CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定

1、CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定問題研究摘要本文通過對體模系統(tǒng)和投影點(diǎn)坐標(biāo)的分析，提出了較為充分合理的假設(shè)，并對數(shù)據(jù) 進(jìn)行了擬合處理。先后建立了三個(gè)模型（理想狀態(tài)下的模型，只考慮載物臺傾斜的模型， 考慮載物臺傾斜與探測器的俯仰角的模型）來求解CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定的問題。在對問題一的分析中，只考慮在理想情況下：即載物臺水平和探測器無偏轉(zhuǎn)，并不 考慮機(jī)械誤差的情況下各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，以X光放射源為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，沿水平 力向射向探測器的水V直線為X軸，豎點(diǎn)方向?yàn)閅軸，建立模型一，繪出側(cè)視圖如一所 示。運(yùn)用幾何知識作圖，通過建立相似圖形的等比例方程來研究確定兒個(gè)系統(tǒng)參數(shù)之間 的關(guān)系（X射線源的位置參數(shù)、載物中心線的位

2、置參數(shù)和探測器的位置參數(shù)）。同時(shí)求出 載物臺半徑等參數(shù)，最后討論了引入像素、載物臺偏角、觀測器俯仰角和數(shù)據(jù)不確定度 對誤差的影響。在分析問題二時(shí)，考慮到所給橢圓點(diǎn)集可能有偏差，于是首先運(yùn)用擬合的方法對數(shù) 據(jù)行處理，得到更為確信的數(shù)據(jù)并由此求出修正后的“橢圓”方程（觀察均方根誤差, 得知此方程能符合條件，可以使用）。由于考慮多個(gè)誤差因素將使模型計(jì)算變得極為復(fù) 雜，在此不同時(shí)考慮。假設(shè)探測器無偏轉(zhuǎn)，只有載物臺傾斜，建立模型二。易知傾斜 的載物臺與安裝沒有偏差的水平觀測器可以等效為水平的載物臺與只縱向傾斜的觀測 器。然后根據(jù)擬合后的數(shù)據(jù)求出兩類橢圓長軸斜率，從而求出載物臺傾斜角為0. 1146 &#

3、176;, 并依據(jù)此進(jìn)一步修正數(shù)據(jù)。在模型二修正數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，考慮探測器的俯角5因素（易知S不影響模型二的求 解）建立模型三。由修正后的圖知兩“橢圓”長軸長等。由上方長軸長大于下方長軸長 知探測器向前倒。經(jīng)過一定數(shù)據(jù)近似后，再根據(jù)等比例關(guān)系可求得探測器俯角5為 1.623。近一步推導(dǎo)可得坐標(biāo)及光源到旋轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)軸的距離為263.97mm,光源在成 像平面上的水平直射點(diǎn)，光源到探測器水半直射點(diǎn)的間距為688.57mm,。最后在問題三，對模型三的機(jī)械誤差進(jìn)行了分析計(jì)算。機(jī)械誤差主要來源為像素、 載物臺偏角，探測器的俯仰角，圓心距離的誤差。并進(jìn)行了靈敏度分析。關(guān)鍵詞：坐標(biāo)修正載物臺偏角探測器俯仰角機(jī)

4、械誤差一、問題的重述掃描物件圍繞某一固定轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，每隔一定角度采集一張圖像，然后根據(jù)采集的圖 像采用3D圖像重建算法即可將原始3D物件覓建出來。在實(shí)際中，由X射線源發(fā)出X射 線，經(jīng)過掃描物體衰減后照射在探測器上，探測器根據(jù)接收到的光子數(shù)的計(jì)數(shù)實(shí)現(xiàn)比電 轉(zhuǎn)換，從而形成灰度圖像。一般平板探測器大小為3000X2000像素，每個(gè)像素為0. 127mm。在CT系統(tǒng)安裝過程中往往存在機(jī)械誤差，而這些誤差對于物件重建的準(zhǔn)確性往往 是致關(guān)重要的，實(shí)際中就需要對安裝好的CT系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定，系統(tǒng)參數(shù)主要包括X 射線源的位置、載物中心線的位置和探測器的位置參數(shù)等。對J：CT系統(tǒng)參數(shù)標(biāo)定精度 要求是不夠的（通常C

