線段的垂直平分線和角平分線講義

1、線段的垂直平分線和角平分線講義學(xué)員編號(hào)：年級(jí)；課時(shí)數(shù)：學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：課程主題：線段的垂直平分線和角平分線授課時(shí)間：教學(xué)重點(diǎn)：掌握線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)與判定，并能夠正確敘述結(jié)論 及正確書寫證明過程，熟悉作為證明基礎(chǔ)的幾條公理的內(nèi)容，通過學(xué)習(xí)掌握證明 學(xué)習(xí)目標(biāo)的基本步驟和書寫格式教學(xué)難點(diǎn)：熟練應(yīng)用垂直平分線、角平分線的性質(zhì)定理在實(shí)際問題中的運(yùn)用教學(xué)內(nèi)容如何作角的平分線？1動(dòng)手用尺規(guī)畫出一個(gè)角的平分線；2說明為什么是角平分線的理由。用尺規(guī)作角的平分線. 已知:ZAOB,如圖求作:射線0C使z AOC=zBOC.1 在0A和OB上分別截取OD,OE使OD=2分別以點(diǎn)D和E

2、為圓心，以大于 長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在ZAOB內(nèi)交于點(diǎn)C.3 作射線0C.則射線0C就是z AOB的平分線.請(qǐng)你說明OC為什么是Z AOB的平分線，并與同伴進(jìn)行交流知識(shí)梳理】1、線段的垂直平分線我們把垂直并且平分一條線段的直線稱為這條線段的垂直平分線，又叫中垂線例 如：如圖所示，點(diǎn)o是線段AB的中點(diǎn)，且AB丄CD，垂足為點(diǎn)O，則CD是線段AB的垂直平分線2、線段的垂直平分線的定理線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)的距離相等如圖，若MN為線段AB的 垂直平分線，P點(diǎn)在MN上，則PA=PBN3、線段的垂直平分線定理的逆定理與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上如上圖，若PA=PB，則P在AB

3、的垂直平分線上4、線段的垂直平分線說明了垂直平分線與線段的兩種矢系：是位置矢系一一垂直；是數(shù)量矢系一一平 分5、三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)從圖中可以看出，要證明三條垂直平分線交于一點(diǎn)，只需證明其中的兩條垂直平分線的交點(diǎn)一定在 第三條垂直平分 線上就可以了6、角的平分線的作法(1) 在Z AOB的兩邊0A、OB上分別截取OD、0E，使OD=OE.(2) 分別以D、E為圓心，以大于DE長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于Z AOB內(nèi)一點(diǎn)C. (3)作射線 0C '則0C為Z AOB的平分線(如圖)VB指出：(1)作角的平分線的依據(jù)是三角形全等的條件一一“ SSS”(2)角的平分線是一條射線，不能簡(jiǎn)單

4、地?cái)⑹鰹檫B接7、角平分線的性質(zhì)在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等指出：(1 )這里的距離是指點(diǎn)到角兩邊垂線段的長(zhǎng).(2) 該結(jié)論的證明是通過三角形全等得到的，它可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)(3) 使用該結(jié)論的前提條件是有角的平分線，矢鍵是圖中有“垂直”.8、角平分線的判定到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上指出：(1)此結(jié)論是角平分線的判定，它與角平分線的性質(zhì)是互逆的(2)此結(jié)論的條件是指在角的內(nèi)部有點(diǎn)滿足到角的兩邊的距離相等，那么過角的頂點(diǎn)和該點(diǎn)的 射線必 平分這個(gè)角9、三角形的角平分線的性質(zhì)三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等指出：(1)該結(jié)論的證明揭示

