高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何專題強化訓練 新人教A版選修21

1、第三章 空間向量與立體幾何專題強化訓練(三)(建議用時：45分鐘)基礎(chǔ)達標練一、選擇題1如圖3­8，在空間四邊形abcd中，連接ac，bd，e，f，g，h分別為ab，bc，cd，da邊上的中點，則下列各式中成立的是()圖3­8a0b0c0d0b，易證四邊形efgh為平行四邊形，故0，故選b2已知a(1,2,3)，b(2,1,2)，c(1,1,2)，且向量pc，則當(pa)·(pb)取得最小值時，向量p的坐標為()abc dc設(shè)pc，則paca(1，2,23)，pbcb(2，1,22)，所以(pa)·(pb)2(3285)2，所以當時，(pa)·

2、(pb)取得最小值，此時pc，故選c3已知平面，是兩個不重合的平面，其法向量分別為n1，n2，給出下列結(jié)論：若n1n2，則；若n1n2，則；若n1·n20，則；若n1·n20，則.其中正確的是()abcda由平面的法向量的定義知，正確4已知平面的一個法向量為n(1，1,0)，則y軸與平面所成的角的大小為()a b c dby軸的一個方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y軸與平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是.5如圖3­9，已知e是正方體abcd­a1b1c1d1的棱bc的中點，設(shè)為二面角d1­ae­d的平面角，則cos

3、() 【導學號：46342186】圖3­9a bcda以a為坐標原點，的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)，令正方體abcd­a1b1c1d1的棱長為2，則a(0,0,0)，e(2,1,0)，d1(0,2,2)，a1(0,0,2)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，設(shè)平面aed1的法向量為m(x，y，z)，則由，得，令x1，則y2，z2，故m(1，2,2)又(0,0,2)為平面aed的一個法向量，為二面角d1­ae­d的平面角，所以cos ，故選a二、填空題6已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，則xy_.

4、1或3由a(2,4，x)且|a|6，得6，x±4，由ab，得44y2x0，得或，則xy1或3.7在空間直角坐標系oxyz中，已知a(1，2,0)，b(2,1，)，則向量與平面xoz的法向量的夾角的正弦值為_設(shè)平面xoz的法向量為n(0，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因為n，0，所以sinn，.8已知空間三點o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)，若直線oa上的一點h滿足bhoa，則點h的坐標為_. 【導學號：46342187】設(shè)h(x，y，z)，則(x，y，z)，(x，y1，z1)，(1,1,0)因為bhoa，所以·0，即xy10，又點h在直

5、線oa上，所以，即，聯(lián)立解得所以點h的坐標為.三、解答題9如圖3­10，在正方體abcd­a1b1c1d1中，e是棱dd1的中點在棱c1d1上是否存在一點f，使b1f平面a1be？證明你的結(jié)論圖3­10解在棱c1d1上存在點f，當f為c1d1的中點時，b1f平面a1be.證明如下：以a為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)正方體的棱長為2，則b(2,0,0)，e(0,2,1)，a1(0,0,2)，b1(2,0,2)，(2,2,1)，(2,0,2)設(shè)平面a1be的法向量為m(x，y，z)，則m·2x2yz0，且m·2x2z0，取x1，則z1，

6、y，m是平面a1be的一個法向量假設(shè)在棱c1d1上存在一點f，使b1f平面a1be，設(shè)f(x0,2,2)(0x02)，則(x02,2,0)，則m·x02×21×00，解得x01，當f為c1d1的中點時，b1f平面a1be.10如圖3­11，正三棱柱abc­a1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1的中點圖3­11(1)求證：ab1平面a1bd；(2)求二面角a­a1d­b的余弦值的大小. 【導學號：46342188】解(1)取bc的中點o，連接ao.abc為正三角形，aobc在正三棱柱abc­a1b1c1中

7、，平面abc平面bcc1b1，ao平面bcc1b1.取b1c1的中點o1，以o為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系則b(1,0,0)，c(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0)(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)·2200，·1430，ab1平面a1bd(2)設(shè)平面a1ad的法向量為n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)，即，令z1，得n(，0,1)為平面a1ad的一個法向量由(1)知ab1平面a1bd，為平面a1bd的一個法向量cosn，二面角a­a1d­

8、b的余弦值為.能力提升練1在空間四邊形abcd中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，點e，f分別為線段bc，ad的中點，則的坐標為()a(2,3,3)b(2，3，3)c(5，2,1)d(5,2，1)b取ac中點m，連接me，mf(圖略)，則， 所以(2，3，3)，故選b2如圖3­12，正四棱錐s­abcd中，o為頂點在底面內(nèi)的投影，p為側(cè)棱sd的中點，且sood，則直線bc與平面pac的夾角是()圖3­12a30°b45°c60°d75°a如圖，以o為坐標原點建立空間直角坐標系oxyz.設(shè)odsooaoboca，則a(a

9、,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p，則(2a,0,0)，(a，a,0)，設(shè)平面pac的一個法向量為n，可取n(0,1,1)，則cos，n，所以，n60°，所以直線bc與平面pac的夾角為90°60°30°.3已知向量e1，e2，e3是三個不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，則_. 【導學號：46342189】1因為a，b，c共面，所以存在實數(shù)m，n，使得cmanb，則11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，則，解得.4已知平面經(jīng)過點a(0,0,2)，且

10、平面的一個法向量為n(1，1，1)，則x軸與平面的交點坐標是_(2,0,0)設(shè)交點為m(x,0,0), 則(x,0，2)，平面的一個法向量n(1，1，1)，則n·0，解得x2，故x軸與平面的交點坐標是(2,0,0)5如圖3­13，在三棱錐a­bcd中，側(cè)面abd，acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜邊，且ad，bdcd1，另一個側(cè)面abc是等邊三角形圖3­13(1)求證：adbc(2)在線段ac上是否存在一點e，使直線ed與平面bcd的夾角為30°？若存在，確定點e的位置；若不存在，請說明理由解(1)作ah平面bcd于點h，連接bh，ch，

11、dh，則四邊形bhcd是正方形，且ah1.以d為坐標原點，db所在直線為x軸，dc所在直線為y軸建立空間直角坐標系，如圖則d(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，a(1,1,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，·0，則adbc(2)存在滿足條件的點e，點e到點c的距離為1.設(shè)e(x，y，z)，則xz>0，y1.又平面bcd的一個法向量為n(0,0,1)，(x,1，x)，若ed與平面bcd的夾角為30°，則與n的夾角為60°，cos，ncos 60°，則2x，解得x或x(舍去)，即e.又|1，故線段ac上存在滿足條件的點e，點e到點c的距離為1.6edbc3191f2351dd81