5、T重建過程中系統(tǒng)參數(shù)的機(jī)械誤差不允許超過一個(gè)像素）。通過掃 描己知參數(shù)的體模，分析投影數(shù)據(jù)，估計(jì)系統(tǒng)參數(shù)的方法。針對工業(yè)CT要求解決如下 問題：（1）建立合適的坐標(biāo)系，正確描述CT系統(tǒng)的各種參數(shù)和機(jī)械誤差，并建模分析這 些參數(shù)的關(guān)系和可能的機(jī)械誤差。（2）通常采用軸承鋼球作為CT參數(shù)標(biāo)定體模。因?yàn)樗哂懈飨蛲队耙恢?，邊緣?晰等優(yōu)點(diǎn)，在里采用兩個(gè)鋼球?qū)崿F(xiàn)CT的參數(shù)標(biāo)定實(shí)驗(yàn).兩個(gè)鋼球置于有機(jī)玻璃管中（X 射線容易透過有機(jī)玻璃，容易后期球心獲取的圖像處理），鋼球直徑為8mm±0. 0008mm, 兩球心距離約為100mm±lmmo將有機(jī)玻璃管固定在旋轉(zhuǎn)載物臺上，載物臺攜帶有機(jī)玻

6、璃 管以均勻速度旋轉(zhuǎn)，與此同時(shí)X射線源發(fā)出的射線，探測器采集數(shù)據(jù)（旋轉(zhuǎn)一周，等間 距采集180張）。兩個(gè)鋼球球心投影的軌跡是兩個(gè)橢圓。試根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)該CT系統(tǒng) 的參數(shù)值，給出CT系統(tǒng)的標(biāo)定。（3）在參數(shù)標(biāo)定過程中可能存在多種可能的機(jī)械誤差，對參數(shù)標(biāo)定可能的誤差進(jìn) 行分析。二、問題的分析問題一：本題誤差主要來源于工業(yè)CT系統(tǒng)安裝過程。除了裝置本身的由于在裝系統(tǒng) 時(shí)，可能會導(dǎo)致探測器扭轉(zhuǎn)、前后俯仰，載物臺的傾斜等，都會導(dǎo)致機(jī)械誤差的存在。 我們在計(jì)算時(shí)會考慮這些因素,并建立相應(yīng)的模型。所以，在標(biāo)定時(shí)應(yīng)該給出其機(jī)械誤 差大小?？梢愿鶕?jù)體模的投影數(shù)據(jù)，利用兒何知識來求解主要包括X射線源的位置、載

7、物中心線的位置和探測器的位置并求出他們的關(guān)系。對丁載物臺來說，由F載物臺要進(jìn) 行旋轉(zhuǎn)，所以其傾斜方式只有一種。問題二：根據(jù)分析，載物臺的傾斜可以等效為探測器投影繞一個(gè)點(diǎn)在豎直方向旋轉(zhuǎn) （圖三所示）。由附錄一中圖分析可知，兩個(gè)橢圓的長軸不是水平的，這是由于載物臺 的傾斜造成的：上橢圓與下橢圓的長軸不一樣長，這是由于探測器的前后俯仰造成的:“橢圓”圖形左右不對稱，是由于探測器的扭轉(zhuǎn)造成的。我們分別建立模型將數(shù)據(jù)一步 一步進(jìn)行處理，得到機(jī)械誤差來源，再進(jìn)行修正，從而給出準(zhǔn)確的CT參數(shù)標(biāo)定。問題三：本題中考慮的機(jī)械誤差來源有兩圓心距離誤差，載物臺傾斜，探測器前俯 后仰，利用問題二中所得數(shù)據(jù)，可求得總機(jī)

