第19講用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)一數(shù)學(xué)人教版高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座19）用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系一課標(biāo)要求：1 用樣本估計(jì)總體 通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表、 畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)他們各自的特點(diǎn)； 通過(guò)實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差； 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋； 在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中， 進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字

2、特征的隨機(jī)性； 會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題； 能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異； 形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)。2 .變量的相關(guān)性 通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系； 經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。二.命題走向“統(tǒng)計(jì)”是在初中“統(tǒng)計(jì)初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會(huì)用樣本的頻率分 布估計(jì)總體的分布，并會(huì)用樣本的特征來(lái)估計(jì)總體的分布。預(yù)測(cè)2007年高

3、考對(duì)本講的考察是：1 以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題 為背景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題的能力；2 熱點(diǎn)問(wèn)題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。三要點(diǎn)精講1 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到?。ɑ驈男〉酱螅┡帕校幵谥虚g位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中 間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）平均數(shù)與方差1 n如果這n個(gè)數(shù)據(jù)是x1, x2,xn，那么xi叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)；n i=i2 1 n -如果這n個(gè)數(shù)據(jù)是山2,Xn

4、，那么s2（Xi -x）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)方差;n y 1 n -同時(shí)S = 丄無(wú)（Xi _x）叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。Tn y2 頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù) 據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、 莖葉圖來(lái)表示。頻率分布直方圖：具體做法如下：（1） 求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4 ）列頻率分布表；（5）畫(huà)頻率分布直方圖。一一步頁(yè)注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距X=頻率。組距折線圖：連接頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形上端中點(diǎn)，

5、就得到頻率分布折線圖。總體密度曲線：當(dāng)樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此 光滑曲線為總體密度曲線。3 .線性回歸回歸分析：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的 兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。回歸直線方程：設(shè) x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對(duì)x的回歸函數(shù)的類型為直線型：nn' （Xi -x）（yi - y） ' Xi y -nxyy = a bx。其中氣,a = y-bx。我們稱這個(gè)二（片 _ x）2二 x' _ nxi =1i 珀方程為y對(duì)x的回

6、歸直線方程。四典例解析題型1 ：數(shù)字特征例1 為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗(yàn)，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下：殺傷半徑(米)7S9101112手榴彈數(shù)(S)154631(1) 在這個(gè)問(wèn)題中，總體、個(gè)體、樣本和樣本容量各是什么？(2) 求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這批手榴彈的 平均殺傷半徑.解析：(1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個(gè)體是每一顆手榴彈的 殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。(2)在20個(gè)數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了 6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10 (米)。20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個(gè)和

7、第11個(gè)數(shù)據(jù)是最中間的兩個(gè)數(shù)，分別為9 (米)和10 (米)，所以中位數(shù)是 丄(9+10) =9.5 (米)。2- 1 樣本平均數(shù) x (7 1 8 59 4 10 6 113 12 19.4 (米)20所以，估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4米。點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念答題要注意：總體、個(gè)體和樣 本所說(shuō)的考察對(duì)象是一種數(shù)量指標(biāo)，不能說(shuō)成考察的對(duì)象是手榴彈，而應(yīng)說(shuō)是手榴彈的 殺傷半徑。(2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計(jì)這批手榴彈的平 均殺傷半徑另外在這里要會(huì)簡(jiǎn)便計(jì)算有多個(gè)重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。例2 .為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，1999

8、年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.6 3.7 2.2 1.5 2.81.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1) 通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗了多少盒一次性筷子(每年按350個(gè)營(yíng)業(yè)日計(jì)算)；(2) 2001年又對(duì)該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店，每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒.求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長(zhǎng)的百分率(2001年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與1999年相同)；(3) 在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材 0.07m3

9、,求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為 0.5 x 103kg/m3；(4) 假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去 做，簡(jiǎn)要地用文字表述出來(lái)。1解析：(1) X (0.6 3.72.21.52.8 1.7 1.22.13.21.0) =2.010所以，該縣1999年消耗一次性筷子為 2 x 600 x 350=420000 (盒)。(2)設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率為X,則2 (1+X) 2=2.42,解得Xi=0.仁10%,，X= 2.1 (不合題意，舍去)。