5、了證明三線共點(diǎn)的證明思路：先設(shè)其中的兩線交于一點(diǎn)，再證明該交點(diǎn) 在第 三線上(2)該結(jié)論多應(yīng)用于幾何作圖，特別是涉及到實(shí)際問題的作圖題.典型例題】知識(shí)點(diǎn)一：線段的垂直平分線考點(diǎn)一：利用線段垂直平分線求角的度數(shù)例1、在AABC中，AB = AC，AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°，求底角B的大小分析:AB的中垂線與AC所在直線的交點(diǎn)可能在AC上，也可能在CA的延長(zhǎng)線上，故應(yīng)分類討論解：若ZA 為銳角?如圖A/ZAED = 50°，.Z A=40° */AB= AC » /.Z B=ZC = 70° 若Z A 為鈍角，如圖:/ZAED

6、 = 50°，.Z EAD = 40°，.AB= AC，.Z B=ZC = 20° 例2、如圖，DE是AABC的AB邊的垂直平分線，分別交AB、BC于D、E兩點(diǎn)，AE平分Z BAC，若ZB=307，求ZC的度數(shù)解：此題考查“線段垂直平分線的性質(zhì)”因?yàn)镈E垂直平分AB，所以BE=AE所以Z 1 = ZB=30°又因?yàn)閆 1 = Z2，所以Z 1 = Z2=30° - 所以Z C=180°-Z BAC-Z B=90° 考點(diǎn)二：利用線段垂直平分線求長(zhǎng)度例3、女圖，AB=AC，DE垂直平分AB交AB于D，交AC于E 若厶ABC的周長(zhǎng)

7、為28，BC=8，求厶 BCE的周長(zhǎng)A解：等腰 ABC的周長(zhǎng)為28， BC=8，/.2AC+ BC=28 .I AC=10 TDE垂直平分AB，.BE=AE線（段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等）.BCE 周長(zhǎng)=BE+ EC + BC=AE + EC + BC=AC+ BC=10 + 8=18 點(diǎn)撥：這里是將厶BCE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為等腰 ABC的腰和底，再由已 知條件求得例4、如圖所示，在厶ABC中，AC的垂直平分線交AC于E，交BC于D，且 BAD的周長(zhǎng)為16cm AE=7cm，求厶ABC的周長(zhǎng)AD B因?yàn)镈E是AC的垂直平分線，所以EA=EC，DA=DC又因?yàn)锳E=7cm，所以AC =

8、2AE = 2x7=14(cm) 因?yàn)?BAD的周長(zhǎng)為16cm，即AB + BD+ AD = AB + BC= 16cm，所以 ABC的周長(zhǎng)為AB + BC + AC=16 + 14=30(cm) 例5、直角AABC中，ZACB=90°, ZA=15°，將頂點(diǎn)A翻折使它與頂點(diǎn)B重合，折痕為MH，已知AH=2， 求BC的長(zhǎng)分析：折疊問題可以看成軸對(duì)稱問題由外角定理得到直角三角形中有30°角，利用30。角所對(duì)的直角 邊等于斜邊的一半可得解：由于軸對(duì)稱，得Z MA ' H=ZA=15°，所以Z BHC=3°0，BH=AH，又厶BHC為直角三角

9、形，因?yàn)橹苯侨切沃?0°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，所以 BC= BH= x2=1 變式訓(xùn)練1.如圖，AB=AC，AC的垂直平分線MN交AB于D，交人。于E(1)若z A=40°，求z BCD的度 數(shù)；(2)若AE=5，ABCD的周長(zhǎng)17，求厶ABC的周長(zhǎng)2在 RtAABC 中，z A=90°，AB=3，AC=4，zABC，zACB 的平分線交于 P 點(diǎn)，PE丄 BC 于 E 點(diǎn)，求PE的長(zhǎng)答案：1.(1) 30° (2) 272.1考點(diǎn)三：線段垂直平分線與證明題例6、如圖，點(diǎn)D、丘在厶ABC的 邊BC 上 BD=CE，AB=AC 求證：證明：過點(diǎn)

