(dttt11 o解解2021-11-25的的參參數數方方程程是是L)2(,cos2tx ,sin22ty tzsin67 )20( t Lxydzxzdyyzdx3 20)sin2)(sin67)(sin22(ttt)cos2)(sin67(cos6ttt dtttt)cos6)(sin22(cos2 zxy 2022sin)28sin24cos48(tttdttt)sin52cos60(22 202cos80tdt82021-11-26 Ldyyxdxyx)()(22322計計算算例例ABL的的圓圓弧弧是是半半徑徑為為 1)1(1)()2(2如如圖圖是是折折線線AOBLxoy的的參參數數

4、方方程程為為圓圓弧弧AB)1()20(sin,cos ttytx解解 2)()(2322Ldyyxdxyxdtttt)(cossin(cos23 0222)sin)(sin(cos ttt 20220420)(sinsincossin ttdtdttdt 16334 AB1L2L2L2021-11-27 OBAOLdyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyx)()()()()()() 2(2322232223222),10(0 yxAO的的方方程程：0 dx),10(0 xyOB的的方方程程：0 dy 2)()(2322Ldyyxdxyx 102012)(dxxdyy32 曲線積分的值不但

5、與路徑的起點及終點有曲線積分的值不但與路徑的起點及終點有關關, ,而且與路徑本身有關！而且與路徑本身有關！2021-11-28 第一、二型曲線積分比較第一、二型曲線積分比較)()(),(),(: ttzztyytxxL曲曲線線dttztytxdl222)()()(: 弧長微元弧長微元上上連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線假假定定函函數數Lzyxf),(:),(上上的的第第一一型型曲曲線線積積分分在在 LzyxfdttztytxtztytxffdlL 222)()()()(),(),(,:在在第第一一型型曲曲線線積積分分中中注注意意,是弧長微元是弧長微元因為因為dl 積分上限積分上限中中所以在第一型曲線積分所

6、以在第一型曲線積分,0,0 dtdl的的方方向向無無關關與與必必須須大大于于積積分分下下限限L, 2021-11-29:上上的的第第二二型型曲曲線線積積分分在在有有向向曲曲線線 L dtktzjtyitxkZjYiXl dvL)()()()(.,的值的值對應終點處對應終點處的值的值對應起點處對應起點處tt 兩者之間的關系兩者之間的關系 LLLLdlvdtzZyYxXZdzYdyXdxl dv ) (第二型第二型第一型第一型2021-11-210二、二、 格林公式格林公式 研究平面向量場的工具研究平面向量場的工具連接平面向量場微分與積分的橋梁連接平面向量場微分與積分的橋梁 格林公式及其變形和推廣

7、在數學物理中有格林公式及其變形和推廣在數學物理中有許多應用許多應用 用格林公式研究有關平面向量場的某些用格林公式研究有關平面向量場的某些問題問題 平面向量場求勢函數平面向量場求勢函數, ,二元微分形式求二元微分形式求 原函數的問題原函數的問題2021-11-211則則有有續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數數上上有有連連在在函函數數光光滑滑曲曲線線是是分分段段其其邊邊界界為為有有界界閉閉域域若若定定理理,),(),(,:2DyxYyxXLRD DLdxdyyXxYYdyXdx)(的的正正方方向向表表示示沿沿邊邊界界其其中中LL D L L L LD L單連域單連域復連域復連域2021-11-212平面域

8、的邊界閉曲線上的第二型曲平面域的邊界閉曲線上的第二型曲線積分與閉曲線所圍平面域上的二線積分與閉曲線所圍平面域上的二重積分之間的聯系重積分之間的聯系格林公式揭示了：格林公式揭示了： 注意三點：注意三點： (1) 封閉的邊界曲線封閉的邊界曲線 (2) 正方向正方向 (3) 有連續(xù)的一階偏導數有連續(xù)的一階偏導數2021-11-213證證先先證證明明 DLdxdyyXXdx假假設設 )()(:21xyyxybxaDxyo)(2xyy ab)(1xyy DAB A B)1( L由由二二重重積積分分計計算算公公式式得得 )()(21xyxybaDdyyXdxdxdyyX baxyyxyydxyxX)()(

9、21),( babadxxyxXdxxyxX)(,)(,12)2(2021-11-214另另一一方方面面 LXdx因因此此有有都都有有上上在在上上在在,0, dxbxBBaxAA BABBBAAAXdxXdxXdxXdx BABALXdxXdxXdx abbadxxyxXdxxyxX)(,)(,21 babadxxyxXdxxyxX)(,)(,21)3( DLdxdyyXXdx可可知知式式式式和和比比較較,)3()2(xyo)(2xyy ab)(1xyy AB A B L2021-11-215同同理理可可證證 DLdxdyxYYdy)4(便便得得到到要要證證的的格格林林公公式式式式相相加加式式

10、和和把把,)4()1( DLdxdyyXxYYdyXdx)(2021-11-216如如下下圖圖所所示示若若區(qū)區(qū)域域 DxyoxyoDD形形狀狀的的區(qū)區(qū)域域分分成成若若干干個個上上述述可可作作一一些些輔輔助助線線把把 D2021-11-217其其中中計計算算例例,)()3(1 Ldxyxdyyx逆逆時時針針方方向向為為圓圓周周,9)4()1(22 yxL解解1化化為為定定積積分分的的參參數數方方程程為為L 20,sin34,cos31 ttytx Ldxyxdyyx)()3(ttttsincos18cos27cos21(220 dttt)sin9sin92 202218)sin9cos27(dt