8、械誤差。三、模型的假設(shè)與符號說明1. 模型的假設(shè)（1）考慮到此處光子的波動(dòng)不明顯，故忽略光的衍射現(xiàn)象，以光的直線傳播進(jìn)行處理；（2）忽略X光輻射源的體積和形狀，將其視為質(zhì)點(diǎn)：（3）一些題目中未說明但實(shí)際易得的參數(shù)，如載物臺的半徑等，假設(shè)可以測量得到， 此處不考慮具體方法及相關(guān)課差；（4）數(shù)據(jù)能客觀反映實(shí)際情況：（5）載物臺與有機(jī)玻璃管始終垂直；（6）兩小球圓心視為質(zhì)點(diǎn)；（7）在數(shù)據(jù)采集過程中，放射源點(diǎn)，載物臺，探測器參數(shù)不再變化。2. 符號說明11： X光射線源到載物臺中心垂線的距離；12： X光射線源到探測器的距離；13:探測器俯仰偏轉(zhuǎn)后下方橢圓最下沿點(diǎn)到Y(jié)軸距離：14：探測器俯仰偏轉(zhuǎn)后上方

9、橢圓最上沿點(diǎn)到Y(jié)軸距離； r：有機(jī)玻璃管和小球的軌跡圓半徑； h：兩個(gè)小球重心之間的距離； h1：橢圓間最近兩點(diǎn)的距離：h,：橢圓間最遠(yuǎn)兩點(diǎn)的距離：n1：上投影橢圓短軸長度；n2：上投影橢圓短軸長度； m：投影的豎直方向最大長度；載物臺的傾斜角；%探測器偏轉(zhuǎn)的俯仰角；tl：大橢圓的長軸長度；t2：小橢圓的長軸長度；tl2：兩橢圓中心之間的距離；% :當(dāng)偏差為一個(gè)像素時(shí)候，探測器的俯仰角度：At1：當(dāng)偏差為一個(gè)像素時(shí)候的變化量；At3：當(dāng)偏差為一個(gè)像素時(shí)候t?的變化量；At12：當(dāng)偏差為一個(gè)像素時(shí)候站的變化量四、模型的建立和求解問題一：1、模型一的建立苗先考慮在理想情況下，即載物臺水平和探測器無

10、偏轉(zhuǎn)和不考慮機(jī)械誤差的情況下 齊個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系。建立坐標(biāo)系時(shí)選定X光輻射源為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿水半方向射向探測 器的水平直線為X軸，豎直方向?yàn)閅軸，繪出側(cè)視圖如一所示。圖二理想模型下的俯視圖由平面兒何中相似圖形成比例可以得出下列方程：h.li-i111 12hL + rm- (iij + n?)12r , km nm72肩9若考慮引入機(jī)械誤差，則可能存在以下兒種機(jī)械誤差：（1）載物臺與地面有一定傾斜角，此角會使投影偏轉(zhuǎn)。（2）探測器地而間存在一定俯仰角，此偏角的存在會使原本應(yīng)是橢圓的投影產(chǎn)生一定 偏差：（3）x放射點(diǎn)與載物臺軸線成面與探測器成角不成90度，會使原本應(yīng)是橢圓的投影產(chǎn) 生一定偏差;（4

11、）像素不夠大引起的誤差，一般平板探測器大小為3000x2000,每個(gè)像素為0. 127inn若兩個(gè)投影點(diǎn)之間的水平或豎直距離小于0. 127inn.在探測器上就會區(qū)分不出，例如以下 2組數(shù)據(jù)：上方球心坐標(biāo) （X, Y）： （1415, 1639）, （1375, 1639）；（5）題目中給出的數(shù)據(jù)（小球半徑.球心距離等）不精確產(chǎn)生的誤差；問歸一.1、處二的建立暫只考慮載物臺的傾斜角Q的情況下，建立此模型。傾斜的裁物臺與安裝沒有偏差的觀測器可以等效為水半的載物臺與只縱向傾斜的觀測 器，如圖二由丁數(shù)據(jù)可能有較大的誤差，我們用mat lab對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。530002000圖四：修正前的圖形修正后1

12、800160014001200100080060040020050010003000150020002500圖五：擬合修正后的圖形°0#再由圖 中所示方法求出長軸短軸大小及對應(yīng)各個(gè)切點(diǎn)。於平行切線Z何的距離故 短為炷軸圖六：橢圓的切線與橢I貝軸的關(guān)系再根據(jù)對應(yīng)切點(diǎn)確定長軸斜率 tanx=(lxj-rxj)/ (lx-rx);電下方橢圓長軸斜率tans= (Is j-rs j ) / (ls-rs) ;E上方橢圓長軸斜率tan=(tans+tanx)/2;得 q)2 = arctaiiO.OO2根據(jù)相應(yīng)切點(diǎn)求出圓心軌跡所成圓之圓心，水平射于探測器的點(diǎn)橫縱坐標(biāo) xsO=(ls+rs)/2