10、A作 AF丄BC 于 F - */AB=AC ，AF丄 BC ，BF=CF - -/BD=C、E 二 BF BD=CF-CE DF=EF/.AF是DE的垂直平分線AD=AE分析：由線段的垂直平分線性質(zhì)知聯(lián)結(jié)AF，證線段二倍尖系，通?？紤]是否有直角三角形，且直角三 角形中是否有30°角.例7、如圖所示，在厶ABC中AB=AC，Z BAC=12°0AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.求證 BF=2CF.證明：如圖所示'聯(lián)結(jié)AF .AB=AC Z BAC=12°0 （已知），/.Z B=ZC=30° （等腰三角形性質(zhì)）又TEF是AC的垂直平

11、分線（已知），/.FA=FC （線段垂直平分線性質(zhì)） .ZC=ZFAC=30° （等邊對(duì)等角），/.Z BAF=ZBAC-Z FAC=120°- 30° =90° （等式性質(zhì)）.在 RtABAF 中 Z BAF=90° Z B=30° （已證），/.AF= BF （在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.CF= BF （等量代換）/.BF=2CF （等式性質(zhì)）點(diǎn)求證：DF=DCAA ABC中，Z B=22.5°，AB的垂直平分線交AB于Q點(diǎn)，交BC于P點(diǎn)，PE丄AC于E點(diǎn)，AD交

12、PE于F例8、如圖，AD丄BC于D連接PA，再證則PA=PB，可求Z APD=45°，從而可得出AD=PD PDFAADC（ASA），即可得證考點(diǎn)四：線段垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例9、如圖所示，牧童在A處放牛，他的家在B處，晚上回家時(shí)要到河邊讓牛飲一次水，則飲水的地點(diǎn)選在何處，牧童所走的路最短?直接確定牛飲水的位置并不容易，但若A，B在河的兩側(cè)就容易了將分析：，直線是AA '的垂直平分線，不論飲水處在什么位置，A點(diǎn)與它的對(duì)稱本題A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，A點(diǎn)最小時(shí)，飲水處到A，B的距離和最小轉(zhuǎn)化到河流的另一jPW '設(shè)為A '點(diǎn) 例10、在滬寧高速公路L的同側(cè)，有兩個(gè)

13、化工廠A、B，為了便于兩 到飲水處的距離都相等當(dāng)A'B廠的工人看病，市政府計(jì)劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個(gè)工廠的工 解：如圖所示，點(diǎn)C即為所求B人都沒意見，問醫(yī)院的院址應(yīng)選在何處？院址應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)條件: （1 ）在公路L上；（2）到A、B兩廠的距離相等。解決問題的尖鍵在于滿足條件（2） 同時(shí)醫(yī)院在公路上，所以AB的垂直平分線與公路L的交點(diǎn)就是醫(yī)院的院址A分析：欲證：AD所以考慮證 AEOA AFO，由題中條件可知厶AEO、 AFO已有一邊（公共邊）一角對(duì)應(yīng)相等，要證AE=AF，問題就解決了，所以需先證明 AEDA AFD. 證明：AD是Z BAC的平分纟戔，DE丄AB，D F丄A

14、C （已矢Q）， 所以DE=DF （角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等）.在 RtA AED 和 RtA AFDA0公Jt邊*所以 RtAAEDRtA AFD （HL）.所以AE=AF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）AS =亦丘證厶陰亡證）， 在厶AEO和厶AFO申/。 2（公共選）， 所以 AEOA AFO （SAS）.所以Z AOE=ZAOF （全等三角形對(duì)應(yīng)角相等） 所以乘6匪磚©雖直定義）.例J2、女口圖所示向邊形ABCD中，AB=AD AC平分Z BCD AE丄BC，AF丄CD.求證: 口匚oo A AC匚證明：因?yàn)锳C平分ZBCD，AE丄BC，AF丄CD，所以AE=AF （角

15、平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）.ftA ABE 與AADF 中、AE=AF，AB=AD （已知）AEB=Z AFD=90°，所以 RtA ABE今RtA ADF （HL）.即 ABEA ADF.例3、如圖所示，BE、CF是厶ABC的高，BE、CF相交于O，且OA平分Z BAC.求證:分析：要證OB=OC，需證 BOFA COE，條件有對(duì)頂角，直角，又0A是角平分線，不難證 OF=OE，此問題得證.證明：因?yàn)锽E丄AC > AB丄CF （已矩），所以Z BFO=ZCEO=90° （垂直定義）.又因?yàn)锽E、CF相交于0，且0A平分Z BAC，所以O(shè)F-OE （角平分線