11、tt2021-11-218,),(xyyxX yxyxY 3),(.,為為封封閉閉曲曲線線且且為為正正方方向向依依題題意意知知 L故故由由格格林林公公式式得得到到上上有有連連續(xù)續(xù)的的一一階階偏偏導導數數在在,),(),(DyxYyxX Ldxyxdyyx)()3( Ddxdyxyyyxx)()3( Ddxdy2 18 解解2利用格林公式利用格林公式2021-11-219到到由由點點為為曲曲線線設設例例)0,0(sin2OxyL Lxxdyxyedxxyye)cos()2sin(試試計計算算曲曲線線積積分分的的一一段段點點,)0 ,( AxyoALD補補成成封封閉閉路路徑徑！解解2 OAAOLx

12、Lxdyxyedxxyye)()cos()2sin(不封閉！不封閉！=0利利用用格格林林公公式式解解1直直接接化化為為定定積積分分。略略2021-11-220 Ddxdyx)21( xdyxdxsin00)21( 0sin)21(xdxx 00cos2cos)21(xdxxx)1(2 Dxxyex)cos(dxdyxyyeyx)2sin( 2021-11-221為為包包圍圍原原點點其其中中計計算算例例LyxxdyydxL,322 .,逆逆時時針針方方向向的的任任意意封封閉閉曲曲線線xyoL,),(22yxyyxX 22),(yxxyxY 解解不不連連續(xù)續(xù)在在點點)0 , 0(),(),(yxY

13、yxX公公式式？能能不不能能利利用用 Green把把原原點點“挖挖掉掉”！0)()(2222222222 yxyxyxyxyXxY1L2021-11-22200112222 DLLdxdyyxxdyydxyxxdyydx 12222LLyxxdyydxyxxdyydx 022)cos(cos)sin(sin dttttt 02 dt 2 tytxLsincos:1 )20 ( t循環(huán)常數循環(huán)常數得得到到利利用用格格林林公公式式 ,2021-11-223如如圖圖其其中中計計算算例例LyxxdyydxBAL,4)()(22 xyLBA解解0)()(2222222222 yxyxyxyxyXxY利利

14、用用格格林林公公式式 )()()()(1110) 1 (ABLDLLLBALd 231sincos2222 dttt2L1L112021-11-224 )()()()(2220)2(ABLDLLLBALd 21002 dtdD的的邊邊界界！不不是是是是復復連連域域，注注意意：2DLLD 差差一一個個循循環(huán)環(huán)常常數數。原原點點的的封封閉閉曲曲線線。否否則則要要再再加加一一條條包包圍圍如如果果利利用用格格林林公公式式，還還2021-11-225.,.0),cos(5為為曲曲線線的的外外法法線線方方向向平平面面封封閉閉曲曲線線為為簡簡單單光光滑滑的的其其中中證證明明例例nLdlnyL 證證,),(

15、切切向向量量為為設設 ny ),(x則則 cos),cos(),cos( xny LLLdxdlxdlny),cos(),cos( 00 Dd 由由格格林林公公式式)0, 1( YXxyLxy n2021-11-226可可以以得得到到則則利利用用格格林林公公式式若若令令特特別別,xYyX AdxdyxdyydxDL22 的的面面積積區(qū)區(qū)域域D區(qū)區(qū)域域面面積積的的公公式式利利用用曲曲線線積積分分計計算算平平面面 LxdyydxA212021-11-227的的面面積積求求橢橢圓圓例例142222 byax解解橢橢圓圓參參數數方方程程tbytaxsincosLxdyydxA21)20( t2021-

16、11-2282021abdtab20)sin(sin21tatbAdttbta)cos(cos2021-11-229 DDdxdyyXxYYdyXdx)(格林公式格林公式jYiXv 平面向量場平面向量場kyXxYv)(rot YdyXdxldv 格林公式格林公式可以寫成：可以寫成： DDdxdykvl dv)rot(格林公式的旋度形式格林公式的旋度形式格林公式的其他形式格林公式的其他形式2021-11-230得得到到格格林林公公式式運運用用在在區(qū)區(qū)域域對對向向量量場場,DjXiYu DDdxdykul du)rot(的的關關系系和和注注意意到到vu格林公式形式為格林公式形式為 DdxdyyYx

17、X)( Ddlnv Ddxdyvdivv nuyxoDD nvu 格林公式的散度形式格林公式的散度形式2021-11-231用格林公式研究平面向量場有關概念有關概念: : 保守場保守場 有勢場有勢場 無旋場無旋場 勢函數勢函數 原函數原函數 研究哪些問題研究哪些問題? 在一般區(qū)域上保守場、有勢場、在一般區(qū)域上保守場、有勢場、無旋場的關系無旋場的關系 在單連通域上保守場、有勢場、在單連通域上保守場、有勢場、無旋場的關系無旋場的關系 如何判斷向量場是保守場？如何判斷向量場是保守場？ 如果某個向量場有勢函數如果某個向量場有勢函數, ,如何如何求它的勢函數求它的勢函數? ?2021-11-232).(

18、:)2(;:)1(:.),1 , 1()0 , 0(,242212如圖如圖折線折線拋物線拋物線是是其中路徑其中路徑做的功做的功對質點所對質點所求力求力運動到點運動到點從點從點徑徑沿路沿路的作用下的作用下一質點在變力一質點在變力例例AEBLxyLLWFBALjxixyF )1, 1(BAE1解解 122)1(LdyxxydxW 1022)22(dxxxxx1 222)2(LdyxxydxW110210210 dydxx EBAEdyxxydxdyxxydx2222xy02021-11-233在此例中曲線積分在此例中曲線積分的值只依賴于兩條的值只依賴于兩條路徑的起點與終點路徑的起點與終點而與積分路徑無關！而與積分路徑無關！2021-11-234幾個概念幾個概念？什什麼麼叫叫積積分分與與路路徑徑無無關關. 1.,本本身身的的路路線線無無關關而而與與曲曲線線有有關關和和終終點點與