10、所以,平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%0.5 100.07可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為 0.005 2.42 1300 600 350 = 7260 (套)。(4) 先抽取若干個(gè)縣(或市、州)作樣本，再分別從這些縣(或市、州)中抽取若干 家飯店作樣本，統(tǒng)計(jì)一次性筷子的用量.點(diǎn)評(píng)：本題是一道統(tǒng)計(jì)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，需要靈活運(yùn)用各種知識(shí)分析解 決問(wèn)題對(duì)于第(1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計(jì)總體的思想來(lái)求得問(wèn)題 的解對(duì)于第(2)小題，實(shí)際是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題的應(yīng)用題，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程的方法 來(lái)解對(duì)于第(3)小題，用到了物理公式m= p,體現(xiàn)了各學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生觸類旁通，在解決實(shí)際問(wèn)

11、題時(shí)能綜合運(yùn)用多種知識(shí)靈活地解決問(wèn)題第(4)小題只要能夠運(yùn)用隨機(jī)抽樣方法，能體會(huì)到用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想就可解決，在文字表述上要 注意簡(jiǎn)潔、明了、正確。題型2 :數(shù)字特征的應(yīng)用例3 (2002年全國(guó)高考天津文科卷(15)甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/hm2)品種第1年第2年甲9.89.9乙9.410.3第3年第4年第5年10.11010.210.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是甲解析：x甲 = 4( 9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙=4( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) =

12、10.0 ；s甲2 = 4( 9.82 + ,+ 10.22) -102 = 0.02 , s甲2 = 4( 9.42 + ,+ 9.82) -102 = 0.244 > 0.02。點(diǎn)評(píng)：方差與平均數(shù)在反映樣本的特征上一定要區(qū)分開(kāi)。例4. ( 2005江蘇7)在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下:9.48.49.49.99.69.49.7去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為(A) 9.4, 0.484( B) 9.4,0.016(C) 9.5, 0.04( D) 9.5, 0.016答案：D ；解析：7個(gè)數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，余下的5個(gè)數(shù)為

13、：9.4, 9.4,9.6,9.4,9.5。-94+94+96+94+95-則平均數(shù)為：x =二 9.46 ” 9.5，即 x 二 9.5。方差為：s2 = (9.4 _9.5)2(9.4 一9.5)2(9.5 一9.5)2 = 0.0165即 s2 =0.016，故選 D。點(diǎn)評(píng)：一定要根據(jù)實(shí)際的題意解決問(wèn)題，并還原實(shí)際情景。 題型3 :頻率分布直方圖與條形圖例5 為檢測(cè)，某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為 30的樣本，檢測(cè)結(jié)果為一級(jí)品 而極品8件,三級(jí)品13件，次品14件.(1) 列出樣本頻率分布表；(2) 畫(huà)出表示樣本頻率分布的條形圖；(3) 根據(jù)上述結(jié)果，估計(jì)辭呈商品為二極品或三極品的概率

14、約是多少解析：(1)樣本的頻率分布表為產(chǎn)品頻數(shù)頻率一級(jí)晶50.17二級(jí)晶80.27三級(jí)晶130.43次品40.13(2)樣本頻率分布的條形圖為:此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.43=0.7。點(diǎn)評(píng)：條形圖中縱坐標(biāo)一般是頻數(shù)或頻率。例6. (2006重慶理，6)為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲一18歲的男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖如下：(A)20(B)30(C)40( D 50答案：C ；解析：根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在56.5,64.5丨學(xué)生的累積頻率為2X 0.03 + 2X 0.05+ 2X 0.05 + 2 X 0.07=0.4

15、，則體重在56.5,64.5學(xué)生的人數(shù)為 0.4 X 100=40。點(diǎn)評(píng)：熟悉頻率、頻數(shù)、組距間的關(guān)系式。例7 某中學(xué)對(duì)高三年級(jí)進(jìn)行身高統(tǒng)計(jì)，測(cè)量隨機(jī)抽取的40名學(xué)生的身高，其結(jié)果如下(單位：cm)分組140,145)145,150)150,155):155,160):160,165):165,170):170,175):175,180)合計(jì)人數(shù)12591363140(1) 列出頻率分布表；(2 )畫(huà)出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)數(shù)據(jù)落在150, 170范圍內(nèi)的概率。解析：(1 )根據(jù)題意可列出頻率分布表:分值頻數(shù)頻率:140, 14510.025:145, 15020.050:150, 155