16、上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）在厶BOF和厶COE中，所以 BOFA COE （ASA），所以O(shè)B=OC （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.例4.已知:女:圖， ABC中，Z ABC=45°， CD丄AB于D，BE平分Z ABC，且BE丄AC于E，與CD 相交于點(diǎn)FH是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DH與BE相交于點(diǎn)G（1）求證：BF=AC :（2）求證：CE= BF ；（3）CE與BG的大小矢系如何？試證明你的結(jié)論解析：TCD丄AB，ZABC=45°，.BCD是等腰直角三角形.BD=C D在 Rt DFB 和 Rt DAC 中，*/Z DBF=90°-Z BFD，Z DCA=90Z

17、EFC，且 ZBFD=ZEFC ./ DBF=ZDCA 又Z BDF=ZCDA=9°0 ， BD= CD， RtADFBRtADAC. . BF=CA.(2)在 Rt/XBEA 和 RtABEC 中，TBE 平分Z ABC，Z ABE=ZCBE X*/BE=BE， ZBEA=ZBEC=90 RtABEARtABEC .CE=AE= AC 又由，知BF=AC，J.A(3) CE <BG證明：連結(jié)CG BCD是等腰直角三角形，.I BD=CD又H是BC邊的中點(diǎn)，.I DH垂直平分BC BG=CG在RtA CEG中，TCG是斜邊，CE是直角邊二CE< CG /. CE<

18、BG 例5、如圖，已知= P為BN上一點(diǎn)，且PD丄BC于D，AB+ BC=2BD，求證：Z BAP+Z BCP=180° 分析：要證明兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，證它們是鄰補(bǔ)角即可，由 PD丄BC，Z 1 = Z2， 聯(lián)想到過 P 作 BA 的垂線 PE、有 PE=PD，BE=BD、又由 AB+ BC=2BD 得 AE=CD，故厶 APEA CPD， 從而有ZEAP=Z PCB，故問題得證由 AB + BC=2BD 得 BC-BD=BD- AB，即 CD=BD-BA，故可以在 BD 上截取 BF=BA.證法一：過P作PE丄BA于如圖所示，D CVPD丄BC, Z

19、1 = Z2 /.PE=PD（角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離相等）在RtA BPE和RtA BPD 中J.RtABPERtA BPD.BE=BD./AB + BC=2BD，BC=CD + BD，AB=BE-AE，.AE=CD PE丄BE，PD丄BC，Z PEB=ZPDC=9O°卩已人和厶PDC中.zJZ，. PEAA PDC.PCB=zPAEBAP+Z EAP=180°BAP+Z BCP=180°.證法二：在BC±截取BF=BA，連接PF，如圖所示F D*AB + BC=2BD即 BC-BD=BD- AB /BF=BA.BC BD=BD BF .CD=FD

20、.ftA PDFA PDC 中. PDFA PDC/.Z PCB=ZPFD 在厶BAP和厶BFP中. ABPA FBP/.Z BAP=ZBFP/Z BFP+Z PFC=180°.Z BAP+Z PCB=180“證法3 ：如圖所示延長(zhǎng)BC到E，使DE=BD，連接PE，/PD 丄 BD/.Z BDP=ZEDP=9O° ftA BDP EDP 中BDPA EDPBP=PE ? Z2= Z PEC 又TZ 1 = Z2，.Z PEC=Z 1 *AB + BC=2BD，DE=BD AB=CE 存/ABP ftA CEP 中ABPA CEP.Z BAP二ZECP 又TZ BCP+Z E