13、;ysO=(lSj4-rsj)/2;%上方圓心軌跡圓圓心水平射于探測器的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)xxO=(lx+rx)/2;yxO= (lxj + rxj )/2;%卜方圓心軌跡圓圓心水平射于探測器的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)bili=(gs-ds)/(gs-ds)+(gx-dx);根據(jù)附件一中所給數(shù)據(jù)，計(jì)算出X放射點(diǎn)水平射于探測器的橫縱坐標(biāo) yO=ds- (gx-ds) *bili;%x放射點(diǎn)水平射于探測器的縱坐標(biāo) xO=dsi- (gxi-dsi) *bili;Ex 放射 點(diǎn)水平 射于探 測7修正后坐標(biāo)軸勺Y2修-5正前處標(biāo)軸t Xo.Vo>#圖七修正的原理圖再根據(jù)對應(yīng)切點(diǎn)確定長軸斜率h=abs(sqrt(tan

14、A2+l)一(tan*(x(i,j)-Is)-y(i,j)+lsj)/sqrt(tmnA2+l);$上方橢圓上任意一點(diǎn)至上方橢圓長軸的距離y(irj)=yO+(ysO-yO)*sqrt(tanA2+l)-(tan*(x(izj)-Is)-y(i,j)+lsj)/ sqrt (tanA2+l);咎禧正后的縱坐標(biāo)x (i, j ) =xO+fuhao*hh;電修正后的縱橫坐標(biāo)修正后圖形如圖五。詳細(xì)數(shù)據(jù)見附錄一。2、模型三的建立我們可以建立在模型二的基礎(chǔ)上考慮探測器的俯仰角度幻，如圖八所示，由于載物臺 的偏轉(zhuǎn)角度Q與探測器俯仰角度幻不影響，所以可以把他們結(jié)合起來計(jì)算。考慮他們偏 轉(zhuǎn)角的誤差。由圖八和

15、圖可知，探測器向前偏轉(zhuǎn)了勻，導(dǎo)致上橢圓和下橢圓大小不一樣，根據(jù)幾 何知識，可以求得方程(4)和方程(5)：于是，我們就可以求出在探測器前后俯仰時(shí)候的 偏轉(zhuǎn)角5與體模投影點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。找出偏轉(zhuǎn)角s與其他參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行修 正。得到準(zhǔn)確的載物中心線的位置和探測器的位置參數(shù)，較楮確對CT進(jìn)行標(biāo)定。而tl與t2的值非常相近，即纟非常小。相似三角形對應(yīng)邊要小于對應(yīng)1 cos幻，但由 與的非常小，相差不大，二者可約等于。'則由圖三和圖四可以得到下列方程如下：9llj cos%7-)h2 cos%9tlS非常小。則可以將v i3, 13的長度看成一樣。即式子可改為:1、cos （fl h2

16、cos .（片tjlr&于是，我們就可以求出在探測器前后俯仰角3 =1.62% 由模型三的修正，我們可以得到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)，就可以求得： h = 787 m = 1905 珂=347 n2 = 215 t】=2708 t3 = 2685 屯=1625.5 帶入模型一的方程,由模型一，X射線源的位置在破點(diǎn)，即坐標(biāo)為（00）,由射尬源到載物中心線的距離為1 = 2078.55（像素）=263.97inn】，即位置坐標(biāo)為（0,263.97）,由射線源到探測器的距離為12 = 5421.85（像素）=68&57mm ,即位置坐標(biāo)為（0,688.57）,我們還求出在載物臺上物體繞載物臺中心線