16、50.125:155, 16090.225:160, 165130.325:165, 17060.15:170, 17530.075:175, 18010.025合計(jì)401.00人頻率(2)頻率分布直方圖如下:(3)數(shù)據(jù)落在150, 170范圍內(nèi)的概率約為0.825。題型4:莖葉圖例8.觀看下面兩名選手全壘打數(shù)據(jù)的莖葉圖，對(duì)他們的表現(xiàn)進(jìn)行比較。1961年揚(yáng)基隊(duì)外壘手馬利斯打破了魯斯的一個(gè)賽季打出60個(gè)全壘打的記錄。下面是揚(yáng)基隊(duì)的歷年比賽中的魯斯和馬利斯每年擊出的全壘打的比較圖：魯斯525 46 1 194400123456馬利斯83 4 63 6 83 9解析：魯斯的成績(jī)相對(duì)集中,穩(wěn)定在46左

17、右；馬利斯成績(jī)相對(duì)發(fā)散，成績(jī)穩(wěn)定在26 左右。題型5:線性回歸方程例9.由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系，畫(huà)出散點(diǎn)圖，并指明相關(guān)性。施化肥秋盡1S2025354045水制產(chǎn)嫌S3034$365405445450455解析：散點(diǎn)圖為:再冋時(shí)詠岀各對(duì)耿聲在平面直角塑標(biāo)系中衷示的點(diǎn).通過(guò)圖象可知是正相關(guān)。例10 .在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實(shí)驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間t之間對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù):時(shí)間t(s)5101520304050607090120深度y(卩m)610101316171923252946(1) 畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2) 試求腐蝕深度y對(duì)時(shí)間t的回歸直線方程。 略解：(1)散點(diǎn)圖略，呈直線形

18、。(2) 經(jīng)計(jì)算可得11 11 11- 2 - 2 -t =46.36， y =19.45， ti =36750, y =5442， ti yi =13910。imi =1i=111ti yi -11 tyv13910 -11 46.36 19.45B= 石=2：=0.3.x ,2236750 -11 46.36ti -11 ti珀A= y bt=19.45 - 03 46.365.542。故所求的回歸直線方程為y =0.3t+5.542。題型6:創(chuàng)新題例11把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫(xiě)頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩

19、下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為 .答案：16點(diǎn)評(píng)：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問(wèn)題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為1 0.79=0.21 ,進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù)。由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79X 100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21,依題意a1_（1一=21 , a1 （1+q+q2） =21., q=4。.后三組頻數(shù)最1 q高的一組的頻數(shù)為16。此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來(lái)解嗎？例12.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表:分?jǐn)?shù)段:0, 80):80, 90):90, 100)人數(shù)256

20、分?jǐn)?shù)段:100, 110):110, 120 ):120, 130)人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段:130, 140):140, 150)人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在100 , 110 ）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是、 （精確到 0.01）.解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù) =45.分?jǐn)?shù)在100, 110）中的頻率為 =0.1780.18.45分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為2568 =-21注0.47.4545答案：0.180.47五.思維總結(jié)1 統(tǒng)計(jì)是為了從數(shù)據(jù)中提取信息，學(xué)習(xí)時(shí)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求選擇不同的方法合理 地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。不應(yīng)把統(tǒng)計(jì)處理成數(shù)字運(yùn)算和畫(huà)圖表。對(duì)統(tǒng)計(jì)中的概念（如”總體”、”樣本"等）應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行描述性說(shuō)明，不應(yīng)追求嚴(yán)格的形式化定義。2 .當(dāng)總體中個(gè)體取不同值很少時(shí)，我們黨用樣本的頻率分布標(biāo)記頻率分布梯形圖取估計(jì)總體體分布，總體分布排除了抽樣造成的錯(cuò)誤，精確反映了總體取值的概率分布規(guī)律。 對(duì)于所取不同數(shù)值較多或可以在實(shí)數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)取值的總體，需用頻率分布直方圖來(lái) 表示相應(yīng)的頻率分布。當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小時(shí)，頻率分布直方 圖無(wú)限接近一條光滑曲線一一總體密度曲線由于總體分布通常不易知道，往往是用 樣本的頻率分布估計(jì)總體分布。樣本容量越大，估計(jì)就越精確。3 相關(guān)關(guān)系研究?jī)?/p>