21、CP=180°， /.Z BCP+Z BAP=180°.例6如圖，已知 ABC中，ZBAC : zABC : zACB=4 ： 2 ： 1，AD是zBAC的平分線求證：AD=AC AB /.AC=AE+EC=AB+AD ，艮卩 AD=AC AB 解：在 AC 上截取 AE=AB，連 DE，女圖，設(shè) Z C=x， TZBAC : ZABC : ZACB=4 :2 ： 1 » /.Z BAC=4x，Z B=2x，AB AETAD 是Z BAC 的平分線，/.Z 3=Z4=2x，在 ABD ftlAAED 中，3 4AD AD變式訓(xùn)練1. 如圖所示，點(diǎn)P是Z BAC的平

22、分線AD上一點(diǎn)，PE丄AC于點(diǎn)E，已知PE = 3，則點(diǎn)P到AB的距離是（）ABDA AED ( SAS)，/. Z B=Z 1=2x，. Z 1 = Z4 咳 DA二DE/Z1 = Z2+ZC，ZC=x，/.Z2=2x x=x，即 Z 2=ZC，.ED二EC » .SBaEC，A. 3B. 4C. 5D. 6 解析:過P作PF丄AB，垂足為F，則PF的長(zhǎng)為點(diǎn)P到AB的距離因?yàn)镻E丄AC，由于點(diǎn)P是ZBAC的平分線AD±一點(diǎn)，而角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以PE=PF，又PE=3，所以PF=3 所以點(diǎn)P到AB的距離是3答案：A2、如圖已知 Z 1 = Z2 &g

23、t; P 為 BN 上一點(diǎn)，且 PD丄 BC 于 D AB+ BC=2BD，求證：Z BAP+ZBCP=18°0 .分析：要證明兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，證它們是鄰補(bǔ)角即可，由PD丄BC，Z 1 = Z2，聯(lián)想到過P作BA的垂線PE，有PE=PD，BE=BD，又由AB+ BC=2BD得AE=CD、故厶APEACPD，從而 有ZEAP=ZPCB，故問題得證.由 AB + BC=2BD 得 BC-BD=BD- AB，即 CD=BD-BA，故可以在 BD 上截取 BF=BA.證法一：過P作PEPD丄BC, Z1 = Z2 .PE=PD （角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊距離

24、相等）在 RtA BPE 和 Rt/SBPD 中 RtA BPERtA BPD. .BE=BD.AB+ BC=2BD，BC=CD+ BD，AB=BE- AE，/.AE=CD/PE丄BE，PD丄BC，.Z PEB=ZPDC=9°0在ZPEA 和ZPDC 中 ZPCB=ZPAE / ZBAP+ ZEAP=180° /.Z BAP+Z BCP=18°0 .證法二：在BC上截取BF=BA，連接PF，如圖所示*/AB+ BC=2BD即 BC-BD=BD- AB/BF=BA /.BC- BD=BD- BF /.CD=FD.在ZPDF和APDC中/.APDFAPDC.ZPCB=

25、ZPFD/.AABPAFBP .ZBAP=ZBFP ZBFP+ZPFC=180 ZBAP+ ZPCB=18°0 證法三：如圖所示，延長(zhǎng)BC到E，使DE=BD，連接PE，TPD 丄 BD. ZBDP=ZEDP=90°在ZBDP 禾3AEDP 中ABDPAEDP .BP=PE ， Z2=ZPECy/Z 1 = Z2 ，.'Z PEC=Z1 */AB+ BC=2BD， DE=BD AB=CE在ZABP 禾|ZCEP 中.-.AABPACEP .I ZBAP=ZECP 又T Z BCP+ZECP=18°0 ，ZBCP + ZBAP=180°.考點(diǎn)二：角平

26、分線的判定例7、如圖所示，Z B=ZC=90°，M是BC中點(diǎn)，DM平分Z ADC，判斷AM?是否平分Z DAB，說明理由D分析：要判斷AM是否平分Z DAB，根據(jù)角平分線的判定方法，在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊的距離相等的 點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，所以只要證明M到AB，AD的距離相等即可解：AM平分Z DAB理由：如圖所示5作MN丄AD于點(diǎn)N，TDM 平分Z CDA，MCI DC 于點(diǎn) C，MN 丄 AD 于點(diǎn) N， /.MC=M N又TM 是 BC 的中點(diǎn)，二 CM=M，B /.MN=B，M/.AM 平分Z DAB 考點(diǎn)三：角平分線的實(shí)際應(yīng)用例8、“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，到

