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1、課題:§12322 等邊三角形(二) 新授課 教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)與技能 1探索發(fā)現(xiàn)猜想證明直角三角形中有一個(gè)角為30°的性質(zhì) 2有一個(gè)角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 (二)過(guò)程與方法 1經(jīng)歷“探索發(fā)現(xiàn)猜想證明”的過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系 2培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力 (三)情感、態(tài)度與價(jià)值觀 1鼓勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng),激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲 2體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性 教學(xué)重點(diǎn) 含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理的發(fā)現(xiàn)與證明 教學(xué)難點(diǎn) 1含30°角的直角三
2、角形性質(zhì)定理的探索與證明 2引導(dǎo)學(xué)生全面、周到地思考問(wèn)題 教學(xué)方法 探索發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 兩個(gè)全等的含30°角的三角尺; 教學(xué)過(guò)程 提出問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境 師我們學(xué)習(xí)過(guò)直角三角形,今天我們先來(lái)看一個(gè)特殊的直角三角形,看它具有什么性質(zhì)大家可能已猜到,我讓大家準(zhǔn)備好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性質(zhì)呢? 問(wèn)題:用兩個(gè)全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一個(gè)怎樣的三角形?能拼出一個(gè)等邊三角形嗎?說(shuō)說(shuō)你的理由 由此你能想到,在直角三角形中,30°角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系?你能證明你的結(jié)論嗎? 導(dǎo)入新課 (讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺
3、的活動(dòng),發(fā)現(xiàn)結(jié)論,同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到,通過(guò)實(shí)際操作探索出來(lái)的結(jié)論,還需要給予證明)生用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個(gè)三角形 其中,圖(1)是等邊三角形,因?yàn)閍bdacd,所以ab=ac,又因?yàn)閞tabd中,bad=60°,所以abd=60°,有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形 生圖(1)中,b=c=60°,bac=bad+cad=30°+30°=60°,所以b=c=bac=60°,即abc是等邊三角形 師同學(xué)們從不同的角度說(shuō)明了自己拼成的圖(1)是等邊三角形由此你能得出在直角三角形中,30
4、176;角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)系嗎? 生在直角三角形中,30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半 師我們僅憑實(shí)際操作得出的結(jié)論還需證明,你能證明它嗎? 生可以,在圖(1)中,我們已經(jīng)知道它是等邊三角形,所以ab=bc=ac而adb=90°,即adbc根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì),可得bd=dc=bc所以bd=ab,即在rtabd中,bad=30°,它所對(duì)的邊bd是斜邊ab的一半 師生共析這位同學(xué)能結(jié)合前后知識(shí),把問(wèn)題思路解釋得如此清晰,很了不起下面我們一同來(lái)完成這個(gè)定理的證明過(guò)程 定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
5、 已知:如圖,在rtabc中,c=90°,bac=30°求證:bc=ab 分析:從三角尺的擺拼過(guò)程中得到啟發(fā),延長(zhǎng)bc至d,使cd=bc,連接ad 證明:在abc中,acb=90°,bac=30°,則b=60° 延長(zhǎng)bc至d,使cd=bc,連接ad(如下圖) acb=60°, acd=90° ac=ac, abcadc(sas) ab=ad(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) abd是等邊三角形(有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形) bc=bd=ab 師這個(gè)定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用,因?yàn)樗山堑奶厥庑裕沂玖酥?/p>
6、角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系,下面我們就來(lái)看一個(gè)例題 例5右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分,點(diǎn)d是斜梁ab的中點(diǎn),立柱bc、de垂直于橫梁ac,ab=7.4m,a=30°,立柱bd、de要多長(zhǎng)? 分析:觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在rtaed與rtacb中,由于a=30°,所以de=ad,bc=ab,又由d是ab的中點(diǎn),所以de=ab 解:因?yàn)閐eac,bcac,a=30°,由定理知 bc=ab,de=ad, 所以bd=×7.4=3.7(m) 又ad=ab, 所以de=ad=×3.7=1.85(m) 答:立柱bc的長(zhǎng)是3.7m,de的長(zhǎng)是1.85m 師再看下面的
7、例題 例等腰三角形的底角為15°,腰長(zhǎng)為2a,求腰上的高 已知:如圖,在abc中,ab=ac=2a,abc=acb=15°,cd是腰ab上的高 求:cd的長(zhǎng) 分析:觀察圖形可以發(fā)現(xiàn),在rtadc中,ac=2a,而dac是abc的一個(gè)外角,則dac=15°×2=30°,根據(jù)在直角三角形中,30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半,可求出cd 解:abc=acb=15°, dac=abc+bac=30° cd=ac=a(在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半) 師下面我們來(lái)做練習(xí) 隨堂練
8、習(xí) (一)課本p56練習(xí) (二)補(bǔ)充練習(xí) 1已知:如圖,abc中,acb=90°,cd是高,a=30° 求證:bd=ab 證明:在rtabc中,a=30°, bc=ab 在rtbcd中,b=60°, bcd=30°bd=bc bd=ab 2已知直角三角形的一個(gè)銳角等于另一個(gè)銳角的2倍,這個(gè)角的平分線把對(duì)邊分成兩條線段 求證:其中一條是另一條的2倍 已知:在rtabc中,a=90°,abc=2c,bd是abc的平分線 求證:cd=2ad 證明:在rtabc中,a=90°,abc=2c, abc=60°,c=30
9、76; 又bd是abc的平分線, abd=dbc=30° ad=bd,bd=cd cd=2ad 課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課,我們?cè)谏瞎?jié)課的基礎(chǔ)上推理證明了含30°的直角三角形的邊的關(guān)系這個(gè)定理是個(gè)非常重要的定理,在今后的學(xué)習(xí)中起著非常重要的作用 課后作業(yè) (一)課本p5811、12、13、14題 (二)預(yù)習(xí)p60p61,并準(zhǔn)備活動(dòng)課 1找出若干個(gè)成軸對(duì)稱的漢字、英文字母、阿拉伯?dāng)?shù)字 2思考鏡子對(duì)實(shí)物的改變 活動(dòng)與探究 在三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30° 過(guò)程:可以從證明“在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的
10、直角邊等于斜邊的一半”從輔助線的作法中得到啟示 結(jié)果: 已知:如圖(1),在rtabc中,c=90°,bc=ab求證:bac=30° 證明:延長(zhǎng)bc到d,使cd=bc,連結(jié)ad acb=90°, acd=90° 又ac=ac, acbacd(sas) ab=ad cd=bc, bc=bd 又bc=ab, ab=bd ab=ad=bd, 即abd為等邊三角形 b=60° 在rtabc中,bac=30° 備課資料 參考例題 1已知,如圖,點(diǎn)c為線段ab上一點(diǎn),acm、cbn是等邊三角形 求證:an=bm 證明:acm與cbn是等邊三角形 acm=bcn acm+mcn=bcn+ncm, 即acn=mcb 在acn和mcb中, acnmcb(sas) an=bm 2一個(gè)直角三角形房梁如圖所示,其中bcac,bac=30°,ab=10cm,cb1ab,b1cac1,垂足分別是b1、c1,那么bc的長(zhǎng)是多少? 解:在rtabc中,cab=30°,ab=10c
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