17、旋轉(zhuǎn)的半徑, 由于小球在載物臺邊緣，則旋轉(zhuǎn)半徑約等于載物臺半徑rr=468.56（像素）=59.5mm問題三：根據(jù)前面的描述，誤差的來源主要有三種：像素、偏轉(zhuǎn)角和球心距。對于CT系統(tǒng) 參數(shù)標(biāo)定精度要求是其機(jī)械誤差不超過一個(gè)像素，而由式（1）（2） （5）知球心距只與h有直接聯(lián)系，與像素?zé)o直接聯(lián)系,故此處主耍研究偏轉(zhuǎn)角與投影像素Z間的關(guān)系。有式11q = At2怙血0=心土凹b tl+“I（5）可進(jìn)一步推出它們的關(guān)系如下:(8)(9)(10)計(jì)算（8）得到>=2.009°：笑一0.386。； 計(jì)算（10）得卻%=1764°；爲(wèi)一的=0.141°；比較兩次結(jié)果，

18、取最小值0.141%即要保證投影在探測板上的點(diǎn)位誤差不超過一個(gè) 相位，探測板的俯仰角浮動(dòng)范圍最大不能超過0.141。五、模型的推廣與改進(jìn)方向考慮三維直角坐標(biāo)系，能更精確的求出機(jī)械誤差，具有更好的實(shí)際應(yīng)用?？紤]探測 器的扭轉(zhuǎn)角對體模投影圖像的影響?？紤]多種誤差同時(shí)影響O六、模型的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：1、建立多個(gè)模型，模型的建立由易到難，比較有層次，能更清晰的分析問題，找 到它們之間的關(guān)系：2、對體模的投影點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行數(shù)據(jù)的修正，計(jì)算的結(jié)果更加準(zhǔn)確：3、考慮到的誤差比較合理，有較大的實(shí)際意義；缺點(diǎn)：1、對探測器的扭轉(zhuǎn)角考慮不全面，僅在理論上進(jìn)行分析。2、由于像素造成的機(jī)械誤差比較大，像素精度不高，此方法解決

19、這個(gè)問題效果欠 佳；七、參考文獻(xiàn)1姜啟源.數(shù)學(xué)模型Ml.北京：高等教育出版社，1999. 韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M.北京：高等教育出版社，2009.八、附錄附錄一：投影點(diǎn)坐標(biāo)的修正 zhen=zeros (2000, 3000); for i=l:180for j=l:2zhen(y(i, j), x(i, .1)=1: endend%矩陣Z生成rs=1000;lx二1000;rx=1000;for i=l:3000for j=1:2000 ifzhenf j, i) =1 if i<lsif j>1400ls=i;lsj=j;endendif i<lxif j<

20、500lx=i;Ixj巧； end end if i>rs if j>1400 rs=i ; rsj=j;endendif i>rx if j<500 rx=i;rxj=j；endendendendendgs=1800; ds=1800;for i=l:3000 for j=l:2000 ifzhenfj, i) =1 if j>1000 if j<ds ds=j;dsi=i;endendend ifzhen； j, i)=l if j>gs ss=j;gsi=i;endendendend gx=200;dx=200； for i=l:300013fo

21、r j=1:2000 ifzhen! j, i) =1 if j<dxdx=j;dxi二i;endendifzhen ： j, i) =1if j<1000if j>gxgx二 j;gxi=i;endendendendendtanx二(lxj-rxj)/(lx-rx); tans=(lsj-rsj) /(ls-rs); tan=(tans+tanx) /2;%下方橢圓長軸斜率%上方橢圓長軸斜率xs0=(ls+rs) /2;ys0=(lsj+rsj)/2;標(biāo)xxO二(1x+rx)/2;yxO=(lxj+rxj)/2;坐標(biāo)bili = (gs-ds) /(gs-ds) + (gx-dx);yO=ds-(gx-dS)*b訂i;%x放射點(diǎn)水半射于探測器的縱坐標(biāo) xO=dsi-(gxi-dsi)*bi 1 i :%x放射點(diǎn)水V射J：探測器的橫坐標(biāo)%上方圓心軌跡圓圓心水半射于探測器的點(diǎn)橫縱坐%下方圓心軌跡関圓心水平射探測器的點(diǎn)橫縱for j=l：2for i=l:180辻(y(i, j)>1500)h=(tan*(x(i, j) -xsO)-y(i, j)+ysO) /sqrt (tan 2+1);hh=sqrt (x(i, j)-xs0) "2+(y(i, j)-ys