27、角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，如圖所 示：(1)若Z BAD=ZCAD，且 BD丄AB 于 B，DC丄AC 于 C，則 BD=CD， ( 2)若 BD丄AB 于 B、 DC丄AC于C，且BD=CD，則Z BAD=Z CAD.試?yán)蒙鲜鲋R(shí)，解決下面的問題：三條公路兩兩相交于A、 B、C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商為超市、要紊這個(gè)超市到三條公路距離相等、問可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？IC分析：解此題時(shí)受思維定勢(shì)的影響，容易這樣想：修建點(diǎn)到AB、 BC、CA的距離相等，則該點(diǎn)就應(yīng)是 AABC的三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，其實(shí)在AABC的外部也存在滿足條件的點(diǎn)解：如圖所示：(1)作出

28、 ABC兩內(nèi)角的平分線，其交點(diǎn)為01 ；(2)分別作出厶ABC兩外角平分線，其交點(diǎn)分別為02，03，CU ；故滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即 0i » O2， O3 » O4.例9、如圖所示的是互相垂直的一條公路與鐵路，學(xué)校位于公路與鐵路所夾角的平分線上的P點(diǎn)處，距公路400m，現(xiàn)分別以公路、鐵路所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(1 )學(xué)校距鐵路的距離是多少？(2)請(qǐng)寫出學(xué)校所在位置的坐標(biāo)分析：因?yàn)榻瞧椒志€上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，所以點(diǎn)P到鐵路的距離與到公路的距離相等，也是400m ；點(diǎn)P在第四象限，求點(diǎn)P的坐標(biāo)時(shí)要注意符號(hào)解：（1 ） V點(diǎn)P在公路與鐵路所夾角的平分線

29、上，點(diǎn)P到公路的距離與它到鐵路的距離相等，又點(diǎn)P到公路的距離是400m，.點(diǎn)P （學(xué)校）到鐵路的距離是400m （2）學(xué)校所在位置的坐標(biāo)是（400， 400） 評(píng)析：角平分線的性質(zhì)的作用是通過角相等再結(jié)合垂直證 明線段相等潯達(dá)標(biāo)PK IA f r®1、如圖，下列說法正確的是（D）C BD=CDD Z ADE=Z ADFA若AC=BC，則CD是線段的垂直平分線 若 AD=DB ?則 AC=BCB 卄 CD 丄 AB，則 AC=BC £ CD是線段AB的垂直平分線，則AC=BCC 右 ABC中、Z C=RtZ，AC=BC，AD是Z BAC的平分線，DE丄AB，垂足為E，若

30、76; AB=10cm，則/ DBE 的周長(zhǎng)為（A ）A 10cmB 8cmD 9cmC 12cm3、AD是厶ABC的角平分線，自D向AB、AC兩邊作垂線，垂足為E、F，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 （C ）A DE=DFB AE=AF4如圖，RtAABC中，Z C=90°， DE是AB的垂直平分線，AD分ZCAD : ZDAB=2 : 1，?則/8的度數(shù)為（B）A 20°B 22.5C 25°D 30°5 如圖，點(diǎn)D-AABC的邊BC上 且BC=B9 AD,則點(diǎn)D在B ）的垂直平分線上AABCBCB. AC不能確A52C18B 38D 45 D6、如圖：Z

31、A = 52“，O是AB、AC的垂直平分線的交點(diǎn)那么Z OCB為（B）7、如圖，已知Z AOB和一條定長(zhǎng)線段a，在Z AOB內(nèi)找一點(diǎn)P，使P到角的兩邊OA、0B的距離都等 于a作法：（1）作OB的垂線NH，使NH=a，H為垂足；（2 ）過 N 作 NM | OB ；（3 ）作Z AOB的平分線OP，與NM相交于點(diǎn)P ；（4 ）點(diǎn)P即為所求其中（3）的依據(jù)是（C ）A平行線間的距離處處相等B到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上C角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等D到線段兩端點(diǎn)等距離的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，則ZA的度數(shù)是8.如I圖等腰 AABC 中，AB=A

32、C，ZDBC=15°50 ° 為線段EF上一個(gè)動(dòng)長(zhǎng)為2 cm的正三角形 為AB、AC、BC的中點(diǎn)，連接BP、GP，則厶PBG的周長(zhǎng)的最小值是3cm ABC 點(diǎn)， 點(diǎn)PCF丄AD，CE丄AB，CD=CB 、 BE與DF白勺大"、尖系怎樣.11解：BE=DF，理由如下：*Z1 = Z2，CF 丄 AD，CE 丄 AB 二 CF=CE，Z 3=Z 4=90° 在 RtA BCE 和 RtA DCF 中/.RtA BCE今RtA DCF/.BE=DF.11、如圖，在厶ABC中 Z B=36°，Z C=76° 人。是厶ABC的角平分線，求Z A

33、DC的度數(shù).解： ABC 屮 Z BAC=180 Z BZ C=180 36 76 =68 .Z1=34° 又TZ ADC=Z B+Zl /.Z ADC=70°.12如圖，在 RtAABC 中、z ACB=90°、CD丄 AB 于 D，AE 平分z BAC，交 CD 于 K，交 BC 于E，F(xiàn) 是 BE 上一點(diǎn) 5 且 BF=CE 求證：FK | AB -又TZ ACB=90°，CD丄 AB，/. Z BAE+ ZDKA= ZCAE+ ZCEA=90° » /. Z DKA = ZCEA， 又TZ DKA=ZCKE，.Z CEA=ZC

34、KE，.CE=CK，又 CE=BF，/. CK=BF，而MK | BC，/.Z B=Z AMK，.I Z BCD+ Z B= ZDCA+ Z BCD=90°，二 Z AMK二ZDCA，在 AMK ft A ACK 中，.Z AMK=ZACK，AK=AK，ZMAK=ZCAK，AMK ACK，. CK=MK，/. MK=BF 此部分10分鐘左右，以學(xué)生自我總結(jié)為主， TR引導(dǎo)為輔，為本次課做一個(gè)總結(jié)回顧）鞏固練習(xí)】1、已知：如圖、AB = AC、 ZA = 4O°,AB的垂直平分線MN交AC于D，則Z DBC為（D ）C 40 °A 70 °2、女圖在/ A

35、BC 中 5 AB= AC D 30°AB的中垂線， BCE的周長(zhǎng)為14，BC = 6 則AB的長(zhǎng)為AD丄BC.其中正確的個(gè)數(shù)是（C）IADB 3cmD 5cm3如圖，在厶ABC中，AB=AC，人。是厶ABC的角平分線，DE丄AB DF丄AC，垂足分別為EF，則下列四個(gè)結(jié)論中：AB上一點(diǎn)與AC±一點(diǎn)到點(diǎn)D的距離相等；AD±任意一點(diǎn)到AB、AC的距離相 等；Z BDE=Z CDF ； BD=CD，4、如圖，已知點(diǎn)P到BE、ED、AC的距離相等則P的位置：在Z B的平分線上；在Z DAC的點(diǎn)分線上；在Z ECA的平分線上；恰是Z B、ZDAC、Z ECA三條角平分線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（D ）6、如圖，在厶 ABC中，Z C = 90°，Z B= AB的垂直平分線DE交BC于D，E為垂足，若BD = 8， 15 °，則 AC 為（B ）B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)5、如圖所示， ABC 中，Z C=90°，BE 平分Z ABC，ED丄 AB 于 D，若 AC = 3cm，則 AE + DE 等于（B ）A 2cmC 4cmAC7、如圖，在 RtAABC